MATHÉMATIQUES 3E SECONDAIRE

MATHÉMATIQUES
3E SECONDAIRE
ÉTAPE 2
 Les fonctions affines et inverses
 La relation de Pythagore et le sens spatial
 Les systèmes d'équations
NOM : ____________________________________________ gr. : _______
Document réalisé par :
Mireille Lessard, Polyvalente Deux-Montagnes
Nathalie Plante, École secondaire St-Gabriel
Table des matières
2. Les fonctions linéaires, affines et inverses


Retour sur résoudre une équation (2e secondaire).................................................................68
Activité d’exploration………………………………………………………………………...............69
2.8 Les fonctions linéaires et affines…..............................…………………………......…...............71
2.9 Le taux de variation d'une fonction affine…….............………………………………..............…72
2.10 La règle d'une fonction affine...................................................................................................83
2.11 La représentation graphique d'une fonction affine...................................................................86
2.12 L'étude du signe de a et b d'une fonction affine......................................................................94
2.13 La fonction inverse..................................................................................................................95
 Consolidation…………………………………………………..……………………….…...............99
Évaluation CD2 :
Évaluation CD1 :
3. La relation de Pythagore et le sens spatial
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
La relation de Pythagore.…………………………………………………………….................104
Pythagore dans l'espace…………………………………………………….............................114
Pythagore et le plan cartésien…………………………………………………….....................116
Les conjectures……………………………………………………...….....................................118
Le sens spatial: Les projections orthogonales.....................................................................120
Le sens spatial: Les projections parallèles et centrales.......................................................124
Évaluation CD2 :
Évaluation CD1 :
4. Les systèmes d'équations

4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Retour sur isoler la variable (2e secondaire)…………………………………………….........131
Les systèmes d'équations…………………………………….…...........................................132
La résolution algébrique d'un système d'équations……………........................……......….134
La résolution graphique d'un système d'équations……………………….………….…….....138
Le nombre de solutions lors de la résolution graphique……………………........................140
Le nombre de solutions lors de la résolution algébrique…………………………….............143
Conjecture: Les voitures téléguidées............................................................................146
Évaluation CD2 :
Évaluation CD1 :
67
 RETOUR SUR RESOUDRE UNE EQUATION - 2E SECONDAIRE
Méthode pour résoudre une équation
On peut résoudre une équation à l’aide de la méthode de l’équilibre (balance).
Exemple : Résoudre l’équation 7x - 23 = 2x – 8
1
7x – 23
+ 23
2
7x = 2x + 15
3
7x
4
5x = 15
5
5x ÷ 5
6
x=3
- 2x
= 2x
= 2x – 8
- 2x
+ 23
+15
= 15 ÷ 5
On additionne une même quantité aux deux membres de
l’équation à résoudre sans en changer l’ensemblesolution.
On effectue l’addition.
On soustrait une même quantité aux deux membres de
l’équation 2 sans en changer l’ensemble-solution.
On effectue la soustraction.
On divise les deux membres de l’équation 4 par une
même quantité (différente de 0) sans en changer
l’ensemble-solution.
On effectue la division.
La solution est x = 3
Exercices
1. Résous les équations suivantes.
a) 3x + 6 = 5x – 2
e) -7x – 11 = -2x + 4
b) 14x – 3 = 11x + 6
f) 8x + 5 = -x – 4
c)
x
 6  15
3
d)
2x
 6  26
5
g)
2x
x
 6   15
3
3
h) 3x – 16 = 4x + 4
68
Activité d’exploration sur les fonctions
PARTIE 1
On mesure l’allongement d’un ressort après avoir accroché des masses différentes.
Voici les mesures obtenues :
masse M
0
5
(en g)
Allongement A
0
15
(en mm)
10
15
20
30
45
60
A
a) L’allongement est-il proportionnel à la masse accrochée
(situation de proportionnalité) ?
b) Construire la droite, représentant ces mesures, dans le repère ci-dessous.
allongement A
10
2
0
2
20
masse M
c) Déterminer le coefficient de proportionnalité (lien multiplicatif) permettant de passer
de la masse M à l’allongement A.
d) Écrire la formule permettant de déterminer (calculer) A à partir de M ?
A = ____________
e) Quelles sont les caractéristiques de ce graphique ?




Passe par l’origine
L’ordonnée à l’origine est différente de 0
Représente une situation de proportionnalité (lien multiplicatif entre les variables)
Représenté par une droite
Ces caractéristiques sont associées à une FONCTION LINEAIRE et une FONCTION AFFINE.
69
67
PARTIE 2
On réalise la même manipulation que celle de la
partie 1 mais on observe la longueur totale du
ressort.
