probabilité probabilité 28

CHAPITRE
2
Probabilités
conditionnelles
Suite à une étude de la correspondance entre Fermat et Pascal, le physicien et mathématicien hollandais, Christiaan H UYGENS, publie en 1657 un traité sur le sur les
raisonnements dans le jeu de dés.
C’est le premier traité consacré à la théorie des probabilités.
Il y introduit comme notion fondamentale la valeur de l’espérance d’une situation
d’incertitude.
Ce livre, sera repris de manière décisive par Jacques Bernoulli dans la première partie
de son « Ars conjectandi » publié en 1715.
Dans son livre, Huygens propose à ses lecteurs cinq problèmes relatifs à des lancers de
dés, à des tirages dans des urnes, et à des tirages de cartes.
Sommaire
0
1
Généralités
0.1
Programme de la classe de Première S
0.2
Programme de la classe de Terminale S
0.3
Programme libanais de la classe de Terminale série SG
Introduction
1.1
Rappels
a)
b)
1.2
Introduction
a)
b)
2
2.2
2.3
Principe de la représentation
Exemple type
Exercice
Formule des probabilités totales
a)
b)
Probabilités totales
Exercices
Indépendance de deux événements
3.1
Définition et propriétés
a)
b)
c)
3.2
Définition
Propriétés
Exercices
Application à la loi binomiale
a)
b)
c)
62
Définition
Propriétés
Exercice
Modélisation par un arbre
a)
b)
c)
4
5
6
Exercices
Synthèse
Probabilités conditionnelles
2.1
Définition et propriétés
a)
b)
c)
3
Vocabulaire et notations
Probabilité
Définitions
Propriétés
Usage de la calculatrice ClassPad
Résumé du cours
Démonstrations du cours
Exercices
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
0
Généralités
0 1 Programme de la classe de Première S
La notion de loi de probabilité d’une variable aléatoire permet de modéliser des situations aléatoires, d’en proposer un traitement probabiliste et de justifier certains faits observés expérimentalement en classe de seconde.
L’utilisation des arbres pondérés est développée pour modéliser la répétition d’expériences identiques et indépendantes.
Elle est restreinte à ce cadre afin d’éviter toute confusion avec des situations relevant des probabilités
conditionnelles.
Dans le cas particulier d’expériences identiques et indépendantes à deux issues, on introduit la loi
binomiale.
C ONTENUS
Variable aléatoire discrète :
loi de probabilité
espérance
variance et écart-type.
C APACITÉS ATTENDUES
• Déterminer et exploiter
la loi d’une variable aléatoire.
• Interpréter l’espérance
comme valeur moyenne
dans le cas d’un grand
nombre de répétitions.
C OMMENTAIRES
À l’aide de simulations et d’une approche heuristique de la loi des
grands nombres, on fait le lien avec la
moyenne et la variance d’une série de
données.
On exploite les fonctionnalités de la
calculatrice ou d’un logiciel pour déterminer l’espérance, la variance et
l’écart-type d’une variable aléatoire.
On démontre les formules suivantes
sur l’espérance et la variance :
E(a X + b) = a E(X) + b
et
V(a · X) = a 2 · V(X)
Modélisation de la répétition d’expériences identiques et indépendantes à
deux ou trois issues.
• Représenter la répétition
d’expériences
identiques et indépendantes
par un arbre pondéré.
• Utiliser cette représentation pour déterminer la
loi d’une variable aléatoire associée à une telle
situation.
On convient que pour la répétition
d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités
de chaque résultat (la notion de probabilité conditionnelle est hors programme).
On peut aussi traiter quelques situations autour de la loi géométrique
tronquée.
On peut simuler la loi géométrique
tronquée avec un algorithme.
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
63
C ONTENUS
C APACITÉS ATTENDUES
• Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
• Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale.
• Schéma de Bernoulli,
loi
binomiale (loi du
nombre de succès).
• Calculer une probabilité
relevant de la loi binomiale.
• Coefficients binomiaux, triangle de
Pascal.
C OMMENTAIRES
La représentation à l’aide d’un arbre est
privilégiée : il s’agit ici d’installer une représentation mentale efficace.
On peut ainsi :
• faciliter la découverte de la loi binomiale pour des petites valeurs
de n
soit n 6 4
• introduire
le coefficient binomial
à !
n
comme nombre de chemins
p
de l’arbre réalisant k succès pour
n répétitions ;
• établir enfin la formule générale
de la loi binomiale.
Démontrer que
Ã
! Ã ! Ã
!
n +1
n
n
=
+
k +1
k
k +1
Représenter graphiquement la
loi binomiale.
Loi binomiale :
Espérance
variance et écart-type.
64
Exploiter l’espérance d’une loi
binomiale dans des contextes
variés.
Sommaire chapitre 2
Cette égalité est établie en raisonnant
sur le nombre de chemins réalisant k +1
succès pour n + 1 répétitions.
On établit également la propriété de symétrie des coefficients binomiaux.
Représenter graphiquement la loi binomiale.
L’utilisation des coefficients binomiaux
dans des problèmes de dénombrement
et leur écriture à l’aide des factorielles ne sont pas des attendus du programme.
En pratique, on utilise une calculatrice
ou un logiciel pour obtenir les valeurs
des coefficients binomiaux, calculer directement des probabilités et représenter graphiquement la loi binomiale.
La formule donnant l’espérance de la
loi binomiale est conjecturée puis admise, celle de la variance est admise.
On peut simuler la loi binomiale avec
un algorithme.
Francis C ORTADO
0 2 Programme de la classe de Terminale S
C ONTENUS
Conditionnement par un
événement de probabilité
non nulle.
Notation PA (B).
C APACITÉS ATTENDUES
• Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.
• Exploiter la lecture d’un
arbre pondéré pour déterminer des probabilités.
• Calculer la probabilité d’un événement
connaissant ses probabilités conditionnelles
relatives à une partition
de l’univers.
Indépendance de deux
événements.
Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants, alors il en est de même
pour A et B .
C OMMENTAIRES
• On représente une situation à
l’aide d’un arbre pondéré ou d’un
tableau. On énonce et on justifie
les règles de construction et d’utilisation des arbres pondérés.
• Un arbre pondéré correctement
construit constitue une preuve.
• Le vocabulaire lié à la formule des
probabilités totales n’est pas un
attendu du programme, mais la
mise en œuvre de cette formule
doit être maîtrisée.
• Cette partie du programme se
prête particulièrement à l’étude
de situations concrètes.
• Des activités algorithmiques sont
menées dans ce cadre, notamment pour simuler une marche
aléatoire.
• SVT Hérédité, génétique, risque
génétique.
0 3 Programme libanais de la classe de Terminale série SG
Probabilité conditionnelle :définition, indépendance de deux événements
1. Définir et calculer la probabilité d’un événement A, sachant qu’un événement B est réalisé.
2. Définir deux événements indépendants.
Calculer pB (A) par la formule :
pB (A) = P(A/B) =
p(A ∩ B)
p(B)
Calculer p(A ∩ B) par la formule :
p(A ∩ B) = p(A/B) × p(B) = p(B/A) × p(A)
Reconnaître deux événements indépendants par le fait que p(A/B) = p(A)
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
65
On remarquera que, si un événement B ⊂ Ω est réalisé, alors l’univers nouveau se réduit à B.
On introduira la notion de probabilité conditionnelle à partir des considérations intuitives, puis on
passera à l’application de la formule qui sera admise.
Le calcul de la probabilité conditionnelle se fera uniquement par l’application de la formule.
On fera remarquer que si A et B sont indépendants, alors p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
On fera le changement de cadre (B ⊂ Ω) à partir du concret d’une façon numérique, graphique et par
comparaison. On mettra en relief l’importance de cette notion dans les cas d’information partielle
ou d’information nulle.
On multipliera les exemples concrets pour distinguer entre événements indépendants et événements
incompatibles.
Formule des probabilités totales
1. Reconnaître la formule des probabilités totales.
Reconnaître un système fondamental d’événements (partition)
Ω=
[
Bi tel que Bi ∩ B j = ; pour i 6= j
i
Savoir que si A ⊂ Ω, alors :
A=
[
(A ∩ B k )
k = 1, 2, 3, 4.
k
Connaître et utiliser la formule :
p(A) =
X
p(Bi ) × p(A/Bi )
i
où Bi est un système fondamental d’événements.
On fera remarquer que dans une même épreuve les Bi peuvent changer.
On se limitera à un système fondamental à quatre parties au plus.
66
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
1
Introduction
1 1 Rappels
a) Vocabulaire et notations
On considère une expérience aléatoire, c’est à dire qui dépend du hasard, et dont le nombre
d’issues possibles est fini.
Un événement qui ne comporte qu’une seule issue est appelé événement élémentaire.
On considère un événement A, constitué d’événements élémentaires, notés e i .
On note Ω l’événement certain (ou « Univers des possibles »), ; l’événement impossible, et A
l’événement contraire de A.
La réunion (ou l’union) de deux événements A et B, est l’événement qui est réalisé si l’un au
moins des deux événements A ou B est réalisé.
On le note A ∪ B, qui se lit « A union B » ou bien « A ou B ».
