probabilité probabilité 28

2
Probabilités
conditionnelles
CHAPITRE
Suite à une étude de la correspondance entre Fermat et Pascal, le physicien et ma-
thématicien hollandais, Christiaan HUYGENS, publie en 1657 un traité sur le sur les
raisonnements dans le jeu de dés.
C’est le premier traité consacré à la théorie des probabilités.
Il y introduit comme notion fondamentale la valeur de l’espérance d’une situation
d’incertitude.
Ce livre, sera repris de manière décisive par Jacques Bernoulli dans la première partie
de son « Ars conjectandi » publié en 1715.
Dans son livre, Huygens propose à ses lecteurs cinq problèmes relatifs à des lancers de
dés, à des tirages dans des urnes, et à des tirages de cartes.

Sommaire
0 Généralités
0.1 Programme de la classe de Première S
0.2 Programme de la classe de Terminale S
0.3 Programme libanais de la classe de Terminale série SG
1 Introduction
1.1 Rappels
a) Vocabulaire et notations
b) Probabilité
1.2 Introduction
a) Exercices
b) Synthèse
2 Probabilités conditionnelles
2.1 Définition et propriétés
a) Définition
b) Propriétés
c) Exercice
2.2 Modélisation par un arbre
a) Principe de la représentation
b) Exemple type
c) Exercice
2.3 Formule des probabilités totales
a) Probabilités totales
b) Exercices
3 Indépendance de deux événements
3.1 Définition et propriétés
a) Définition
b) Propriétés
c) Exercices
3.2 Application à la loi binomiale
a) Définitions
b) Propriétés
c) Usage de la calculatrice ClassPad
4 Résumé du cours
5 Démonstrations du cours
6 Exercices
62 Sommaire chapitre 2 Francis CORTADO

Généralités
0
01Programme de la classe de Première S
La notion de loi de probabilité d’une variable aléatoire permet de modéliser des situations aléa-
toires, d’en proposer un traitement probabiliste et de justifier certains faits observés expérimentale-
ment en classe de seconde.
L’utilisation des arbres pondérés est développée pour modéliser la répétition d’expériences iden-
tiques et indépendantes.
Elle est restreinte à ce cadre afin d’éviter toute confusion avec des situations relevant des probabilités
conditionnelles.
Dans le cas particulier d’expériences identiques et indépendantes à deux issues, on introduit la loi
binomiale.
CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Variable aléatoire discrète :
loi de probabilité
espérance
variance et écart-type.
• Déterminer et exploiter
la loi d’une variable aléa-
toire.
• Interpréter l’espérance
comme valeur moyenne
dans le cas d’un grand
nombre de répétitions.
À l’aide de simulations et d’une ap-
proche heuristique de la loi des
grands nombres, on fait le lien avec la
moyenne et la variance d’une série de
données.
On exploite les fonctionnalités de la
calculatrice ou d’un logiciel pour dé-
terminer l’espérance, la variance et
l’écart-type d’une variable aléatoire.
On démontre les formules suivantes
sur l’espérance et la variance :
E(aX+b)=aE(X)+b
et
V(a·X)=a2·V(X)
Modélisation de la répé-
tition d’expériences iden-
tiques et indépendantes à
deux ou trois issues.
• Représenter la répétition
d’expériences iden-
tiques et indépendantes
par un arbre pondéré.
• Utiliser cette représenta-
tion pour déterminer la
loi d’une variable aléa-
toire associée à une telle
situation.
On convient que pour la répétition
d’expériences identiques et indépen-
dantes, la probabilité d’une liste de ré-
sultats est le produit des probabilités
de chaque résultat (la notion de pro-
babilité conditionnelle est hors pro-
gramme).
On peut aussi traiter quelques situa-
tions autour de la loi géométrique
tronquée.
On peut simuler la loi géométrique
tronquée avec un algorithme.
Francis CORTADO Sommaire chapitre 2 63

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
• Épreuve de Ber-
noulli, loi de Ber-
noulli.
• Schéma de Ber-
noulli, loi bi-
nomiale (loi du
nombre de succès).
• Coefficients bino-
miaux, triangle de
Pascal.
• Reconnaître des situa-
tions relevant de la loi bi-
nomiale.
• Calculer une probabilité
relevant de la loi bino-
miale.
La représentation à l’aide d’un arbre est
privilégiée : il s’agit ici d’installer une re-
présentation mentale efficace.
On peut ainsi :
• faciliter la découverte de la loi bi-
nomiale pour des petites valeurs
de n
soit n64
• introduire le coefficient binomial
Ãn
p!comme nombre de chemins
de l’arbre réalisant ksuccès pour
nrépétitions ;
• établir enfin la formule générale
de la loi binomiale.
Démontrer que
Ãn+1
k+1!=Ãn k!+Ãn k+1!
Représenter graphiquement la
loi binomiale.
Cette égalité est établie en raisonnant
sur le nombre de chemins réalisant k+1
succès pour n+1 répétitions.
On établit également la propriété de sy-
métrie des coefficients binomiaux.
Représenter graphiquement la loi bino-
miale.
L’utilisation des coefficients binomiaux
dans des problèmes de dénombrement
et leur écriture à l’aide des facto-
rielles ne sont pas des attendus du pro-
gramme.
En pratique, on utilise une calculatrice
ou un logiciel pour obtenir les valeurs
des coefficients binomiaux, calculer di-
rectement des probabilités et représen-
ter graphiquement la loi binomiale.
Loi binomiale :
Espérance
variance et écart-type.
Exploiter l’espérance d’une loi
binomiale dans des contextes
variés.
La formule donnant l’espérance de la
loi binomiale est conjecturée puis ad-
mise, celle de la variance est admise.
On peut simuler la loi binomiale avec
un algorithme.
64 Sommaire chapitre 2 Francis CORTADO

02Programme de la classe de Terminale S
CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Conditionnement par un
événement de probabilité
non nulle.
Notation PA(B).
• Construire un arbre pon-
déré en lien avec une si-
tuation donnée.
• Exploiter la lecture d’un
arbre pondéré pour dé-
terminer des probabili-
tés.
• Calculer la probabi-
lité d’un événement
connaissant ses proba-
bilités conditionnelles
relatives à une partition
de l’univers.
• On représente une situation à
l’aide d’un arbre pondéré ou d’un
tableau. On énonce et on justifie
les règles de construction et d’uti-
lisation des arbres pondérés.
• Un arbre pondéré correctement
construit constitue une preuve.
• Le vocabulaire lié à la formule des
probabilités totales n’est pas un
attendu du programme, mais la
mise en œuvre de cette formule
doit être maîtrisée.
Indépendance de deux
événements.
Démontrer que si deux événe-
ments A et B sont indépen-
dants, alors il en est de même
pour Aet B .
• Cette partie du programme se
prête particulièrement à l’étude
de situations concrètes.
• Des activités algorithmiques sont
menées dans ce cadre, notam-
ment pour simuler une marche
aléatoire.
• SVT Hérédité, génétique, risque
génétique.
03Programme libanais de la classe de Terminale série SG
Probabilité conditionnelle :définition, indépendance de deux événements
1. Définir et calculer la probabilité d’un événement A, sachant qu’un événement B est réalisé.
2. Définir deux événements indépendants.
Calculer pB(A) par la formule :
pB(A)=P(A/B)=p(A∩B)
p(B)
Calculer p(A∩B) par la formule :
p(A∩B)=p(A/B)×p(B)=p(B/A)×p(A)
Reconnaître deux événements indépendants par le fait que p(A/B)=p(A)
Francis CORTADO Sommaire chapitre 2 65