L
Voici les mesures obtenues :
masse M (en g)
longueur L (en mm)
5
25
10
40
15
55
20
70
a) La longueur est-elle proportionnelle à la masse accrochée
(situation de proportionnalité) ?
b) Construire la droite, représentant ces mesures, dans le repère ci-dessous.
Longueur LA(mm)
allongement
10
2
0
2
20
masse M
c) Quelle est la longueur initiale du ressort (sans masse accrochée)?
d) Quelles sont les caractéristiques de ce graphique ?




Passe par l’origine
L’ordonnée à l’origine est différente de 0
Représente une situation de proportionnalité (lien multiplicatif entre les variables)
Représenté par une droite
Ces caractéristiques sont associées à une FONCTION AFFINE.
70
67
PARTIE 3
a) Complète le tableau ci-dessous qui présente les résultats des parties 1 et 2 de l’activité.
masse M
(en g)
Allongement A
(en mm)
longueur L
(en mm)
0
5
10
15
20
0
15
30
45
60
25
40
55
70
b) Recherche à l’aide du tableau :
 l’opération pour passer de la ligne 1 (la masse M) à la ligne 2 (l’allongement A).
 l’opération pour passer de la ligne 2 (l’allongement A) à la ligne 3 (la longueur L).
c) Détermine une formule qui permet de calculer la longueur L à partir de la masse M.
L=
d) Calcule la longueur du ressort si la masse accrochée est de :
1.
12 g
2.
25 g
3.
100 g
3.
100 mm
e) Calcule la masse accrochée si la longueur du ressort est de :
1.
16 mm
2.
58 mm
2.8 Les fonctions linéaires et affines
RESUME DE L’ACTIVITE 3
Une fonction linéaire est une fonction qui traduit une situation de ________________________.
 Dans une table de valeurs, il existe donc un __________________________ entre les variables.
 La représentation graphique est une __________________ qui passe par __________________.
 La règle est de la forme :
y = ax
y = ax + b
Une fonction affine est une fonction dont la représentation graphique est une ________________ .
 La règle est de la forme :
y = ax
y = ax + b
71
67
Fonctions affines
Fonctions linéaires
Rappel : un taux est un rapport établi entre deux grandeurs de nature différente et par conséquent,
ces grandeurs sont exprimées avec des unités différentes.
Exemples :

le taux 10$/disque représente un _____________unitaire,

le taux 3 km/hr représente une _________________________,

le taux 4 litres/sec représente un _______________________.
2.9 Le taux de variation d’une fonction affine
Un taux de variation informe sur la façon qu’une situation va varier, soit, comment va varier la variable
dépendante (y) quand la variable indépendante (x) augmente de 1 unité. Cela peut se représenter
par un coût unitaire, une vitesse, un débit, etc.
Exemple :
On observe la hauteur d’une montgolfière (m) selon le temps écoulé (sec). Pour chacun des
exemples suivants, calcule différentes valeurs. x: ____________________________________
y: ____________________________________
TABLES DE VALEURS
1)
Temps écoulé (sec)
0
2
3
5
Hauteur (m)
0
10
15
25
a) La montgolfière ______________ à une vitesse de ________.
b) La hauteur initiale = _____________
c) Équation : _______________________________________
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
72
67
2)
Temps écoulé (sec)
1
2
4
7
Hauteur (m)
7
11
19
31
a) La montgolfière ______________ à une vitesse de ________.
b) La hauteur initiale = _____________
c) Équation : _______________________________________
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
3)
Temps écoulé (sec)
2
5
7
10
Hauteur (m)
30
60
80
110
a) La montgolfière ______________ à une vitesse de ________.
b) La hauteur initiale = _____________
c) Équation : _______________________________________
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
4)
Temps écoulé (sec)
4
8
16
40
Hauteur (m)
5
10
20
50
a) La montgolfière ______________ à une vitesse de ________.
b) La hauteur initiale = _____________
c) Équation : _______________________________________
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
73
67
5)
Temps écoulé (sec)
0
1
3
6
Hauteur (m)
20
18
14
8
a) La montgolfière ______________ à une vitesse de ________.
b) La hauteur initiale = _____________
c) Équation : _______________________________________
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
6)
Temps écoulé (sec)
2
5
7
12
Hauteur (m)
90
75
65
40
a) La montgolfière ______________ à une vitesse de ________.
b) La hauteur initiale = _____________
c) Équation : _______________________________________
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
7)
Temps écoulé (sec)
40
50
65
95
Hauteur (m)
85
93
105
129
a) La montgolfière ______________ à une vitesse de ________.
b) La hauteur initiale = _____________
c) Équation : _______________________________________
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
74
67
Exercices
2. a) Trace le graphique de la relation
correspondant à la table de valeurs.
x
0
1
2
4
5
6
y
?