L’intersection de deux événements A et B, est l’événement qui est réalisé si les deux événements A ou B sont simultanément réalisés.
On le note A ∩ B, qui se lit « A inter B » ou bien « A et B ».
b) Probabilité
Soit A un événement quelconque, on lui associe une probabilité p telle que :
• 0 6 p(A) 6 1
Propriété 1
• p(Ω) = 1, p(;) = 0 et p(A) = 1 − p(A)
¡
¢
¡
¢
• Si B est un autre événement, p A ∪ B = p(A) + p(B) − p A ∩ B
Si A ∩ B = ;, on dit que les deux événements A et B sont disjoints ou incompatibles, dans ce
cas
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité.
Dans le cas où Ω comporte n événements élémentaires distincts ωi , alors
Propriété 2
¡
¢
p {ωi } =
1
n
Exercice 1
On lance un dé équilibré à six faces et on considère les événements suivants :
A :"On obtient un résultat pair"
B :"On obtient un résultat multiple de trois"
1. Calculer p(A), p(B).
2. Calculer p (A ∩ B)
3. Calculer p (A ∪ B)
4. Retrouver l’expression de la probabilité de A ∪ B en fonction de celle de A ∩ B
Solution
3 1
2 1
1. p(A) = = et p(B) = =
6 2
6 3
2. « A ∩ B » correspond à l’événement « obtenir un résultat pair et un multiple de trois ».
1
Ceci est réalisé par l’unique événement {6}, d’où p (A ∩ B) = .
6
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
67
3. « A ∪ B » correspond à l’événement « obtenir un résultat pair ou un multiple de trois ».
4 2
Ceci est réalisé par les événements {2}, {3}, {4}, et {6}, d’où p (A ∪ B) = = .
6 3
4. On constate que
p(A) + p(B) − p(A ∩ B) =
1 1 1 4 2
+ − = =
2 3 6 6 3
1 2 Introduction
a) Exercices
Exercice 2
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
1. Quelle est la probabilité p 1 d’obtenir Face au premier lancer ?
2. On vient d’obtenir un Face au premier lancer, quelle est la probabilité p 2 , d’obtenir Face au
second lancer ?
3. Quelle est la probabilité p 3 d’obtenir Face au premier et au second lancer ?
On notera F1 l’événement "obtenir Face au premier lancer" et F2 "obtenir Face au second lancer"
Solution
1
1. La probabilité d’obtenir Face au premier lancer est de p1 = p(F1 ) = .
2
2. La pièce étant identique pour le deuxième lancer, le résultat du premier n’influence pas celui
1
du second lancer, donc p 2 = p(F2 ) = .
2
3. On peut modéliser cette situation par l’arbre suivant :
0, 5
P
0, 5
F
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5
P
F
P
F
Ce qui nous donne
p 3 = p (F1 ∩ F2 ) =
1
4
Exercice 3
On considère les trois classes de seconde A, B et C, d’un lycée. Les effectifs respectifs de ces classes
sont 30, 38 et 32 élèves.
On sait qu’il y a 60% des élèves de seconde A qui passent en première S, 50% de la seconde B et
25% de la seconde C.
On choisi un élève au hasard dans ces trois secondes, et on note :
• A l’événement :« l’élève est en seconde A ».
• B l’événement :« l’élève est en seconde B ».
• C l’événement :« l’élève est en seconde C ».
• S l’événement :« l’élève passe en première S.
• S l’événement :« l’élève passe ne passe pas en première S. »
68
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
1. a) Quelle est la probabilité q 1 = p(A), qu’un élève de seconde choisi au hasard, soit de la seconde A ?
b) On choisit un élève au hasard dans la seconde A, quelle est la probabilité, notée q 2 , que cet
élève passe en première S ?
2. a) Traduire les données de cet exercice par un tableau faisant apparaitre les divers effectifs.
b) On choisit un élève de seconde au hasard, quelle est la probabilité, notée q 3 = p(A ∩ S), que
cet élève soit de la seconde A et qu’il passe en première S ?
c) On choisit un élève de seconde au hasard, quelle est la probabilité, notée q 4 = p(S), que cet
élève passe en première S ?
Solution
Première S
Autres
Effectif
Seconde A
60%
40%
30 élèves
Seconde B
50%
50%
38 élèves
Seconde C
25%
75%
32 élèves
1. a) Il y a en tout 100 élèves en classe de seconde dont 30 en seconde A, d’où
q 1 = p(A) = 0,30
b) La probabilité cherchée correspond au pourcentage d’élèves de la seconde A qui passent en
Première S. Ce pourcentage, donné par l’énoncé est de 60%, donc
q 2 = 0,60
2. a)
Première S
Autres
Effectif total
Seconde A
18
12
30
Seconde B
19
19
38
Seconde C
8
24
32
Effectif total
45
55
100
b) L’élève étant choisi au hasard parmi tous les élèves de seconde, il y a 100 possibilités. Il y a
60% des 30 élèves de la seconde A qui passent en Première S, soit 18 élèves.
La probabilité cherchée est
18
q 3 = p(A ∩ S) =
= 0,18
100
c) Sur les 100 élèves en classe de seconde il y en a 45 qui passent en première S, ce qui fait un
pourcentage de 45% et donc
45
q 4 = p(S) =
= 0,45
100
b) Synthèse
Dans le premier exercice, nous avons obtenu l’égalité
p(F1 ∩ F2 ) =
1 1 1
= × = p(F1 ) × p(F2 )
4 2 2
Dans le second exercice, nous avons obtenu :
p(A ∩ S) = 0,18 et p(A) × p(S) = 0,30 × 0,45 = 0,135
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
69
donc
p(A ∩ S) 6= p(A) × p(S)
Nous constatons que sur le deuxième exemple, il n’y a pas égalité entre la probabilité de l’intersection et celle du produit des probabilités.
p(A ∩ S) 6= p(A) × p(S)
Dans le premier exercice, les lancers de la pièce de monnaie ne s’influencent pas.
Mais, dans le second exercice, il n’en est pas de même entre le passage en Première S et la classe
de seconde d’origine de l’élève.
La probabilité q 3 obtenue, correspond à la probabilité que l’élève passe en première S sachant
qu’il est en seconde A. On dit que c’est une probabilité conditionnelle.
On constate que
p(A ∩ S) = 0,18 = 0,60 × 0,30 = q2 × p(A)
Ou encore que
q2 =
p(A ∩ S)
p(A)
Cette égalité va servir à définir la notion de probabilité conditionnelle.
2
Probabilités conditionnelles
2 1 Définition et propriétés
a) Définition
Définition 1
Soit A un événement non vide.
La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée pA (B) est la probabilité que l’événement
B soit réalisé sachant que l’événement A est réalisé.
Elle est définie par
¡
¢
p A∩B
pA (B) =
p (A)
Remarque. :
pA (A) = pA (Ω) = 1, pA (;) = 0, pΩ (A) = p(A)
b) Propriétés
La définition précédente permet également de calculer la probabilité d’une intersection connaissant une probabilité conditionnelle
¡
¢
¡
¢
¡
¢
p A∩B
pA (B) =
⇔ p A ∩ B = p(A) × pA (B)
p(A)
Propriété 3
70
p A∩B
pB (A) =
⇔ p(A ∩ B) = p(B) × pB (A)
p(B)
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
c) Exercice
Exercice 3
3. À l’aide de la définition, calculer pS (A), pS (B) et pS (C)
Solution
¡
¢
p S∩A
0,18
pS (A) =
=
= 0,6
p(A)
0,30
¡
¢
¡
¢
p S∩B
0,5
pS (B) =
=
= 0,19
p(S)
0,38
p S∩C
0,25
pS (C) =
=
= 0,08
p(C)
0,32
2 2 Modélisation par un arbre
a) Principe de la représentation
On peut modéliser l’exercice précédent par par un arbre construit selon les règles suivantes.
Propriété 4
• Sur les premières branches figurent les probabilités des événements correspondants.
• Sur les branches secondaires sont indiquées les probabilités conditionnelles correspondantes.
• A l’extrémité de chaque branche on obtient la probabilité de l’intersection correspondante,
qui se calcule en effectuant le produit des deux probabilités précédentes.
b) Exemple type
Les probabilités portées en rouge sont des probabilités conditionnelles.
p A (B )
B : p(A ∩ B) = p(A) × pA (B)
A
¡ ¢
pA B
¡
¢
¡ ¢
B : p A ∩ B = p(A) × pA B
p(A)
¡ ¢
¡ ¢
pA
¡ ¢
pA B
A
B : p(A ∩ B) = p A × pA (B)
¡ ¢
pA B
¡
¢
¡ ¢
¡ ¢
B : p A ∩ B = p A × pA B
c) Exercice
Exercice 4
1. On tire successivement deux cartes d’un jeu de 32 cartes, en remettant la première carte tirée
dans le jeu avant de tirer la seconde.
Soit A l’événement : « la première carte tirée est un dix »
Soit B l’événement :« la seconde carte tirée est un dix ».
a) Modéliser la situation par un arbre.
b) Calculer : p(A) ; pA (B) ; p(A ∩ B) et p(B).
