Objectifs : trigonométrie, géométrie (chap. 2)

Mathématiques, MAT-MAB-MAP
1ère année
Objectifs chap. 2 géométrie
Objectifs : trigonométrie, géométrie (chap. 2)
A la fin de ce cours (et pour réussir l’épreuve sur celui-ci), vous devriez être capable de :
1. Définir (énoncer pour les théorèmes), illustrer, comprendre et utiliser le vocabulaire
lié au chapitre traité :
– unités de mesure des angles (degré, radian), angle aigu, angle droit, angle obtus, angle plat, longueur d’un arc de cercle, aire d’un secteur circulaire, cercle
trigonométrique, fonctions trigonométriques - sinus, cosinus, tangente et
cotangente - (définies par rapport au cercle trigonométrique ou au triangle rectangle), relations fondamentales entre cos(α), sin(α), tan(α) et cot(α), théorème
du sinus, théorème du cosinus.
1) Définir le sinus et le cosinus d’un angle α en se basant sur le cercle trigonométrique.
2) Simplifier autant que possible, à l’aide des relations fondamentales, l’expression
cos(α) − cos3 (α)
suivante :
sin(α) − sin3 (α)
2. Convertir en radians les angles donnés par leur mesure en degrés et vice-versa.
1) Convertir en degrés les angles donnés par leur mesure en radians et inversement.
π
a) 340◦
b) 124◦
c)
d) 0.5
8
3. Calculer la longueur d’un arc de cercle et l’aire d’un secteur circulaire en connaissant
le rayon et l’angle au centre.
1) Calculer, à 1 mm près, la longueur d’un arc
a) de 32◦ sur un cercle de rayon 15 cm.
b) de 2 radians sur un cercle de rayon 7 cm.
4. Exprimer par cœur ou retrouver les valeurs exactes du sinus, du cosinus, de la
3π
π π π π
tangente et de la cotangente des angles : 0, , , , , π, , 2π.
6 4 3 2
2
1) Compléter le tableau ci-dessous.
degrés
radians
sin
0
30
45
60
90
page 1
cos
tan
cot
Mathématiques, MAT-MAB-MAP
1ère année
Objectifs chap. 2 géométrie
5. Résoudre des triangles rectangles en utilisant les définitions des rapports sinus,
cosinus et tangente (dans un triangle rectangle).
1) Un triangle ABC est rectangle en C. Résoudre ce triangle connaissant : b = 8.2,
β = 20, 7◦ .
6. Résoudre des triangles quelconques en utilisant les théorèmes du sinus et du cosinus.
1) Résoudre un triangle ABC donné par : α = 26, 77◦, γ = 87, 39◦, c = 46, 09.
7. Traduire l’énoncé d’un exercice ou d’un problème en termes mathématiques et le
résoudre en utilisant les fonctions trigonométriques et les relations qui les lient,
ainsi que les théorèmes s’y rapportant.
1) Un parc a la forme d’un hexagone régulier de 2 km de côté. Alice marche le long
du périmètre du parc et parcourt 5 km. A quelle distance (en ligne droite) de son
point de départ (un des sommets de l’hexagone) se trouve-t-elle ?
page 2
1ère année
Mathématiques, MAT-MAB-MAP
Objectifs chap. 2 géométrie
Solutions exercices objectifs
1.1) Le sinus et le cosinus d’un angle α sont définis par :
sin(x)
y
1
-1
M
α
0
Soit P (1; 0) sur le cercle trigonométrique. Soit encore M
l’image de P par une rotation de centre 0 et d’angle α.
On appelle cosinus de α et sinus de α les coordonnées
du point M.
On note : M(cos(α); sin(α)).
P x
1
cos(x)
-1
2.1) a)
17π
9
b)
3.1) a) 84 mm
31π
45
c) 22.5◦
d) 28, 65◦
b) 140 mm
4.1) Le tableau complet :
degrés
radians
sin
cos
tan
cot
0
0
0
1
0
−
30
π
6
1
2
√
√
3
3
45
π
4
60
π
3
90
π
2
3
2
√
√
2
2
2
2
√
3
2
1
2
1
0
5.1) α = 69.3◦ , a = 21.70, c = 23.20
6.1) β = 65, 84◦ , a = 20, 78, b = 42, 10
√
7.1) 13 = 3.606 km
page 3
√
3
1
1
√
√
3
−
3
3
0