50
70
110
130
150
b) Calcule le taux de variation.
______________________________
c) Calcule la valeur initiale en recherchant
la valeur de y si x = 0.
______________________________
d) Écris l'équation représentant la relation
entre x et y.
______________________________
3. Luigi travaille comme peintre à un salaire horaire. La table de valeurs ci-dessous décrit la
fonction qui associe, au nombre x d'heures travaillées, le salaire y de Luigi.
Nombre d'heures
10
20
30
40
Salaire (en $)
250
500
750
1000
a) Quel est le taux de variation de cette fonction? __________________________________
b) Interprète le taux de variation.________________________________________________
c) Quelle est la règle (équation) de la fonction? ____________________________________
d) Cette fonction est une fonction linéaire ou seulement affine ? _______________________
4. Lucien est membre d’un club de tennis. Il paye un montant annuel donnant le droit d’accès
au club et un coût par partie jouée. La table de valeurs ci-dessous décrit la fonction qui
associe, au nombre x de parties jouées dans l’année, le montant total annuel y payé par
Lucien.
Nombre de parties (x)
10
20
30
40
Montant annuel (en $)
(y)
320
440
560
680
a) Quel est le taux de variation de cette fonction? __________________________________
b) Interprète le taux de variation.________________________________________________
c) Quelle est la règle (équation) de la fonction? ____________________________________
d) Cette fonction est une fonction linéaire ou seulement affine ? _______________________
75
67
GRAPHIQUES
1)
a) La
d’ascension
de la montgolfière
=
La vitesse
montgolfière
______________
à une vitesse
de
Hauteur
(m)
b) La hauteur initiale =
+15
c) Fonction linéaire
+3
Fonction affine
Temps (sec)
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
e) Équation : ___________________________
2)
a) La montgolfière ______________ à une vitesse de
a) La vitesse d’ascension de la montgolfière =
Hauteur
(m)
b) La hauteur initiale =
(15, 45)
c) Fonction linéaire
Fonction affine
Temps (sec)
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
e) Équation : ___________________________
3)
a) La montgolfière
______________
à une vitesse
de
vitesse d’ascension
de la montgolfière
=
Hauteur
(m)
(5, 20)
b) La hauteur initiale =
c) Fonction linéaire
10
Fonction affine
Temps (sec)
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
e) Équation : ___________________________
4)
a) La
La vitesse
montgolfière
______________
à une vitesse de
a)
d’ascension
de la montgolfière.
Hauteur
(m)
(8, 37)
b) La hauteur initiale.
(5, 25)
c) Fonction linéaire
Temps (sec)
Fonction affine
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
e) Équation : ___________________________
76
67
5)
a) La montgolfière
______________
à une vitesse de
vitesse d’ascension
de la montgolfière.
Hauteur
(m)
50
b) La hauteur initiale.
c) Fonction linéaire
10
Temps (sec)
Fonction affine
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
e) Équation : ___________________________
6)
a) La
La vitesse
montgolfière
______________
à une vitesse de
b)
d’ascension
de la montgolfière.
Hauteur
(m)
(2, 60)
c) La hauteur initiale.
(6, 20 )
d) Fonction linéaire
Temps (sec)
Fonction affine
d) Le taux de variation de cet exemple est ________________.
e) Équation : ___________________________
Je remarque que :

pour calculer mon taux de variation, autant dans une table de valeurs qu’un graphique, on peut
toujours effectuer le calcul suivant :
Taux de variation =
Variation de la variable
=
=
Variation de la variable
où ________________ et _______________ sont les coordonnées de deux points de la fonction.
77
67
À L'AIDE DE 2 POINTS
Détermine le taux de variation de la fonction affine qui passe par les points
a) (2 , 6) et (5 , 21)
b) (3 , -4) et (-1 , 20)
c) (-2 , 4) et (5 , -10)

lorsque ma situation représente une fonction linéaire (j’ai alors une situation de
____________________________________), le taux de variation correspond aussi au
____________________________________ entre les variables.
La règle d’une fonction affine est représentée par l’équation :
où a est le ____________________________________
y=
et b est l’ _____________________________________
(b = 0 pour la fonction _________________)
Exercices
5. Détermine le taux de variation des fonctions suivantes.
a)
b)
d)
e)
c)
f)
78
67
6. Détermine la valeur de x.
b) -30 = 4x – 10
a) 12 = 2x + 4
c) 0 = -3x + 12
d) -20 = -2x – 10
7. Détermine la valeur de b pour chacune des fonctions données si
a) x = 5 et y = 20
y = 2x + b
b) x = -2 et y = -20
c) x = 5 et y = 20
y = 4x + b
y = -2x + b
d) x = -10 et y = -15
y = -4x + b
8. Observe les tables de valeurs, les équations et les graphiques ci-dessous. Puis, sous chaque
graphique, écris la lettre correspondant à la table de valeurs et à l’équation qu’il décrit.