2. On modifie l’expérience en ne remettant plus les cartes tirées dans le jeu.
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
71
a) Modéliser la situation par un arbre.
b) Calculer : p(A) ; pA (B) ; p(A ∩ B) et
p(B).
Solution
Avec remise
A
1
8
1
8
B
7
8
B
7
8
1
8
A
B
7
8
B
Sans remise
A
1
8
3
31
B
28
31
B
7
8
4
31
A
B
27
31
B
2 3 Formule des probabilités totales
a) Probabilités totales
Propriété 5
La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui
mènent à cet événement
Ce résultat relatif aux arbres peut se formaliser par la formule suivante, appelée "formule des
probabilités totales"
Formule des probabilités totales
Soient A1 , A2 ,. . . , An des événements Ai deux à deux disjoints dont la réunion est égale à Ω,
alors
¡
¢
¡
¢
¡
¢
p(B) = p A1 ∩ B + p A2 ∩ B + · · · + p An ∩ B
Propriété 6
Ou encore
p(B) = p(A1 ) × pA1 (B) + p(A2 ) × pA2 (B) + · · · + p(An ) × pAn (B)
En particulier, dans le cas de deux événements A et A,
¡
¢
¡
¢
¡ ¢
p(B) = p A ∩ B + p A ∩ B = p(A) × pA (B) + p A × pA (B)
Remarque. Il n’est pas nécessaire d’appliquer cette formule telle quelle, un arbre correctement
construit et justifié a valeur de preuve.
72
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
b) Exercices
Exercice 5
On s’intéresse à la production d’huitres. Les huitres sont calibrées en trois catégories, petites,
moyennes et grosses. On effectue un tri qui dans certains cas présente une probabilité d’erreurs
de la façon suivante.
Catégorie
P
M
G
Probabilité
0,035
0,06
0,045
Par ailleurs, la proportion d’huitres de chaque catégorie est :
Petites : 13%
Moyennes : 54%
Grosses : 33%.
1. a) Modéliser la situation par un arbre pondéré.
b) En déduire la probabilité de l’événement E :« l’huitre a été mal triée »
2. En déduire la probabilité qu’une huitre soit moyenne sachant qu’elle est mal triée.
Solution
1. a)
P
0,035
0,965
0, 13
0, 54
M
0,06
0,94
0, 33
G
0,045
0,955
E
E
E
E
E
E
b) On en déduit que :
p(E) = 0,13 × 0,035 + 0,54 × 0,06 + 0,33 × 0,045 = 0,051 8
¡
¢
p E∩M
0,032 4
2. pE (M) =
=
= 0,625 5
p(E)
0,051 8
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
73
3
Indépendance de deux événements
3 1 Définition et propriétés
a) Définition
Dans l’exercice 3 nous avons vu que les événements A et B s’influencent mutuellement.
Dans le cas contraire, on dira qu’ils sont indépendants.
Ce qui se traduit par la définition
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si
Définition 2
pA (B) = p(B)
pB (A) = p(A)
ou encore
Exemple. Cas du tirage des "dix" dans un jeu de 32 cartes.
• Pour un tirage avec remise
8
1
1
1 1 7 1
= et pA (B) =
p(B) = × + × =
8 8 8 8 64 8
8
p(B) = pA (B)
A et B sont indépendants
• Pour un tirage sans remise
p(B) =
4
1
3
7
31
1
3
×
+ ×
=
= et pA (B) =
8 31 8 31 248 8
31
p(B) 6= pA (B)
A et B ne sont pas indépendants
b) Propriétés
L’indépendance de deux événements a une influence directe sur la probabilité de leur intersection, en effet :
Supposons A et B indépendants, puisque
p(A ∩ B) = p(A) × pA (B)
il vient dans ce cas
¡
¢
p A ∩ B = p(A) × pA (B) = p(A) × p(B)
Réciproquement, si p(A ∩ B) = p(A) × p(B), on aura
¡
¢
p A∩B
p(A) × p(B)
=
= p(B)
pA (B) =
p(A)
p(A)
Ce qui signifie que les événements A et B sont indépendants.
On peut donc énoncer :
Deux événements A et B sont indépendants, si et seulement si
Propriété 7
¡
¢
p A ∩ B = p(A) × p(B)
74
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
Il est légitime de penser que si deux événements ne s’influencent pas mutuellement il en soit
de même de leur contraire :
Propriété 8
Si A et B sont deux événements indépendants, il en est de même de A et B
Démonstration. Démonstration exigible
Supposons A et B indépendants et calculons p(A) × p(B) :
¡
¢
p(A) × p(B) = 1 − p(A) × p(B) (1)
Or A et B sont indépendants, donc p(A) = pB (A)
D’où dans (1), il vient
¡ ¢
¡
¢
p A × p(B) = 1 − pB (A) × p(B) (2)
Or les événements « A sachant B » et « A sachant B » sont contraires, d’où
¡ ¢
1 − pB (A) = pB A
En remplaçant dans (2), il vient
¡ ¢
¡ ¢
p A × p(B) = pB A × p(B)
¡
¢
= p A∩B
Ce qui montre que A et B sont indépendants
Remarque.
En inversant les rôles de A et de B, on montre que :
Si A et B sont indépendants, il en est de même de A et B. En appliquant une nouvelle fois le théorème 2 à A et B, on obtient que si A et B sont indépendants, alors il en et de même de A et B. En
conclusion :
Propriété 9
Si A et B sont deux événement indépendants, il en est de même de A et B, de A et B, ainsi que
de A et B.
c) Exercices
Exercice 6
Un fabriquant de téléphones portables annonce que ses téléphones peuvent rencontrer deux
types de problèmes et tomber en panne de la façon suivante.
a. La probabilité qu’un téléphone tombe en panne à cause d’un défaut de composants, appelé
événement C, est de 0,2.
b. La probabilité qu’un téléphone tombe en panne à cause de la carte SIM, appelé événement
S, est de 0,4.
Ces deux événements sont supposés indépendants.
Quelle est la probabilité que le téléphone ne tombe pas en panne ?
Solution
Notons M l’événement, le téléphone ne tombe pas en panne (il est en état de marche).
Alors M = C ∩ S et donc
¡
¢
p(M) = p C ∩ S
Comme C et S sont supposés indépendants, d’après le théorème 3, il en est de même de C et de S,
d’où :
¡ ¢
¡ ¢
p(M) = p C × p S
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
75
¡ ¢
¡ ¢
Or p(C) = 0,2 donc p C = 0,8, p(S) = 0,4 donc p S = 0,6, il s’ensuit que
p(M) = 0,8 × 0,6 = 0,48
Remarque. Souvent c’est le contexte général du problème qui permet d’affirmer que deux événements sont indépendants.
De telles considérations ont permis d’introduire la loi binomiale.
Exercice 7
Mon voisin a deux enfants dont une fille.
Quelle est la probabilité que son autre enfant soit une fille également ?
On supposera les naissances indépendantes deux à deux, et que la probabilité d’avoir une fille est
1
la même que celle d’avoir un garçon, soit
2
1. Mon voisin a deux enfants dont une fille qui se nomme Sophie.
Quelle est la probabilité que son autre enfant soit une fille également ?
Solution
1.
1
2
F
1
2
1
2
1
2
1
2
G
1
2
F
G
F
G
Soit F l’événement "Mon voisin a deux enfants dont une fille".
p(F) =
1 1 1 3
+ + =
4 4 4 4
Soit FF l’événement "Mon voisin a deux filles"
p(FF) =
1
4
La probabilité cherchée est celle de l’événement "Mon voisin a deux filles sachant qu’il en a déjà
une"
1
p(FF) 4 1
pF (FF) =
= =
3 3
p(F)
4
1
1
et non comme on aurait pu le penser.
3
2
2. A vous de réfléchir... Si cela vous intéresse, vous pouvez suivre ce lien
La réponse est donc
Le problème des Sophies par J.P D ELAHAYE
76
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
3 2 Application à la loi binomiale
a) Définitions
Variable aléatoire discrète
a. Une variable aléatoire est une fonction X définie sur Ω, qui a tout élément de Ω fait
correspondre un réel.
b. Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs {x 1 , x 2 , · · · , x n }, on dit que cette variable
aléatoire est discrète.
c. Dans ce cas, définir la loi de probabilité de X, c’est donner la valeur de
¢
¡
p i = p X = xi
pour tout i entre 1 et n.
Définition 3
d. On appelle espérance mathématique de X le nombre réel noté E(X), définit par
n
X
E(X) =
xi · p i
i =1
e. On appelle variance de X le nombre réel noté V(X), définit par
V (X) =
n ¡
X
i =1
n
X
¡
¢2
¢2
x i2 · p i − E(X)
x i − E (X) · p i =
i =1
f. On appelle écart type de X le nombre réel noté σ(X), définit par
σ(X) =
p
V (X)
On montre que
Propriété 10
¡
¢
E a X + b = a E(X) + b
et
V a X + b = a 2 V (X)
¡
¢
Épreuve et schéma de Bernoulli
a. On appelle épreuve de B ERNOULLI, une expérience aléatoire à deux issues, appelées
d’une façon générale succès (S) et échec (E = S).
