fonction sinus et fonction cosinus

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FONCTIONS COSINUS ET SINUS.
I.
DEFINITIONS
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O ; I , J),
tout réel t admet une image M sur le cercle trigonométrique.
Le cosinus de t est l’abscisse du point M.
Le sinus de t est l’ordonnée du point M
Définition :
- La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel t,
associe son cosinus.
- La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à tout réel t,
associe son sinus.
II.
PROPRIETES
1) Dérivabilité.
Théorème admis :
• Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et pour tout réel t,
’ ’ .
• a et b étant deux réels, les fonctions f et g définies sur ℝ par :
sont dérivables sur ℝ et pour tout réel t, ‘
Exemples. Dérivées des fonctions
: →
3cos 3
Pour tout réel x,
3
’
4 : 4
!
et
.
sin
2) Conséquence.
La fonction a.
étant dérivable sur ℝ de dérivée la fonction
, le quotient $%& '$%&(
'(
0 comme limite lorsque x tend vers 0.
0
Or,
0
1 donc lim
→(
x
$%&
1
Variations sur [0 ; π]
b.
x
-
0 et
0
π/2
π
0
-
0
π/2
0
+
0
π
-
1
1
-1
0
0
admet
3) Parité.
a. Définition.
• On sait que pour tout réel x,
• On sait que pour tout réel x,
. On dit que la fonction cosinus est paire.
. On dit que la fonction sinus est impaire.
b. Interprétation graphique.
La courbe représentative de la fonction cosinus est
symétrique par rapport à (OJ).
La courbe représentative de la fonction sinus est
symétrique par rapport à l’origine.
4) Périodicité.
a. Définition.
On sait que pour tout réel x,
2π
et
2π On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
.
b. Interprétation graphique.
• Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par les translations de vecteurs
/012 et /012.
Cela signifie que l’image de chacune de ces courbes par l’une de ces translations est égale à la courbe elle-même.
•
Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoides.
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