Tables de valeurs
A
Équations
B
C
x
y
x
y
x
y
–6
1
–2
7
–2
–10
–3
2
–1
5
–1
–5
0
3
0
3
0
0
3
4
1
1
1
5
6
5
2
–1
2
10
D y = –2x + 3
E y = 5x
F –x + 3y = 9
Table de valeurs
Équation
Laquelle des équations correspond à une fonction linéaire? _______________________
79
67
9. Écris la règle des fonctions affines suivantes.
a)
b)
c)
d)
10. Détermine le taux de variation et l’ordonnée à l’origine de chaque fonction présentée.
Règle
Taux de variation
a) y = 3x + 1
b) y =
1x
–2
2
c) y = – 4x + 3
d) y = x
e) x + y = 5
y
x
f)
x+y–7=0
y
–x
g) y + 4 = 5x
y
x
h) y – 2x = 0
y
x
80
67
Ordonnée à l’origine
11. a) Si f (x) = 2x - 8, détermine :
1)
le taux de variation =
2)
3)
l’abscisse à l’origine
4)
5)
détermine x si l’image est 16.
l’ordonnée à l’origine =
f(-10)
6)
Esquisse graphique.
l’ordonnée à l’origine =
b) Si g (x) = -3x + 6, détermine :
1)
le taux de variation =
2)
3)
l’abscisse à l’origine
4)
5)
détermine x si l’image est -18..
6)
81
67
g(5)
Esquisse graphique.
c) Si h (x) = 10, détermine :
1)
le taux de variation =
2)
3)
l’abscisse à l’origine
4)
5)
détermine x si l’image est 5.
l’ordonnée à l’origine =
h(7)
6)
Esquisse graphique.
l’ordonnée à l’origine =
d) Si f (x) = -0,75x + 3, détermine :
1)
le taux de variation =
2)
3)
l’abscisse à l’origine
4)
5)
détermine x si l’image est 15.
6)
82
67
f(-8)
Esquisse graphique.
2.10 La règle d’une fonction affine
Si l’on connaît deux couples d’une fonction affine, ou si l’on connaît un couple et le taux de variation
d’une fonction affine, on peut trouver sa règle.
Exemple
Étapes
La droite passe par les points (10, 45) et (30, 15).
Le taux de variation est :
Étapes lorsqu’on connaît un couple et le taux de variation
Étapes lorsqu’on connaît deux couples de la fonction
1. Trouver le taux de variation à partir des
deux couples de la fonction.
2. Dans la règle f(x) = ax + b,
- substituer le taux de variation à a et
- les coordonnées du point à x et à f(x).
3. Trouver la valeur de b en résolvant la règle.
4. Vérifier la règle trouvée à l’aide d’un
couple.
Exercices
12. Détermine la règle d’une fonction affine qui passe par les points suivants.
a) (1, 3) et (4, 9)
b) (2, 4) et (5, 19)
83
67
c) ( 7, 1) et (9, -3)
d) (7, – 2) et (13, – 8)
e) (– 7, 2) et (-4, 11)
f) (4, – 5) et (6, -5)
g) (2, 1) et (6, 4)
h) (– 1, 2) et (3, 4)
13. Trouve la règle de la fonction dont :
a) la droite a un taux de variation de 5 et passe par le point (0 , 50).
b) la droite a un taux de variation de -0,75 et passe par le point (-2 , -20).
84
67
TROUVER LA RÈGLE À L’AIDE D’UN TEXTE
14. Quelle est la règle qui traduit chacune des situations suivantes ?
a) À la naissance, une baleine bleue mesure environ 7 mètres de long. Après 8 mois, elle mesure
environ 23 mètres.
x : ___________________________________ y : _________________________________
Coordonnées utiles:
Taux =
Règle : _________________________
b) À 10h00, un escaladeur est à 1200 m d’altitude. À 17h00, il est à 500m d’altitude.
x : ___________________________________ y : _________________________________
Coordonnées utiles:
Taux =
Règle : _________________________
c) En 1970, 18 % des ménages canadiens possédaient un téléviseur couleur. En 1997, ce nombre
était de 99 %.
x : ___________________________________ y : _________________________________
Coordonnées utiles:
Taux =
Règle : _________________________
d) En 1947, les compagnies canadiennes de chemin de fer ont enregistré 9 570 millions de
passagers-kilomètres. En 1996, elles ont enregistré 1 534 millions de passagers-kilomètres.
x : ___________________________________ y : _________________________________
Coordonnées utiles:
Taux =
Règle : _________________________
85
67
2.11 La représentation graphique d'une fonction affine
__________ points suffisent pour représenter une fonction affine. Toutefois, un ______
point vient confirmer la validité des deux autres car les 3 points doivent former une
droite.