Définition 4
b. On appelle schéma de B ERNOULLI, la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques
et indépendantes.
c. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de succès dans un schéma de B ERNOULLI
à n épreuves dont la probabilité du succès est p.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
Coefficients binomiaux
Définition 5
Francis C ORTADO
Soient n et k deux entiers naturels tels que 0 6
à k !6 n.
n
On appelle coefficient binomial et on note
le nombre de chemins réalisant k succès
k
parmi n épreuves répétées.
Sommaire chapitre 2
77
b) Propriétés
a. Construction du triangle de PASCAL
0
Propriété 11
1
2
3
4
5
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
6
1
Soient n et k deux entiers naturels tels que 0 6 k 6 n.
b. Valeurs particulières
Ã
! Ã !
à ! Ã
!
n
n
n
n
=
= 1 et
=
=n
0
n
1
n −1
c. Symétrie
Ã
! Ã
!
n
n
=
k
n −k
d. Triangle de PASCAL
Ã
! Ã ! Ã
!
n +1
n
n
=
+
k +1
k
k +1
Théorème 1
78
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Pour tout entier k tel que 0 6 k 6 n, la loi de probabilité de X est donnée par
à !
¡
¢
n
p X=k =
× p k × (1 − p)n−k
k
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
Espérance et variance d’une loi binomiale.
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors :
Propriété 12
a. L’espérance de X est E(X) = np.
b. La variance de X est V(X) = np(1 − p) = npq, en posant q = 1 − p
Exercice 8
Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux événements indépendants :
R « Il n’entend pas son réveil sonner ».
S « Son scooter tombe en panne ».
Il a observé que chaque jour, p(R) = 0,1 et p(S) = 0,05.
Lorsqu’au moins un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au Lycée ; sinon il est
à l’heure.
1. Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que
son scooter tombe en panne.
2. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au Lycée un jour de classe donné.
3. Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois en classe.
On admet que le fait qu’il entende son réveil sonner un jour de classe donné n’influe pas sur le fait
qu’il l’entende ou non les jours suivants. Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil
au moins quatre fois au cours d’une semaine ?
Donner un résultat arrondi à la quatrième décimale.
Solution
1. On demande de calculer p(R ∩ S).
R et S étant indépendants, il en est de même de R et S, d’où
¢
¡
¡ ¢
p R ∩ S = p R × p(S) = 0,9 × 0,05 = 0,045
¡
¢
2. Il faut calculer p R ∩ S .
R et S étant indépendants, il en est de même de R et S, d’où
¡
¢
¡ ¢
¡ ¢
p R ∩ S = p R × p S = 0,9 × 0,95 = 0,855
3. l’expérience consiste à répéter, de façon indépendante, cinq fois de suite la même épreuve de
Bernoulli, pour laquelle la probabilité du succès est p = p(R) = 0,9.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de fois où Stéphane entend son réveil, X suit donc
une loi binomiale de paramètre
¡
¢ 5 et 0, 9.
Il faut donc calculer p X > 4 .
à !
à !
5
5
4
1
p X > 4 = p X = 4 +p X = 5 =
× 0,9 × 0, 1 +
× 0,95 × 0,10
4
5
¡
¢
¡
¢
¡
¢
Soit
p X > 4 = 5 × 0,94 × 0,1 + 1 × 0,95
¡
¢
On obtient
¡
¢
p X > 4 w 0,918 5
Exercice 9
Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le numéro 1 et
sont rouges.
Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes.
1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit rouge ?
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
79
2. On a tiré une boule au hasard, elle est rouge.
2
.
7
3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue n tirages successifs d’une boule avec
remise (après chaque tirage la boule est remise dans l’urne).
a) Exprimer en fonction de n la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages.
b) À l’aide d’un algorithme, déterminer l’entier n à partir duquel la probabilité d’obtenir au
moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou égale à 0,99.
Montrer que la probabilité qu’elle porte le numéro 2 est égale à
Solution
b
0.2
R1
b
0.1
b
N2
0.8
R2
b
0.9
b
V2
• R est l’événement « tirer une boule rouge ».
• R1 est l’événement « tirer une boule rouge numérotée 1 ».
• N2 est l’événement « tirer le numéro 2 ».
• R2 est l’événement « tirer une rouge numérotée 2 ».
• V2 est l’événement « tirer une verte numérotée 2 ».
1. D’après l’arbre ci-dessus
p(R) = 0,2 + 0,8 × 0,1 = 0,28
2. On veut pR (N2 ) soit
pR (N2 ) =
p(N2 ∩ R) p(N2 ∩ R2 ) 0,8 × 0, 1 2
=
=
=
p(R)
p(R)
0,28
7
3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Puisqu’on répète n fois une expérience à deux issues indépendantes deux à deux, la variable
aléatoire X qui donne le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres n et 0,2.
Donc, pour k entier entre 0 et n,
à !
n
p(X = k) =
× 0,2k × 0,8n−k
k
a) On a
p(X > 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0,8n
.
b) Ceci revient à résoudre (n entier naturel)
1 − 0,8n > 0,99 ⇔ 0,8n 6 0,01
80
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
Algorithme : Détermination d’un rang tel que 0,8n 6 0,01
Traitement
Tant que 0,8n > 0,01 faire
n ← n +1
FinTantque
Afficher n
Fin Algorithme
On peut également modifier cet algorithme pour qu’il fonctionne quel que soit p et quel que
soit la valeur minimale e de la probabilité du succès souhaité.
Algorithme : Détermination d’un rang n tel que p(X > 1) > e
Traitement
Saisir p et e
Tant que p n > 1 − e faire
n ← n +1
FinTantque
Afficher n
Fin Algorithme
Avec Algobox
Fichier Algobox n°1
Fichier Algobox n°2
Il faut donc faire au moins 21 tirages, pour que la probabilité d’obtenir au moins une boule
rouge portant le numéro 1 soit supérieure ou égale à 0,99, et 31 tirages pour qu’elle soit supérieure
ou égale à 0,999
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
81
c) Usage de la calculatrice ClassPad
• Calcul des coefficients binomiaux.
Ã
!
n
Pour calculer le coefficient binomial
, on utilise le menu calc puis la fonction nCr, en
k
entrant dans l’ordre n puis k.
à !
5
Dans l’exemple qui suit on propose de calculer
2
• Calcul direct d’une probabilité. La ClassPad permet de calculer directement les probabilités
suivantes, lorsque la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètre n et p
Choisir le menu Statistiques puis Calc et Répartition
Le menu déroulant propose alors différentes possibilités dont deux indiquées :
DP Binomiale et DC Binomiale.
Pour calculer p(X = k) lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on utilise DP
Binomiale et on renseigne :
• "x" par le nombre de succès voulus k.
• "Nb Essais" par la valeur de n.
82
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
• "pos"par la probabilité du succès p
Par exemple, pour n = 5, p = 0,9 et k = 4, on obtient le résultat dans la ligne prob.
On trouve p(X = 4) = 0,328 05
Pour calculer p(a 6 X 6 b), on utilise DC Binomiale et on renseigne :
• "Inférieur" par la valeur de a.
• "Supérieur" par la valeur de b.
• "Nb Essais" par la valeur de n.
• "pos" parla probabilité du succès p
Par exemple, pour n = 5, p = 0,9 et k = 4, on obtient pour le calcul de p(X > 4) le résultat
dans la ligne prob.
On trouve p(X > 4) = 0,918 54
On remarque que les valeurs des bornes sont incluses. Si l’on souhaite calculer p(2 < X < 4),
on remplacera cette probabilité par p(3 6 X 6 5).
De même, pour calculer p(X 6 k) on utilisera p(0 6 X 6 k) et p(k 6 X 6 n) pour calculer
p(X > k)
Francis C ORTADO
Sommaire chapitre 2
83
Résumé du cours
Probabilités conditionnelles
Définition 1
Soit B un événement de probabilité non nulle.
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, la probabilité que A soit réalisé sachant
que B est réalisée, on note cette probabilité pB (A) et
¡
p A∩B
pB (A) =
p(B)
¢
Le calcul d’une telle probabilité peut s’effectuer directement, d’après l’énoncé de l’exercice.
Cette dernière relation écrite sous la forme
¡
¢
p A ∩ B = pB (A) × p(B)
permet de calculer la probabilité d’une intersection en fonction d’une probabilité conditionnelle.
Définition 2
Si la probabilité que A soit réalisé ne dépend pas de B, on dit que les événements A et B sont
indépendants et alors
pA (B) = p(B) et pB (A) = p(A)
Propriété 1
Si A et B sont indépendants, il en est de même de A et B, de A et B,
ainsi que de A et B
A et B sont indépendants si et seulement si
Théorème 1
¡
¢
p A ∩ B = p(A) × p(B)
Théorème 2
Formule des probabilités totales.
• Soit B un événement de probabilité non nulle, et soit A un événement quelconque.
