Chapitre 4 : Adjonction

Chapitre 4 : Adjonction
Dominique Duval, 11 juillet 2006, Cat´egories pour l’Informatique Chapitre 4

Foncteurs adjoints
D´efinition. Soient deux cat´egories A,Bet deux foncteurs F, G :
A
F
33B
G
ss
Alors Fest adjoint `a gauche de G, et Gest adjoint `a droite de F(parfois not´e G`F),
s’il y a une bijection naturelle en A∈Aet B∈B:
HomA(A, G(B)) ∼
=HomB(F(A), B)
Exemple. On a d´ej`a vu plusieurs exemples o`u Gest un foncteur d’oubli (not´e U) :
Ens
F
22Mon
U
rrGr
F
22Cat
U
rr
et o`u parfois, de plus, F.U ∼
=IdB:
GrCat
F
22Cat
U
qqSpeceq
F11Theoeq
U
qq
Exemple. La cat´egorie Cat a des produits : la cat´egorie C1×C2(produit des cat´egories
C1et C2) a pour objets les couples (X1, X2) et pour morphismes les couples (f1, f2). D’o`u :
∆C= (idC,idC) : C→C×C
Le foncteur ∆Ca pour adjoint `a droite le produit binaire, car
HomC(X, Y1×Y2)∼
=HomC(X, Y1)×HomC(X, Y2) = HomC×C(∆(X),(Y1, Y2)) :
C
∆11C×C
×
rr
Le foncteur ∆Ca pour adjoint `a gauche la somme binaire, car
HomC(X1+X2, Y )∼
=HomC(X1, Y )×HomC(X2, Y ) = HomC×C((X1, X2),∆(X)) :
C×C
+
22C
∆
qq
Dominique Duval, 11 juillet 2006, Cat´egories pour l’Informatique Chapitre 4, page 1

Unit´e et counit´e
Soit une adjonction :
A
F
33B
G
ssHomA(A, G(B)) ∼
=HomB(F(A), B)
Alors, en posant B=F(A) :
HomA(A, G(F(A))) ∼
=HomB(F(A), F (A))
ηA↔idF(A)
d’o`u une transformation naturelle appel´ee unit´e :
η: IdA⇒G.F
Dualement, en posant A=G(B) :
HomA(G(B), G(B)) ∼
=HomB(F(G(B)), B)
idG(B)↔εB
d’o`u une transformation naturelle appel´ee counit´e :
ε:F.G ⇒IdB
Exemple.
Gr
F
22Cat
U
rr
Pour tout graphe Γ il y a un morphisme de graphes ηΓ: Γ →U(F(Γ))
Pour toute cat´egorie Cil y a un foncteur εC:F(U(C)) →C
Propri´et´e. Dans une ´equivalence de cat´egories :
C
γ
++C0
γ0
kkavec γ0.γ ∼
=idCet γ.γ0∼
=idC0
γet γ0sont adjoints, des deux cˆot´es.
Dominique Duval, 11 juillet 2006, Cat´egories pour l’Informatique Chapitre 4, page 2

Citations
Saunders Mac Lane (“Categories for the working mathematician”, 2nd ed., notes du
Ch.4) :
. . . Daniel Kan in [1958] was the first to recognize and study adjoint functors.
. . . Bourbaki’s construction problem emphasized representable functors, and asked
“Find F x so that W(x, a)∼
=A(F x, a)”.
This formulation lacks the symmetry of the adjunction problem,
“Find F x so that X(x, Ga)∼
=A(F x, a)”.
and so missed a basic discovery.”
. . . Put differently, good general theory does not search for the maximum generality,
but for the right generality.
Jean-Pierre Marquis (“Categories”, in Stanford Encyclopedia of Philosophy) :
The number of mathematical constructions that can be described as adjoints is simply
stunning. Although the details of each one of these constructions vary considerably, the
fact that they can all be described using the same language illustrates the profound unity
of mathematical concepts and mathematical thinking.
Pr´eservation des (co)limites
Th´eor`eme. Soit une adjonction :
A
F
33B
G
ss
Alors l’adjoint `a gauche Fpr´eserve les colimites
et l’adjoint `a droite Gpr´eserve les limites.
Exemple. Les foncteurs oubli et g´en´erateur :
Ens
F
22Mon
U
rr
forment une adjonction, donc Upr´eserve les limites et Fpr´eserve les colimites,
en particulier :
U(Y
i
Mi) = Y
i
U(Mi)F(X
i
Ai) = X
i
F(Ai)
Upr´eserve l’objet terminal : U({e}) = {∗}
en effet Uest un adjoint `a droite, donc il pr´eserve les limites.
Une pr´eserve pas l’objet initial : U({e}) = {∗} 6=∅
donc Un’est pas un adjoint `a gauche, i.e., Un’a pas d’adjoint `a droite.
Dominique Duval, 11 juillet 2006, Cat´egories pour l’Informatique Chapitre 4, page 3