La représentation graphique de la fonction affine g(x)= ax + b est une droite passant
par le point de coordonnées (0 ; ______) car quand x = 0, y = _______ .
On doit ensuite utiliser la règle pour identifier tout autre point.
f(x) = 3x – 2
Ex.:
4
La droite va passer par les points :
x
0
f(0) =
1
f(1) =
2
5
3
f(x)
2
1
f(2) =
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
-1
f(5) =
-2
-3
On peut aussi utiliser le principe de l’escalier pour tracer la droite d’une fonction affine.
Ex.: Soit f(x) = 5x.
Comme a = 5, b = 0 et on sait que
a=
y
5
 .
x
1
Cela signifie que :
- on met un point à (0 , 0),
- quand le x augmente de ____ unité, le y
augmente de ______ unités. On place ainsi au
moins un autre point avant de tracer la droite.
86
67
4
Ex1: Représenter dans un même plan cartésien ces 4 fonctions affines :
- En bleu, la fonction
f(x) = 2x + 1 ;
- En rouge, la fonction g(x) = -3x + 2 ;
4
3
x+1;
2
3
- En vert, la fonction
h(x) =
- En gris, la fonction
k(x) = -
x
f(x)
x
1
1
x+ .
4
2
2
1
g(x)
-4
-3
-2
O
-1
1
2
3
4
-1
x
h(x)
x
k(x)
-2
-3
Ex2: Représenter les fonctions f et g telles que :
f(1) = 2
f(-3) = -1
g(-4) = 0
4
g(2) = -3
3
Détermine la règle de chacune des fonctions.
2
Fonction f :
1
-4
-3
-2
-1
O
-1
-2
-3
Fonction g:
87
67
1
2
3
4
Exercices
15. Complète le tableau ci-dessous, portant sur quatre fonctions.
Équation
1)
y = 3x +1
2)
y = -4x+12
3)
2
y   x8
3
4)
-3x + 2y = 4
Fonction croissante
ou décroissante ?
Taux de variation
b) Pour chacune des fonctions, élabore une table de valeurs contenant trois couples de valeurs, puis
trace le graphique représentant la fonction.
1)
3)
x
y
x
y
x
y
x
y
2)
4)
88
67
16. On a représenté dans un repère les fonctions linéaires f, g et h :
a. Compléter en lisant sur le graphique :
f(4) = ……
g(-1) = ……
h(8) = ……
f(……) = -3
g(……) = -1
h(……) = 4
b. Déterminer la règle de chacune
des fonctions.
1
O
f (x) = …………………...……
1
g (x) = …………………………
h (x) = …………………………
17. Représenter dans un même plan cartésien ces 4 fonctions affines :

f(x) = 3x + 1 ;

g(x) = -2x + 3 ;

3
h(x) = - x ;
4

k(x) =
4
3
2
1
x - 1.
3
1
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
-1
-2
-3
18. Ta voisine fait venir un plombier pour quelques réparations. Celui-ci a travaillé 6 heures et lui a
chargé 300$. La semaine suivante, tu appelles le même plombier pour qu’il vienne réparer un
tuyau. Il a travaillé 1 heure et t’a chargé 100$.
Explique ce qui s’est passé sachant que le plombier a fait de bons calculs pour les coûts.
89
67
4
19. Rachid économise de l’argent en vue d’aller rendre visite aux membres de sa famille en Europe.
À la fin de chaque mois, il met de côté le même montant. Après trois mois, il lui manque 3 150 $.
Après sept mois, il lui manque encore 1 750 $.
a) Fais une esquisse de la situation.
b) Écris la règle de cette fonction.
c) Quel montant Rachid doit-il amasser, en tout, pour son voyage ? ____________
d) Combien de temps lui faudra-t-il pour amasser ce montant ?
20. Le graphique ci-dessous montre la distance parcourue à bicyclette par Jessica en 3 heures.
a) À quelle vitesse Jessica roule-t-elle ?
b) De façon approximative, combien de temps lui a-t-il fallu pour
parcourir 15 km ?
c) De façon approximative, quelle distance a-t-elle parcourue en
2 h 40 min ?
90
67
21. En 1871, la population du Canada était de 3 690 000 habitants. En 1996, elle était de
29 670 000 habitants.
a) Détermine la règle de cette fonction.
x : __________________________________ y :_________________________________
b) Quelle sera la population en 2005 ?
En 2020 ?
c) Détermine en quelle année la population du Canada a atteint 20 000 000 de personnes.
d) E n quelle année la population du Canada atteindra 50 000 000 de personnes.