¡
¢
¡
¢
¡ ¢
p(A) = p A ∩ B + p A ∩ B = pB (A) × p(B) + pB (A) × p B
84
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Variable aléatoire discrète
a. Une variable aléatoire discrète est une fonction X définie sur Ω, qui a tout élément de
Ω fait correspondre un réel. X ne prenant qu’un nombre fini de valeurs x i de probabilité
pi .
b. On appelle espérance mathématique de X le nombre réel noté E(X), définit par
n
X
E(X) =
xi · p i
i =1
Définition 3
c. On appelle variance de X le nombre réel noté V(X), définit par
V (X) =
n ¡
X
i =1
n
X
¢2
¡
¢2
x i − E(X) · p i =
x i2 · p i − E(X)
i =1
d. On appelle écart type de X le nombre réel noté σ(X), définit par
σ(X) =
p
V (X)
On montre que
Propriété 2
¡
¢
E a X + b = a E(X) + b
et
V a X + b = a 2 V (X)
¡
¢
Définition 4
On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve a deux issues possibles appelées succès de probabilité p, et échec de probabilité q = 1 − p
Définition 5
On appelle schéma de Bernoulli une suite de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes deux à deux.
Définition 6
On appelle loi binomiale de paramètres n et p, la variable aléatoire X qui donne le nombre
de succès obtenu au cours d’un schéma de Bernoulli.
Théorème 3
La loi de probabilité de X est donnée par
à !
¡
¢
n
p X=k =
p k q n−k pour 0 6 k 6 n
k
L’espérance et la variance d’une loi binomiale X de paramètres n et p sont :
Propriété 3
E(X) = np
Francis C ORTADO
et
Sommaire chapitre 2
V(X) = npq
85
Démonstrations du cours
Théorème 1
Démonstration exigible
Si A et B sont deux événement indépendants, il en est de même de A et B
¡ ¢
Démonstration. Supposons A et B indépendants et calculons p A × p(B) :
¡ ¢
¡
¢
p A × p(B) = 1 − p(A) × p(B) (1)
Or A et B sont indépendants, donc p(A) = pB (A).
D’où dans (1), il vient
¡ ¢
p A × p(B) = (1 − pB (A)) × p(B) (2)
Or les deux événements « A sachant B » et « A sachant B » sont contraires, d’où
¡ ¢
1 − pB (A) = pB A
En remplaçant dans (2), il vient
¡ ¢
¡ ¢
p A × p(B) = pB A × p(B)
¢
¡
= p A∩B
Ce qui montre que A et B sont indépendants
86
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
Exercices
1 Dans un atelier de fabrication de processeurs, on
produit deux fois plus de processeurs de type A que de
type B.
La probabilité qu’un processeur de type A soit défectueux
est de 0, 05 et la probabilité qu’un processeur de type B soit
défectueux est de 0, 03.
On prend au hasard un processeur parmi tous les processeurs.
Calculer la probabilité qu’un processeur soit
1. a) De type A b) De type B
2. a) Défectueux b) De type A sachant qu’il est défectueux.
2
Trois machines fabriquent des ampoules électriques dans les proportions suivantes :
20% sont fabriquées par la machine A
50% sont fabriquées par la machine B
30% sont fabriquées par la machine C
Les probabilités que les ampoules fabriquées par les machines A, B et C soient bonnes sont respectivement de
0, 9 ; 0, 95 ; 0, 8
1. Calculer la probabilité pour qu’une ampoule soit
bonne.
2. On achète une ampoule :elle est bonne.
Quelle est la probabilité qu’elle ait été fabriquée par la machine A
3 On considère un scooter qui n’est pas en très bon
état. Soit A l’événement "le scooter tombe en panne de
moteur." et B l’événement "le scooter a une crevaison."
On suppose que p(A) = 0, 06 et que p(B) = 0, 05
1. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
2. Quelle est la probabilité pour que le scooter soit en état
de marche ?
4
1. Justifier l’égalité
¡
¢
¡
¢
p A ∩ B = p(A) − p A ∩ B (1)
2. On suppose que A et B sont deux événements indépendants.
a) Prouver à l’aide de (1) qu’il en est de même des événements A et B
b) Que peut-on, en déduire pour les événements A et B
d’une part et A et B d’autre part ?
Francis C ORTADO
5 La duchesse d’Aquitaine et la duchesse de Bourgogne attentent chacune l’héritier de leur duché.
1. Calculer la probabilité de pouvoir faire une alliance en
mariant les deux enfants attendus.
2. Étudier l’indépendance deux à deux des événements
suivants :
A :"l’héritier d’Aquitaine est un garçon."
B :"l’héritier de bourgogne est un garçon."
C :"les deux héritiers sont de même sexe."
¡
¢
3. A-t-on p A ∩ B ∩ C = p(A) × p(B) × p(C) ?
6 Thomas ne mange que des hamburgers, deux fois
sur trois il va chez Mac Do et une fois sur trois chez Quick.
Sa santé étant fragile, il attrape une gastrite en sortant de
chez Mac Do avec une probabilité de 0, 10, et avec une
probabilité de 0, 15 en sortant de chez Quick.
Sachant qu’il a une gastrite, calculer la probabilité qu’il ait
pris son dernier hamburger chez Quick ?
7 Marcel est distrait. Quand il part travailler, il oublie
parfois de s’habiller et prend le tramway entièrement dévêtu. Quand il a voyagé la veille nu, il voyage nu une fois
sur cinq le jour même ; sinon, une fois sur deux.
On note Nn l’événement « il voyage le n ième jour nu » et p n
sa probabilité.
1. Exprimez p n+1 en fonction de p n .
2. On pose u n = p n − 5/13
a) Exprimez u n+1 en fonction de u n , puis de u 1 et n.
b) Exprimez alors p n en fonction de n.
3. Montrez que la suite (p n ) est convergente et calculez sa
limite.
8 1. Des études morphologiques de la Vénus de Milo
montrent qu’il y a cinq chances sur sept pour qu’elle soit
droitière et deux chances sur sept pour qu’elle soit gauchère. Si elle est droitière, il y a trois chances sur cinq pour
qu’elle épluche des carottes et deux chances sur cinq pour
qu’elle dénoyaute des olives. Si elle est gauchère, il y a une
chance sur deux pour qu’elle épluche des carottes et une
chance sur deux pour qu’elle dénoyaute des olives.
2. Calculez la probabilité pour qu’elle dénoyaute des
olives.
3. Les noyaux trouvés sur le site archéologique de la statue permettent d’affirmer sans hésiter qu’elle dénoyaute
des olives.
Calculez la probabilité pour qu’elle soit gauchère.
9 Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.
Sommaire chapitre 2
87
1
.
2
Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante
3
le soit est . Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la proba4
1
bilité que la suivante soit atteinte est . On note, pour tout
2
entier naturel n non nul :
La probabilité que la première cible soit atteinte est
• An l’événement : « la n-ième cible est atteinte » .
• An l’événement : « la n-ième cible n’est pas atteinte ».
• a n la probabilité de l’événement An
• b n la probabilité de l’événement An .
1. Donner a 1 et b 1 .
Calculer a 2 et b 2 . On pourra utiliser un arbre pondéré.
2. Montrer que, pour tout n ∈ N, n > 1 :
3
1
a n+1 = a n + b n
4
2
1
1
puis : a n+1 = a n +
4
2
3. Soit (Un ) la suite définie pour tout entier naturel n non
2
nul, par Un = a n − .
3
a) Montrer que la suite (Un ) est une suite géométrique.
On précisera la raison et le premier terme U1 .
b) En déduire l’expression de Un en fonction de n, puis
l’expression de a n en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (a n ).
d) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que :
a n > 0,666 5.
10 On a les données suivantes concernant une épidémie qui touche une certaine population :
Le quart de la population est vacciné contre cette maladie
contagieuse.
On estime que sur la population vaccinée, 92 % des individus ne tombent pas malades.
Sur la population totale, on estime aussi que 10 % des individus sont malades.
On choisit au hasard un individu dans cette population.
1. Montrer que la probabilité de l’événement « l’individu
n’est pas vacciné et tombe malade » est égale à 0, 08.
2. Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n’est pas vacciné ?
11 Pour chacune des trois questions, une seule des
quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question
et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.
88
1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilité p.
³ ´ 3
4
On sait que p(A ∪ B) = et p A = .
5
5
La probabilité de l’évènement B est égale à :
a.
2
5
b.
2
3
c.
3
5
d.
1
2
2. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre.
S’il pleut, je sors mon chien avec une probabilité
1
égale à
; s’il ne pleut pas, je sors mon chien avec
10
9
une probabilité égale à
.
10
Je sors mon chien ; la probabilité qu’il ne pleuve pas
est égale à :
27
3
27
9
b.
c.
d.
a.
10
40
4
28
12
1. Restitution organisée de connaissances :
Prérequis : On rappelle que deux évènements A et B
sont indépendants pour la probabilité p si et seulement si : p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
Soient A et B deux évènements associés à une expérience aléatoire
´
³
¡
¢
(a) Démontrer que p(B) = p B ∩ A + p B ∩ A .
(b) Démontrer que, si les évènements A et B sont
indépendants pour la probabilité p, alors les
évènements A et B le sont également.
2. Application : Chaque matin de classe, Stéphane peut
être victime de deux évènements indépendants :
• R : « il n’entend pas son réveil sonner » ;
• S : « Son scooter, mal entretenu, tombe en
panne ».
Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité
de R est égale 0, 1 et que celle de S est égale à 0, 05.
Lorsque qu’au moins l’un des deux évènements se
produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à
l’heure.
