Objectifs : trigonométrie, géométrie (chap. 2)

Math´ematiques, MAT-MAB-MAP 1`ere ann´ee Objectifs chap. 2 g´eom´etrie
Objectifs : trigonom´etrie, g´eom´etrie (chap. 2)
A la fin de ce cours (et pour r´eussir l’´epreuve sur celui-ci), vous devriez ˆetre capable de :
1. D´efinir (´enoncer pour les th´eor`emes), illustrer, comprendre et utiliser le vocabulaire
li´e au chapitre trait´e :
– unit´es de mesure des angles (degr´e, radian), angle aigu, angle droit, angle ob-
tus, angle plat, longueur d’un arc de cercle, aire d’un secteur circulaire, cercle
trigonom´etrique, fonctions trigonom´etriques - sinus, cosinus, tangente et
cotangente - (d´efinies par rapport au cercle trigonom´etrique ou au triangle rec-
tangle), relations fondamentales entre cos(α), sin(α), tan(α) et cot(α), th´eor`eme
du sinus, th´eor`eme du cosinus.
1) D´efinir le sinus et le cosinus d’un angle αen se basant sur le cercle trigo-
nom´etrique.
2) Simplifier autant que possible, `a l’aide des relations fondamentales, l’expression
suivante : cos(α)−cos3(α)
sin(α)−sin3(α)
2. Convertir en radians les angles donn´es par leur mesure en degr´es et vice-versa.
1) Convertir en degr´es les angles donn´es par leur mesure en radians et inversement.
a) 340◦b) 124◦c) π
8d) 0.5
3. Calculer la longueur d’un arc de cercle et l’aire d’un secteur circulaire en connaissant
le rayon et l’angle au centre.
1) Calculer, `a 1mm pr`es, la longueur d’un arc
a) de 32◦sur un cercle de rayon 15 cm.
b) de 2radians sur un cercle de rayon 7cm.
4. Exprimer par cœur ou retrouver les valeurs exactes du sinus, du cosinus, de la
tangente et de la cotangente des angles : 0,π
6,π 4,π 3,π 2, π, 3π 2,2π.
1) Compl´eter le tableau ci-dessous.
degr´es radians sin cos tan cot
0
30
45
60
90
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5. R´esoudre des triangles rectangles en utilisant les d´efinitions des rapports sinus,
cosinus et tangente (dans un triangle rectangle).
1) Un triangle ABC est rectangle en C. R´esoudre ce triangle connaissant : b= 8.2,
β= 20,7◦.
6. R´esoudre des triangles quelconques en utilisant les th´eor`emes du sinus et du cosinus.
1) R´esoudre un triangle ABC donn´e par : α= 26,77◦,γ= 87,39◦,c= 46,09.
7. Traduire l’´enonc´e d’un exercice ou d’un probl`eme en termes math´ematiques et le
r´esoudre en utilisant les fonctions trigonom´etriques et les relations qui les lient,
ainsi que les th´eor`emes s’y rapportant.
1) Un parc a la forme d’un hexagone r´egulier de 2km de cˆot´e. Alice marche le long
du p´erim`etre du parc et parcourt 5km. A quelle distance (en ligne droite) de son
point de d´epart (un des sommets de l’hexagone) se trouve-t-elle ?
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Solutions exercices objectifs
1.1) Le sinus et le cosinus d’un angle αsont d´efinis par :
x
y
1
1
-1
-1
0
αP
M
sin(x)
cos(x)
Soit P(1; 0) sur le cercle trigonom´etrique. Soit encore M
l’image de Ppar une rotation de centre 0 et d’angle α.
On appelle cosinus de αet sinus de αles coordonn´ees
du point M.
On note : M(cos(α); sin(α)).
2.1) a) 17π
9b) 31π 45 c) 22.5◦d) 28,65◦
3.1) a) 84 mm b) 140 mm
4.1) Le tableau complet :
degr´es radians sin cos tan cot
0 0 0 1 0 −
30 π
6
1
2
√3
2
√3
3√3
45 π
4
√2
2
√2
21 1
60 π
3
√3
2
1
2√3√3 3
90 π
21 0 −0
5.1) α= 69.3◦,a= 21.70, c= 23.20
6.1) β= 65,84◦,a= 20,78, b= 42,10
7.1) √13 = 3.606 km
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