22. La température initiale de l’eau est de 10 oC. Elle augmente de 2 oC à chaque minute
jusqu’au point d’ébullition.
a) Quelles sont les variables dépendante et indépendante ?
x : ____________________________________ y : __________________________________
c) Quelle est l’ordonnée à l’origine ?
b) Quel est le taux de variation ?
d) Y a-t-il une abscisse à l’origine ? Pourquoi ?
e) Trouve la règle de cette fonction.
f) Quelle sera la température après 25 minutes ?
g) Après combien de temps atteint-on le point d’ébullition ?
91
67
23. Tina répare des ordinateurs. Elle demande 45 $ pour ses frais de déplacement et 55 $
pour chaque heure de travail.
a) Complète la table de valeurs des tarifs de Tina pour des interventions nécessitant
jusqu’à 5 heures de travail.
Nombre d’heures
0
1
2
3
4
5
Tarif ($)
b) Représente graphiquement cette fonction.
c) La droite passe-t-elle par l’origine ?
Justifie ta réponse.
d) Détermine la règle de cette fonction.
e) Quel sera le tarif après 12 heures de travail ?
f) Combien d’heures a-t-elle travaillé pour un tarif de 622,50$ ?
24. La fréquence cardiaque maximale d’une personne adulte se traduit par l’équation
y = 220 – x, où x représente l’âge de la personne en année et y, le nombre de
battements cardiaques par minute.
a) Quelle est la fréquence cardiaque maximale d’une personne de 34 ans ?
b) Quelle est la fréquence cardiaque maximale d’une personne de 65 ans ?
c) À quel âge la fréquence cardiaque maximale d’une personne est-elle de
178 battements par minute ?
d) Quel âge a une personne dont la fréquence cardiaque maximale est de
150 battements par minute ?
92
67
25. Marie-Kim travaille dans un magasin où l’on vend des téléviseurs et des appareils audio.
Elle gagne 300 $ par semaine, plus une commission de 10 % sur ses ventes.
a) Écris la règle qui représente son salaire pour une semaine de travail.
x : _________________________________ y : __________________________________
b) Détermine le salaire de Marie-Kim pour une semaine de travail durant laquelle ses
ventes s’élèvent à 6 500 $.
c) Si Marie-Kim vise un salaire hebdomadaire d’au moins 825 $, quel doit être son
objectif minimal de ventes pour une semaine ?
26. André distribue des cahiers publicitaires de porte en porte. Il reçoit 6 $ pour 50 cahiers distribués,
9 $ pour 75 et 11,40 $ pour 95.
a) Remplis la table de valeurs ci-contre.
Nombre de
cahiers publicitaires
distribués (x)
b) Quel est le taux de variation ?
Salaire
f(x)
c) Exprime la règle de cette situation.
f(x)=
d) Quel sera le salaire d’André s’il distribue 240 cahiers publicitaires ?
e) Combien de cahiers publicitaires André doit-il distribuer s’il s’attend à obtenir 45 $ ?
93
67
2.12 L’étude du signe de a et b d’une fonction affine
Le tableau suivant présente l’effet du signe du taux de variation, a, et l’effet du signe de la valeur
initiale, b, sur le graphique d’une fonction affine y = ax + b.
Lorsque a = 0
Lorsque a > 0
Lorsque a < 0
La valeur de la variable
dépendante est la
même, peu importe la
valeur de la variable
indépendante. La
fonction est dite
constante .
Les valeurs de x et y
varient dans le même
sens. La fonction est
croissante.
Les valeurs de x et y
varient dans des sens
opposés. La fonction est
décroissante
.
y
y
y
Lorsque b > 0
La droite rencontre
l’axe des
ordonnées audessus de l’axe
des abscisses
x
x
x
y
y
y
Lorsque b = 0
La droite passe par
l’origine.
La fonction est dite
« linéaire ».
Lorsque b < 0
La droite rencontre
l’axe des
ordonnées audessous de l’axe
des abscisses.
x
x
y
y
x
y
x
94
67
x
x
2.13 La fonction de variation inverse
Exemple : Maxime prépare un voyage scolaire. L’autobus coûtera 240 $ pour le voyage. Il observe
le coût par personne selon le nombre de personnes inscrites.
Voici différents modes de représentation pour cette situation.
Mode de représentation
Exemple
LA TABLE DE VALEURS
x : le nombre de personnes inscrites
y : le coût par personne ($)
x
y
1
2
8
80
60
10
On remarque que :
Dans la table de valeurs, le
________________ de la valeur du x et
celle du y associée est
_________________.
LE GRAPHIQUE
La représentation graphique de cette
situation est une ___________________
décroissante qui s’approche des deux axes
sans y toucher.
Le produit des
20
__________________________ est
1
constant pour tout point du graphique. On le
désigne par k.