(a) Calculer la probabilité qu’un jour de classe
donné, Stéphane entende son réveil sonner et
que son scooter tombe en panne.
(b) Calculer la probabilité que Stéphane soit à
l’heure au lycée un jour de classe donné.
13 Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs F1 , F2 , F3 .
Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont
regroupées dans un stock unique.
La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par
le fournisseur F1 , le tiers par le fournisseur F2 et le reste
par le fournisseur F3 .
Une étude statistique a montré que
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
• 5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur F1 ont un défaut ;
• 1,5 % des paires de chaussettes fabriquées par le
fournisseur F2 ont un défaut ;
• sur l’ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussettes ont un défaut.
1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans
le stock de l’entreprise.
On considère les évènements F1 , F2 , F3 et D suivants :
• F1 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F1 » ;
• F2 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F2 » ;
• F3 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F3 » ;
• D : « La paire de chaussettes prélevée présente
un défaut ».
(a) Traduire en termes de probabilités les données
de l’énoncé en utilisant les évènements précédents.
Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience.
(b) Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur
F1 et présente un défaut.
(c) Calculer la probabilité de l’évènement F2 ∩ D.
(d) En déduire la probabilité de l’évènement F3 ∩ D.
(e) Sachant que la paire de chaussettes prélevée est
fabriquée par le fournisseur F3 , quelle est la
probabilité qu’elle présente un défaut ?
2. L’entreprise conditionne les paires de chaussettes
par lots de six paires.
On considère que le stock est suffisamment grand
pour assimiler le choix des six paires de chaussettes
à des tirages indépendants, successifs avec remise.
(a) Calculer la probabilité que deux paires de
chaussettes exactement d’un lot présentent un
défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
(b) Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes d’un
lot présente un défaut est égale à 0, 983.
14 Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous
forme de fractions. On dispose de deux dés tétraédriques
identiques : les quatre faces sont numérotées A,B,C et D.
1. On lance les deux dés simultanément et on note la
lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés.
Déterminer la probabilité des évènements suivants :
Francis C ORTADO
• E0 : « ne pas obtenir la lettre A »,
• E1 : « obtenir une fois la lettre A »,
• E2 : « obtenir deux fois la lettre A ».
2. On organise un jeu de la façon suivante :
• Le joueur lance les deux dés simultanément.
• Si les deux dés reposent sur les faces « A », le jeu
s’arrête.
• Si un seul dé repose sur la face « A », le joueur
relance l’autre dé et le jeu s’arrête.
• Si aucun dé ne repose sur la face « A », le joueur
relance les deux dés et le jeu s’arrête.
(a) Dresser un arbre en indiquant sur chaque
branche la probabilité correspondante.
(b) Le joueur gagne si, lorsque le jeu s’arrête, les
deux dés reposent sur les faces « A ».
Montrer que, pour le joueur, la probabilité de
49
.
gagner est de
256
(c) Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S’il
gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu
s’arrête, un seul dé repose sur la face « A », il est
remboursé. Sinon, il perd sa mise.
Le jeu est-il favorable au joueur ?
15 On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face
porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois
faces portent le numéro 3.
On dispose également d’une urne contenant dix boules
indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R,
I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).
Un joueur fait une partie en deux étapes :
Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.
Deuxième étape :
• si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de
l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle
et il perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune
de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas
contraire.
• si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune
de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas
contraire.
À la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la ou les
boules tirée(s).
On définit les événements suivants :
D1 : « le dé indique 1 »
D2 : « le dé indique 2 »
D3 : « le dé indique 3 »
G : « la partie est gagnée » .
A et B étant deux évènements tels que p(A) 6= 0, on note
pA (B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.
1. (a) Déterminer les probabilités pD1 (G), pD2 (G), et
pD3 (G)
Sommaire chapitre 2
89
23
.
180
2. Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité
qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.
(b) Montrer alors que p(G) =
16 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples
constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie.
Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans
policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose
150 romans policiers et 50 biographies.
40 % des écrivains de romans policiers sont français et
70 % des écrivains de biographies sont français.
Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
a. 0, 4
b. 0, 75
c.
b. 0, 8
1
b. 0, 4
c. 0, 4
b. 0, 7
c. 0, 475
5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’ écrivain est français est :
a.
4
b.
150
12
19
a. 1 − (0, 25)
3
b. 3 × 0, 75 c. 0, 75 × (0, 25)
17 On considère trois urnes U1 , U2 , et U3 .
L’urne U1 contient deux boules noires et trois boules
rouges ; l’urne U2 contient une boule noire et quatre
boules rouges ; l’urne U3 contient trois boules noires et
quatre boules rouges.
90
(c) Calculer de façon analogue la probabilité de
l’évènement R1 ∩ N3 .
3. Déduire de la question précédente la probabilité de
l’évènement N3 .
4. Les évènements N1 et N3 sont-ils indépendants ?
18 On note pA (B) la probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé.
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires
indiscernables au toucher.
1. On effectue au hasard un tirage sans remise de deux
boules de l’urne.
On note A0 l’évènement ; « on n’a obtenu aucune
boule noire » ;
On note A2 l’évènement : « on a obtenu deux boules
noires » .
Calculer les probabilités de A0 , A1 et A2 .
2. Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans
l’urne.
On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.
On note B0 l’évènement : « on n’a obtenu aucune
boule noire au tirage no 2 »
c. 0, 3
6. Le lecteur est venu 3 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est :
3
(b) En déduire la probabilité de l’évènement :
N1 ∩ N3 .
On note A1 l’évènement : « on a obtenu une seule
boule noire » ;
c. 0, 3
4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un
écrivain français est :
a. 0, 9
2. (a) Calculer la probabilité des évènements :
N1 ∩ N2 ∩ N3 , et N1 ∩ R2 ∩ N3 .
150
3. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est
a. 1, 15
1. Compléter un arbre de probabilités.
5. Sachant que la boule tirée dans U3 est noire, quelle
est la probabilité que la boule tirée de U1 soit rouge ?
2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :
a. 0, 3
Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1
et une boule de U2 , à les mettre dans U3 , puis à tirer au
hasard une boule de U3 .
Pour i prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par Ni , (respectivement Ri ) l’évènement « on tire une boule noire de
l’urne Ui » (respectivement « on tire une boule rouge de
l’urne Ui » ).
On note B1 l’évènement : « on a obtenu une seule
boule noire au tirage no 2 »
On note B2 l’évènement : « on a obtenu deux boules
noires au tirage no 2 »
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
(a) Calculer pA0 B0 , pA1 B0 et pA2 B0 .
¡ ¢
(b) En déduire p B0 .
¡ ¢
¡ ¢
(c) Calculer p B1 et p B2 .
(d) On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ?
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
3. On considère l’évènement R : « il a fallu exactement
les deux tirages pour que les deux boules noires
soient extraites de l’une » .
1
Montrer que p(R) = .
3
19 Un joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré
dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes
U1 , U2 et U3 contenant chacune k boules, où k désigne
un entier naturel supérieur ou égal à 3.
ll y a trois boules noires dans l’urne U1 ,deux boules noires
dans l’urne U2 et une boule noire dans l’urne U3 , et toutes
les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.
Les boules sont indiscernables au toucher.
Une partie se déroule de la façon suivante :
le joueur lance le dé,
• s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule
dans l’urne U1 , note sa couleur et la remet dans l’urne U1 ;
• s’il obtient un multiple de trois, il prend au hasard
une boule dans l’urne U2 , note sa couleur et la remet dans
l’urne U2 ;
• si le numéro amené par le dé n’est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U3 ,
note sa couleur et la remet dans l’urne U3 .
On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants :
A : « Le dé amène le numéro 1 » ;
B : « Le dé amène un multiple de trois » ;
C : « Le dé amène un numéro qui n’est ni le lui un multiple de trois » ;
N : « La boule tirée est noire ».
1. Le joueur joue une partie.
(a) Montrer que la probabilité qu’il obtienne une
5
.
boule noire est égale à
3k
(b) Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1
sachant que la boule tirée est noire.
(c) Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir
1
une boule noire soit supérieure à .
2
(d) Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir
1
une boule noire soit égale à .
30
2. Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d’obtenir une boule noire en jouant une partie
1
soit égale à .
30
Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des
autres.
Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10−3 ,
la probabilité qu’il obtienne au moins une fois une
boule noire.
Francis C ORTADO
20
1. Une urne contient quatre jetons numérotés de
1 à 4.
On tire au hasard un jeton de l’urne, on lit le numéro,
noté a, porté sur le jeton, puis on remet le jeton tiré
dans l’urne.
On tire ensuite un deuxième jeton de l’urne et on
note b le numéro du jeton tiré.
On note P(a, b) = a(1 + b) − 5 + b(1 − a)
Montez que la probabilité que P(a, b) soit nul est
égale à 1/4.
2. Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d’un certain nombre de parties identiques décrites ci-après : au cours d’une partie, chaque joueur
effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question.
Si A obtient un P(a, b) nul et B un P(a, b) non nul, A
est déclaré vainqueur et le jeu s’arrête.
Si A obtient un P(a, b) non nul et B un P(a, b) nul, B
est déclaré vainqueur et le jeu s’arrête.
Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une
nouvelle partie ; le jeu continue.
Pour tout entier n, on désigne par :
• An l’événement : « A gagne la n ème partie »
• Bn l’événement : « B gagne la n ème partie »
• Cn l’événement : « le jeu continue après la n ème
partie »
(a) Calculez les probabilités p(A1 ), p(B1 ) et p(C1 ).
(b) Exprimez p(Cn+1 ) en fonction de p(Cn ) et montrez que
µ ¶n
5
p(Cn ) =
8
(c) Exprimez p(An+1 ) en fonction de p(Cn ) et montrez que
µ ¶
3 5 n−1
p(An ) =
16 8
3. (a) Déterminez la limite de p(An ) quand n tend vers
+∞.
(b) Déterminez le plus petit entier n tel que p(An )
soit inférieur ou égal à 0,01.
21 Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.
Pour tout entier naturel n > 1, on note En l’événement : « Amélie est arrêtée par le n-ème feu rouge ou
orange » et En l’événement contraire (le feu orange est
considéré comme un feu rouge).
Soit p n la probabilité de En et q n celle de En . La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange
vaut 1/8.
On suppose que les deux conditions suivantes sont
réalisées
Sommaire chapitre 2
91
• la probabilité que le (n + 1)-ème feu tricolore soit
rouge ou orange, si le n-ème feu est rouge ou orange,
vaut 1/20.
• la probabilité que le (n + 1)-ème feu tricolore soit
rouge ou orange, si le n-ème feu est vert, vaut 9/20.
1. On s’intéresse tout d’abord aux deux premiers feux
tricolores. Complétez un arbre pondéré rendant
compte de la situation.
2. On se place maintenant dans le cas général.
(a) Donnez les ¡probabilités
¢
pEn (En+1 ) et pEn En+1 .
conditionnelles
(b) En remarquant que
En+1 = (En+1 ∩ En ) ∪ (En+1 ∩ En )
1. Dans cette question, l’urne a contient une boule
rouge et quatre boules blanches, l’urne b contient
quatre boules rouges et deux boules blanches.
(a) Déterminez les probabilités p(A), pA (R), p(A ∩
R).
(b) Montrez que p(R) = 13/30.
montrez que, pour tout n ∈ N∗
(c) Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle
est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne
a?
9
1
p n + qn
p n+1 =
20
20
(c) En déduire l’expression de p n+1 en fonction de
pn .
3. Soit (u n ) la suite de nombres réels définie pour tout
n ∈ N∗ par u n = 28p n − 9.
(a) Montrez que (u n ) est géométrique et déterminez sa raison.
(b) Exprimez u n puis p n en fonction de n.
(c) Déterminez la limite, si elle existe, de p n lorsque
n tend vers +∞. Interprétez ce résultat.
22 On considère l’ensemble E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Avec deux chiffres distincts x et y de E on crée un
unique domino simple noté indifféremment [x, y] ou
[y, x].
Avec un chiffre z de E, on forme un unique domino
double noté [z, z].
2. Dans cette question , l’urne a contient quatre boules
blanches, l’urne b contient deux boules blanches.
L’urne a contient en outre n boules rouges et l’urne
b en contient (5 − n), où n désigne un entier naturel
inférieur ou égal à 5.
(a) Exprimez pA (R) et pB (R) en fonction de n.
−n 2 + 4n + 10
(b) Montrez que p(R) =
(4 + n)(7 − n)
(c) On sait que n ne prend que six valeurs entières.
Déterminez la répartition des cinq boules
rouges entre les urnes a et b donnant la plus
grande valeur de p(R).
24 Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité
qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie
de grippe.
• Un salarié malade est absent
• La première semaine de travail, le salarié n’est pas
malade.
1. Combien de dominos peut-on ainsi créer ?
2. On tire au hasard un domino.
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir un domino
constitué de chiffres pairs ?
• Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe
malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à
0, 04.
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir un domino
dont la somme des chiffres est paire ?
• Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade
la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0, 24.
3. On tire au hasard et simultanément deux dominos.
Un élève affirme : « la probabilité d’obtenir un domino double et un simple dont l’un des chiffres est
celui du domino double est égale à 4/45 ».
Son affirmation est-elle vraie ou fausse ?
92
23 On dispose de deux urnes a et b contenant des
boules blanches ou rouges indiscernables au toucher.
L’épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes a et
b proposées (le choix de l’urne est effectué au hasard, les
deux choix sont équiprobables), puis à effectuer le tirage
d’une boule dans l’urne choisie.
On note A l’événement « l’urne a est choisie », B l’événement « l’urne b est choisie » et R l’événement « une
boule rouge est obtenue au tirage ».
On note p A (R) la probabilité conditionnelle de l’événement R par rapport à l’événement A.
On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à
1, par En l’évènement « le salarié est absent pour cause de
maladie la n-ième semaine ». On note p n la probabilité de
l’évènement En .
On a ainsi : p 1 = 0 et, pour tout entier naturel n supérieur
ou égal à 1 : 0 6 p n < 1.
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
1. (a) Déterminer la valeur de p 3 à l’aide d’un arbre de
probabilité.
(b) Sachant que le salarié a été absent pour cause
de maladie la troisième semaine, déterminer la
probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause
de maladie la deuxième semaine.
2. (a) Modéliser la situation par un arbre de probabilités.
(b) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,
p n+1 = 0, 2 p n + 0, 04.
(c) Montrer que la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par u n = p n −
0, 05 est une suite géométrique dont on donnera
le premier terme et la raison r .
En déduire l’expression de u n puis de p n en
fonction de n et r .
¡ ¢
(d) En déduire la limite de la suite p n .
¡ ¢
(e) On admet dans cette question que la suite p n
est croissante. On considère l’algorithme suivant :
Variables
K et J sont des entiers naturels, P est un
nombre réel
(b) Calculer l’espérance mathématique µ et l’écart
type σ de la variable aléatoire X.
25 L’entrepriseFructidoux fabrique des compotes
qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle
souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ».
La législation impose alors que la teneur en sucre,
c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit
comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit
pot de compote est conforme.
L’entreprise possède deux chaînes de production F1 et F2
La chaîne de production F2 semble plus fiable que la
chaîne de production F1 . Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots
proviennent de la chaîne F1 et 30 % de la chaîne F2 .
La chaîne F1 produit 5 % de compotes non conformes
et la chaîne F2 en produit 1 %.
On prélève au hasard un petit pot dans la production
totale. On considère les évènements :
E : « Le petit pot provient de la chaîne F2 »
C : « Le petit pot est conforme. »
1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera
les données qui précèdent.
P prend la valeur 0
2. Calculer la probabilité de l’évènement : « Le petit pot
est conforme et provient de la production F1 . »
J prend la valeur 1
3. Déterminer la probabilité de l’évènement C.
Entrée
Saisir la valeur de K
4. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité de l’évènement E sachant que l’évènement C est réalisé.
Traitement
Tant que P < 0, 05 − 10−K
Initialisation
P prend la valeur 0, 2×
P + 0, 04
J prend la valeur J +1
Fin tant que
Sortie
Afficher J
À quoi correspond l’affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite
on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit
malade une semaine donnée durant cette période
d’épidémie est égale à p = 0, 05.
On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
26 Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se
divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :
30 % de musique classique, 45 % de variété, le reste
étant du jazz.
Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :
5
• les des morceaux de musique classique sont enco6
dés en haute qualité.
5
• les des morceaux de variété sont encodés en qua9
lité standard.
On considérera les évènements suivants :
On désigne par X la variable aléatoire qui donne le
nombre de salariés malades une semaine donnée.
C : « Le morceau écouté est un morceau de musique clas-
(a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi
binomiale dont on donnera les paramètres.
V : « Le morceau écouté est un morceau de variété » ;
J : « Le morceau écouté est un morceau de jazz » ;
Francis C ORTADO
sique » ;
Sommaire chapitre 2
93
H : « Le morceau écouté est encodé en haute qualité » ;
• évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
S : « Le morceau écouté est encodé en qualité standard ».
• évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
• évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
Partie 1
Thomas décide d’écouter un morceau au hasard parmi
tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction « lecture aléatoire ».
On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.
1. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un morceau
de musique classique encodé en haute qualité ?
13
.
2. On sait que p(H) =
20
(a) Les évènements C et H sont-ils indépendants ?
(b) Calculer p(J ∩ H) et pJ (H).
27 On cherche à étudier le nombre d’étudiants
connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on
les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses
possibles, notées A, B et C, la bonne réponse étant la A.
On note r la probabilité pour qu’un étudiant
connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant
la bonne réponse répond A, sinon il répond au hasard (de
faç on équiprobable).
1. On interroge un étudiant au hasard. On note :
A
B
C
R
R
l’évènement « l’étudiant répond A »,
l’évènement « l’étudiant répond B »,
l’évènement « l’étudiant répond C »,
l’évènement « l’étudiant connait la réponse »,
l’évènement contraire de R.
(a) Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de
probabilité.
(b) Montrer que la probabilité de l’évènement A est
p(A) = 31 (1 + 2r ).
(c) Exprimer en fonction de r la probabilité qu’une
personne ayant choisie A connaisse la bonne réponse.
