Espaces métriques

Espaces m´etriques
Cours et TD
Licence de Math´ematiques, troisi`eme ann´ee
Centre de T´el´e-enseignement, Universit´e de Franche-Comt´e
Louis Jeanjean
Universit´e de Franche-Comt´e, Laboratoire de Math´ematiques,
16 route de Gray, 25030 Besan¸con cedex
[e-mail], t´el. 03 81 66 63 21
12 octobre 2009

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Quelques pr´ecisions sur le cours
d’espaces m´etriques
1) Structure du document
Le document contient :
– Le cours proprement dit qui comporte six Chapitres.
– Des exercices corrig´es correspondant `a chacun des six Chapitres
– Les ´enonc´es des trois devoirs, correspondant aux chapitres 1-2, 3 et 4-5-6 respectivement.
2) Organisation du travail
Chacun est libre de s’organiser `a sa convenance pour assimiler le cours. Cependant il me
semble judicueux de ne pas attendre de rendre un devoir pour commencer `a ´etudier le chapitre
suivant. Vous risqueriez d’ˆetre pris par le temps en fin de semestre.
A la fin de chaque section sont indiqu´ees les num´eros des exercices qui sont `a traiter dans
le cadre des travaux dirig´es. Les ´enonc´es et les solutions de ces exercices se trouvent dans la
deuxi`eme partie “Travaux dirig´es”. Il est souhaitable d’essayer de r´esoudre ces exercices, sans
faire appel au corrig´e.
Bibliographie : Le document est concu pour ˆetre autosuffisant `a partir des connaissances
acquisent en L2. Si vous envisagez vraiment `a acheter un livre vous pouvez me consulter avant.
Il est tr`es probable due vous y trouviez des impr´ecisions et des erreurs (de frappe ou mˆeme
de contenu). Merci d’avance de me les signaler, par exemple `a l’occasion d’un rendu de devoir,
o`u directement par email.
3) Calendrier
Les dates ci-dessous sont `a respecter si vous souhaitez une correction personalis´ee. Dans
tout les cas une solution d´etaill´ee vous sera envoy´ee peu apr`es la date pr´evue de remise du
devoir.
– Devoir 1 : Le 5 novembre 2009
– Devoir 2 : Le 15 d´ecembre 2009
– Devoir 3 : Le 5 janvier 2010.
Je vous souhaite un bon semestre.
Louis Jeanjean
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Table des mati`eres
I Cours (20h) 9
1 G´en´eralit´es sur les espaces m´etriques 11
1.1 Notion d’espace m´etrique .............................. 11
1.2 Premiers exemples d’espaces m´etriques ....................... 14
1.3 Int´erieur-Fermeture-Fronti`ere ............................ 15
1.4 Convergence de suites ................................ 16
1.5 Topologie induite ................................... 18
1.6 Topologie produit ................................... 19
2 Les espaces vectoriels norm´es 21
2.1 Notion d’espace vectoriel norm´e ........................... 21
2.2 Espace pr´ehilbertien ................................. 22
3 Applications continues entre espaces m´etriques 25
3.1 D´efinitions-propri´et´es ................................. 25
3.2 Application continue et m´etriques topologiquement
´equivalentes ...................................... 28
3.3 Distances uniform´ement ´equivalentes ........................ 29
3.4 Applications lin´eaires continues ........................... 31
3.5 Applications bilin´eaires continues .......................... 35
4 Espaces m´etriques complets 39
4.1 G´en´eralit´es-Exemples ................................. 39
4.2 Applications et espaces complets .......................... 43
4.3 Des Applications importantes de la notion de compl´etude ............ 45
4.4 S´eries dans un espace vectoriel norm´e ....................... 48
5 Espaces m´etriques compacts 51
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