LA REGLE
La représentation algébrique d’une fonction
de variation inverse est de la forme :
La règle de cette fonction est :
xy =
Ex.:
k
k
xy  k ou y 
ou f ( x ) 
x
x
ou
y=
ou
f(x) =
f(16) =
S’il y a ______ personnes qui participent au
où k représente une constante.
voyage, ça leur coûtera ________ $
Remarque : Les variables x et y ne peuvent
pas égaler 0.
chacune.
La fonction de variation inverse est une fonction dont le produit des valeurs associées des
variables indépendante et dépendante est constant (xy = k).
95
67
Exercices
27. Jacques organise un spectacle pour son groupe de musique « Les Yukulala ». La location de la
salle et l’embauche du technicien lui coûtent 400 $. Son but n’étant pas de faire un profit, il
souhaite fixer le prix d’entrée en fonction du nombre de billets qu’il pense vendre.
a) Détermine la variable dépendante et la variable indépendante de cette situation.
var. ind. (x) : ________________________________________
var. dép. (y) : ____________________________________________
b) Écris son équation.
c) Si la salle comporte 115 places, quel sera le prix minimal d’un billet ?
d) Jacques craint de vendre moins de billets que prévu. Quel effet cela aura-t-il sur le prix de vente
du billet ?
28. Dominique invite tous ses amis à célébrer son anniversaire. Un immense gâteau sera partagé entre
tous les invités présents à la fête. Vu du dessus, le gâteau présente une surface de 900 cm 2.
a) Trace le graphique de la surface d’une part de gâteau en fonction du nombre personnes
présentes.
b) Donne l’équation permettant
de trouver la part de chaque
invité.
c) Si un invité a reçu une part
de gâteau ayant 50 cm2 de
surface, combien de
personnes se trouvent à la
fête ?
d) S’il y a 12 personnes, quelle sera la surface de la part de gâteau que recevra chaque invité ?
96
67
29. Monsieur Gougeon a écrit un premier roman qui sera publié
sous peu. La relation entre x, le prix de vente unitaire d’un
livre, et f (x), le nombre de livres que sa maison d’édition
prévoit vendre, est représentée par une fonction de variation
inverse. Voici le graphique de cette fonction.
a) Quelle est l’équation qui représente cette situation ?
b) Quel prix de vente unitaire la maison d’édition doit-elle fixer si elle veut vendre au moins
500 livres ?
c) Combien de livres devra-t-elle vendre si le prix de vente est de 112 $ ?
30. Les élèves de la classe de Mme Nathalie ont décidé de peindre leur local étudiant. Il faudrait huit
heures à une personne seule pour effectuer ce travail. Mais, bien sûr, plus d’élèves participent, plus
la tâche se fera rapidement…
a) Complète la table de valeurs suivante et trace le graphique.
Nombre d’élèves
Temps (h)
1
2
4
5
8
b) Si seulement trois élèves travaillent, combien d’heures leur faudra-t-il pour peindre
le local ?
c) Si n élèves participent à la tâche, en combien de temps sera-t-elle terminée ? Exprime
ta réponse à l’aide d’une équation donnant la relation entre le nombre d’élèves, n,
et le temps, f(n).
e) La relation est-elle croissante ou décroissante ?
f) À quel nombre le produit de n par f(n) est-il égal ? Pourquoi ?
97
67
31.
Maxime doit peindre les murs d’une cuisine. Son salaire par heure, y, varie en fonction du
temps, x, qu’il prendra pour effectuer la tâche.
S’il désire avoir un taux horaire supérieur à 12$, en
combien de temps doit-il terminer son travail ?
32. Une seule des tables de valeurs ci-dessous représente une fonction inverse. Laquelle ?
Pourquoi ? Donne l’équation de la fonction représentée par cette table de valeurs.
x
2
4
6
12
x
2
4
5
9
f(x)
12
6
4
2
g(x)
40
20
16
7
33. Écris les équations suivantes sous la forme
a)
xy = 24
x
y
b)
et complète les tables de valeurs.
xy = 150
x
c)
y
x=
x
d)
y
50xy = 5
x
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
4
3
4
5
5
4
8
50
8
5
16
100
10
10
98
67
y
Consolidation
34. Détermine la règle de chacune des fonctions ci-dessous.
1) Une fonction constante passant par (0, – 7).
2) Une fonction affine passant par (– 4, 3) et (– 1, 1).
3) Une fonction de variation inverse passant par (2, 12) et (8, 3).
4) Une fonction linéaire dont l’ordonnée est le double de l’abscisse.
5) Une fonction affine dont l’abscisse à l’origine est – 5 et l’ordonnée à l’origine est 5.