28 Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies
au centième.
Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux
fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent
des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du
fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste
et on considère les évènements suivants :
94
1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2. (a) Quelle est la probabilité de l’évènement B ∩ S ?
(b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée
ne présente aucune trace de pesticides est égale
à 0, 88.
3. On constate que la boîte prélevée présente des traces
de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du
fournisseur B ?
Partie B
Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier
est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de
pesticides.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans
trace de pesticides.
3. Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
29 Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui
proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l’horticulteur H1 , 25 % de l’horticulteur H2
et le reste de l’horticulteur H3 . Chaque horticulteur livre
deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à
feuilles.
La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80 % de conifères alors que celle de l’horticulteur H2 n’en comporte
que 50 % et celle de l’horticulteur H3 seulement 30 %.
1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard
dans son stock.
On envisage les événements suivants :
• H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1 »,
• H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2 »,
• H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3 »,
• C : « l’arbre choisi est un conifère »,
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
• F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».
(a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
(b) Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un
conifère acheté chez l’horticulteur H3 .
(c) Justifier que la probabilité de l’évènement C est
égale à 0,525.
(d) L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez
l’horticulteur H1 ? On arrondira à 10−3 .
2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres
dans le stock de cette jardinerie. On suppose que
ce stock est suffisamment important pour que ce
choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de
10 arbres dans le stock.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le
nombre de conifères de l’échantillon choisi.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on
précisera les paramètres.
(b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ?
On arrondira à 10−3 .
(c) Quelle est la probabilité que cet échantillon
comporte au moins deux arbres feuillus ?
On arrondira à 10−3 .
Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il
le reprenne est 0, 8.
Lors du premier passage les deux équipements ont la
même probabilité d’être choisis.
Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’évènement :
• Tn : « le manchot utilise le toboggan lors de son nième passage. »
• Pn : « le manchot utilise le plongeoir lors de son nième passage. »
On considère alors la suite (u n ) définie pour tout entier
naturel n > 1 par :
u n = p ( Tn )
où p (Tn ) est la probabilité de l’évènement Tn .
1. (a) Donner
les
valeurs
des
probabilités
p (T1 ) , p (P1 ) et des probabilités conditionnelles
pT1 (T2 ) , pP1 (T2 ).
1
(b) Montrer que p (T2 ) = .
4
(c) Recopier et compléter l’arbre suivant
...
Tn+1
un
2. Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son
stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix
pneus à un tirage avec remise de dix pneus.
Quelle est alors la probabilité qu’au plus un des
pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10−3 .
31 Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est
l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan
et d’un plongeoir.
On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la
probabilité qu’il le reprenne est 0, 3.
Francis C ORTADO
Pn+1
...
Tn+1
...
Pn+1
...
Pn
(d) Démontrer que pour tout entier
n > 1, u n+1 = 0, 1u n + 0, 2
1. Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.
(a) Construire un arbre de probabilité traduisant la
situation, et montrer que la probabilité que ce
pneu soit sans défaut est égale à 0,875.
(b) Sachant que le pneu choisi est sans défaut,
quelle est la probabilité qu’il provienne du
deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10−3 .
...
b
30 Un réparateur de vélos a acheté 30 % de son stock
de pneus à un premier fournisseur, 40 % à un deuxième et
le reste à un troisième.
Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans défaut, le deuxième 95 % et le troisième 85 %.
Tn
(e) À l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (u n ).
2. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n > 1 par :
2
v n = un − .
9
(a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de
1
raison
. Préciser son premier terme.
10
(b) Exprimer v n en fonction de n. En déduire l’expression de u n en fonction de n.
(c) Calculer la limite de la suite (u n ). Ce résultat
permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?
32 Exercice Bac S juin 2013 Dans une entreprise, on
s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant
une période d’épidémie de grippe.
• Un salarié malade est absent
• La première semaine de travail, le salarié n’est pas
malade.
Sommaire chapitre 2
95
• Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe
malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à
0, 04.
• Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade
la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0, 24.
Variables
K et J sont des entiers naturels, P est un
nombre réel
Initialisation
P prend la valeur 0
J prend la valeur 1
On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à
1, par En l’évènement « le salarié est absent pour cause de
maladie la n-ième semaine ». On note p n la probabilité de
l’évènement En .
Entrée
Saisir la valeur de K
Traitement
Tant que P < 0, 05 − 10−K
P prend la valeur 0, 2×
P + 0, 04
On a ainsi : p 1 = 0 et, pour tout entier naturel n supérieur
ou égal à 1 : 0 6 p n < 1.
J prend la valeur J +1
Fin tant que
Sortie
1. (a) Déterminer la valeur de p 3 à l’aide d’un arbre de
probabilité.
(b) Sachant que le salarié a été absent pour cause
de maladie la troisième semaine, déterminer la
probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause
de maladie la deuxième semaine.
2. (a) Recopier sur la copie et compléter l’arbre de
probabilité donné ci-dessous
...
pn
En+1
En+1
...
En+1
...
Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour
8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de
transport : le vélo ou le bus.
En+1
(b) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,
p n+1 = 0, 2p n + 0, 04.
(c) Montrer que la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par u n = p n −
0, 05 est une suite géométrique dont on donnera
le premier terme et la raison r .
En déduire l’expression de u n puis de p n en
fonction de n et r .
¡ ¢
(d) En déduire la limite de la suite p n .
¡ ¢
(e) On admet dans cette question que la suite p n
est croissante. On considère l’algorithme suivant :
96
3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite
on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit
malade une semaine donnée durant cette période
d’épidémie est égale à p = 0, 05.
On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
On désigne par X la variable aléatoire qui donne le
nombre de salariés malades une semaine donnée.
33 Exercice Bac S juin 2014
En
...
À quoi correspond l’affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
(a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi
binomiale dont on donnera les paramètres.
(b) Calculer l’espérance mathématique µ et l’écart
type σ de la variable aléatoire X.
En
...
Afficher J
L’élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et
doit arriver à 8 h 00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur
10 et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans
99,4 % des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard
dans 5 % des cas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et
on note V l’évènement « L’élève se rend au lycée à vélo »,
B l’évènement « l’élève se rend au lycée en bus » et R l’évènement « L’élève arrive en retard au lycée ».
1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
2. Déterminer la probabilité de l’évènement V ∩ R.
3. Démontrer que la probabilité de l’évènement R est
0,019 2
Sommaire chapitre 2
Francis C ORTADO
4. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée.
Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus ?
34 Exercice Bac S juin 2013
L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle
conditionne en petits pots de 50 grammes.
Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ».
La législation impose alors que la teneur en sucre,
c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit
comprise entre 0,16 et 0,18.
On dit dans ce cas que le petit pot de compote est
conforme.
L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F1 et F2 .
La chaîne de production F2 semble plus fiable que la
chaîne de production F1 .
Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots
proviennent de la chaîne F1 et 30 % de la chaîne F2 .
La chaîne F1 produit 5 % de compotes non conformes
et la chaîne F2 en produit 1 %.
On prélève au hasard un petit pot dans la production
totale et on considère les évènements :
Question 2
Dans cet hypermarché, un modèle d’ordinateur est en
promotion. Une étude statistique a permis d’établir que,
chaque fois qu’un client s’intéresse à ce modèle, la probabilité qu’il l’achète est égale à 0, 3. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce
modèle.
La probabilité qu’exactement trois d’entre eux aient
acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie
au millième :
a. 0,900
b. 0,092
c. 0,002
d. 0,267
36 Exercice Bac S juin 2014
Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de
dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :
• la probabilité qu’une personne malade présente un
test positif est 0, 99 ;
• la probabilité qu’une personne saine présente un
test positif est 0, 001.
E : « Le petit pot provient de la chaîne F2 »
C : « Le petit pot est conforme. »
1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera
les données qui précèdent.
2. Calculer la probabilité de l’évènement :
« Le petit pot est conforme et provient de la chaîne
de production F1 . »
3. Déterminer la probabilité de l’évènement C.
4. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité de l’évènement E sachant que l’évènement C est réalisé.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations
proposées est exacte.
Question 1
Dans un hypermarché, 75 % des clients sont des
femmes.
Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage,
alors que sept hommes sur dix le font.
Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au
rayon bricolage.
La probabilité que cette personne soit une femme a pour
valeur arrondie au millième :
Francis C ORTADO
b. 0,150
On note M l’évènement « la personne choisie est malade » et T l’évènement « le test est positif ».
(a) Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.
35 Exercice Bac S juin 2014
a. 0,750
1. Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique
permet d’estimer que le pourcentage de personnes
malades parmi la population d’une métropole est
égal à 0,1 %. On choisit au hasard une personne dans
cette population et on lui fait subir le test.
c. 0,462
d. 0,700
(b) Démontrer que la probabilité p(T) de l’évènement T est égale à 1, 989 × 10−3 .
(c) L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
Justifier la réponse.
Affirmation : « Si le test est positif, il y a moins
d’une chance sur deux que la personne soit malade ».
2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès
lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0, 95.
On désigne par x la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie dans la population.
À partir de quelle valeur de x le laboratoire
commercialise-t-il le test correspondant ?
Sommaire chapitre 2
97