35. Sans tracer de graphique, indique, parmi les fonctions suivantes, celles qui sont croissantes et
celles qui sont décroissantes. Indice: Si possible, détermine le taux de variation!
f (x) = –2x + 3
a=
g(x) = 20
x
h (x) = 2x
3
a=
i (x) = – x – 4
a=
k (x) =
(6x3)
4
a=
Fonctions croissantes : __________________ Fonctions décroissantes : __________________
99
67
36. Trouve l’équation de chacune des tables de valeurs suivantes. Attention! Il y a des affines et des inverses!
a)
b)
c)
d)
e)
x
-4
-2
0
2
y
-35
-15
5
25
x
1
2
4
7
y
20
17
11
2
x
2
3
4
8
y
24
16
12
6
x
2
3
5
8
y
14
19
29
44
x
2
5
12
20
y
27
10,8
4,5
2,7
Équation :
Équation :
Équation :
Équation :
Équation :
37. Soit les cinq fonctions représentées dans le plan cartésien ci-dessous.
Associe chacune de ces fonctions à sa règle.
f (x) = 2x – 3
3
g (x) = x
j (x) = – 3
h (x) = 2x
k (x) = – 2x
100
i (x) = – 2x + 7
l (x) =  x + 7
2
38. La lumière voyage beaucoup plus rapidement que le son ; c’est pourquoi tu vois les éclairs
avant d’entendre le tonnerre. Par exemple, si un orage se trouve à 960 mètres de toi, il
s’écoulera 2,8 secondes entre l’éclair et le coup de tonnerre. Si l’orage se trouve à 1 680
mètres de toi, il s’écoulera alors 4,9 secondes.
a) Détermine le taux de variation, au mètre par seconde près.
b) Décris le taux de variation en une phrase.
c) Si l’intervalle est de 3,7 secondes, détermine la distance qui te sépare de l’orage, à la
dizaine de mètres près.
d) Si tu te trouves à 2 500 m de l’orage, quel est l’intervalle, au dixième de seconde près ?
39. Le réservoir d'essence de la voiture de madame Bolduc a une capacité de 45 L. Avant de prendre
la route pour la Gaspésie, elle remet son odomètre à 0 km. Cent quarante kilomètres plus loin, le
réservoir d'essence de sa voiture contient 26 L. Lorsque l'odomètre indique 210 km, le réservoir
d'essence contient alors 19 L.
a) Quelle est la consommation d'essence moyenne (L/100 km) de la voiture de Mme Bolduc?
b) Au moment où Mme Bolduc a pris la route, le réservoir d'essence de sa voiture était-il plein?
Explique ta réponse.
c) Quelle quantité d'essence le réservoir d'essence contiendra-t-il après 250 km? 320 km?
d) Mme Bolduc peut-elle espérer rouler sans manquer d'essence sur une distance de 420 km?
Explique ta réponse.
101
67
40. Tu dois taper un texte pour un travail en français. A 9h00, il te reste 4575 mots à taper (méchant
travail !). A 11h00, il ne te reste que 2135 mots à écrire. Si tu continues à taper au même
rythme, à quelle heure auras-tu fini de taper ton texte?
41. La règle f(x) = 6x + 55 représente la relation entre la masse en grammes d'une boîte de
craquelins et le nombre de craquelins dans la boîte.
a) Quelle est la masse de la boîte vide? ______________
b) Quelle est la masse d'un craquelin? _______________
c) Si la masse d'une boite pleine de craquelins est de 355 g, combien contient-elle de
craquelins?
d) Si la boîte contient 48 craquelins, quelle sera la masse de la boite?
42. Marie décide de déposer un même montant d'argent à toutes les semaines dans le but de
faire un voyage. Le graphique suivant illustre l'état de son compte de banque. Pendant
combien de semaines doit-elle faire ce dépôt pour partir en voyage si le coût de celui-ci est
de 920$ ?
Solde du compte ($)
560
260
3
102
67
8
Semaines
43. Observe les fonctions suivantes.
Détermine :
1) le domaine ;
a)
x
f(x)
1
5
3
5
8
5
17
5
2) l’image ;
3) l’image de 3 ;
4) (100, y);
5) (x, 6) ;
6) l’ordonnée à l’origine.
Détermine :
1) le domaine ;
2) l’image ;
b)
g(x)  3x
3) l’image de 3 ;
4) (100, y);
5) (x, 6) ;
6) l’ordonnée à l’origine.
Détermine :
1) le domaine ;
2) l’image ;
c)
3) l’image de 3 ;
4) (100, y);
5) (x, 6) ;
6) l’ordonnée à l’origine.
Détermine :
d)
1)
le domaine ;
2)
l’image ;
3)
l’image de 3 ;
4)
(100, y);
5)
(x, 6) ;
6)
l’ordonnée à l’origine.
103
67