CB-algebre - joffrempsi1

MPSI
Concours Blanc (partie "algèbre")
Dans tout le problème nsera un entier supérieur ou égal à deux. Nous noterons Inla matrice identité de Mn(R)et
Ula matrice colonne à nlignes ne contenant que des 1:
U=
1
.
.
.
1
∈ Mn,1(R)
Nous considérerons également les définitions et notations suivantes :
1. Polynômes de matrice :
Soit Aune matrice carrée de taille n×nà coefficients dans C,
nous noterons A0=Inet pour tout k∈N∗,Ak=A× · · · × A
| {z }
kfois
.
Lorsque P=
+∞
P
k=0
akXk∈C[X], nous noterons P(A)la matrice carrée de taille n×ndéfinie par
P(A) =
+∞
X
k=0
akAk=a0In+a1A+· · · +aqAq
où qest le degré du polynôme P.
Nous admettrons également que lorsque P, Q ∈C[X]alors P Q(A) = P(A)Q(A)et (P+Q)(A) = P(A) + Q(A).
2. Convergence matricielle :
Soient n, m ∈N∗et (Ak)k∈Nune suite de matrices de Mn,m(R).
Soit k∈N, en notant (a(k)
i,j )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,m]] les coefficients de la matrice Ak
– nous dirons que (Ak)k∈Nconverge vers une matrice B= (bi,j )(i,j)∈[[1,n]]×[[1,m]] ∈ Mn,m(R)lorsque
∀(i, j)∈[[1, n]] ×[[1, m]] ,lim
k→+∞a(k)
i,j =bi,j
Nous noterons dans ce cas, Ak−→
k→+∞B.
– Nous admettrons que lorsque les suites de matrices (Ak)k∈Net (Bk)k∈Nconvergent respectivement vers A, B
alors la suite (AkBk)k∈Nconverge vers la matrice AB.
3. Matrices stochastiques :
Soit A∈ Mn(R), nous dirons que Aest stochastique lorsque ∀(i, j)∈[[1, n]]2,ai,j ≥0et la somme des coefficients
de chaque ligne vaut 1:∀i∈[[1, n]],
n
P
j=1
ai,j = 1.
L’ensemble des matrices stochastiques de taille nsera noté Snet l’ensemble des matrices de Sndont tous les
coefficients sont strictement positifs sera noté S∗
n.
Partie 1: Une matrice stochastique de taille 2×2
Soient p, q ∈]0,1[, nous noterons dans cette partie
A=1−p p
q1−q
1. Montrer que A2−(2 −p−q)A+ ((1 −p)(1 −q)−pq)I2= 0.
Nous noterons PA=X2−(2 −p−q)X+ ((1 −p)(1 −q)−pq).
2. Soit k∈N, montrer que le reste de la division euclidienne de Xkpar PAest akX+bkoù
ak=1−(1 −p−q)k
p+qet bk= (1 −p−q)(1 −p−q)k−1−1 p+q
1

3. En déduire que ∀k∈N,Ak=akA+bkI2.
4. Montrer que la suite de matrices (Ak)k∈Nconverge vers la matrice B=α β
α β avec α=q
p+qet β= 1 −α.
(nous remarquerons que ∀k∈N,ak+bk= 1)
5. Montrer que AB =Bet B2=B.
6. Est-ce que (Ak)k∈Nadmet une limite lorsque p= 0 et q= 1 ?
Partie 2: Matrices stochastiques
Nous rappelons que la matrice colonne Uest définie par U=
1
.
.
.
1
∈ Mn,1(R).
1. Soit Aune matrice carrée de taille n×nà coefficients positifs, montrer l’équivalence A∈Sn⇐⇒ AU =U.
2. "Lois" de composition :
(a) Montrer que Snest stable par produit et In∈Sn.
(b) Est-ce que Sn∩GLn(R)est un sous-groupe multiplicatif de GLn(R)?
(la réponse sera détaillée dans le cas n= 2)
(c) Montrer que ∀t∈[0,1],∀A, B ∈Sn,tA + (1 −t)B∈Sn.
Est-ce que Snest un sous-espace vectoriel de Mn(R)?
3. Limites dans Sn:
(a) Soit (Ak)k∈Nune suite de Sn, montrer que si (Ak)k∈Nconverge vers Balors B∈Sn.
Une limite de matrices de S∗
nest-elle dans S∗ n? (la réponse sera détaillée dans le cas n= 2)
(b) Un cas particulier : soit A∈Sn
i. Montrer que (Ak)k∈Nest une suite de matrices de Sn.
ii. Montrer que si (Ak)k∈Nconverge vers Balors Best une matrice de Snvérifiant
B2=Bet AB =BA =B.
(c) Nous considérons dans cette question que n≥3,A∈S∗
net que la suite (Ak)k∈Nconverge vers une matrice
B. Nous noterons (Cj)j∈[[1,n]] la famille des vecteurs colonnes de B.
i. Montrer que ∀j∈[[1, n]],ACj=Cj.
ii. Montrer que ∀i∈[[1, n]] tel que |ai,i|>P
j6=i
|ai,j |alors Aest inversible.
(indication : raisonner par contraposée et considérer X∈ Mn,1(R)\{0}tel que AX = 0 )
iii. En notant Ela matrice obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de A−In,
montrer que Eest inversible.
iv. En déduire que le rang de A−Inest n−1.
Nous rappelons que lorsque B∈ Mn(R), nous notons ker(B) = {X∈ Mn,1(R)|BX = 0}.
v. Montrer que ker(A−In) = vect(U).
vi. En déduire qu’il existe α1,· · · , αn∈R+tels que
n
P
j=1
αj= 1 et ∀j∈[[1, n]],Cj=αjU.
2

Partie 3: Convergence et limite des (Ak)k∈Npour A∈S∗
n
On considère dans cette question A∈S∗
n. Nous nous proposons dans cette partie d’obtenir la convergence de la suite
de matrices (Ak)k∈Net également de retrouver la forme de la limite obtenue à la question 3c de la partie 2.
Pour cela nous notons : ∀Y= (yi)i∈[[1,n]] ∈ Mn,1(R),
m(Y) = min
i∈[[1,n]](yi)et M(Y) = max i∈[[1,n]](yi)
Nous noterons ∀Y= (yi)i∈[[1,n]] ∈ Mn,1(R),∀k∈N,uY
k=m(AkY)et vY k=M(AkY).
Par commodité, nous pourrons si nécessaire au cours d’une preuve noter ukpour uY
ket vKpour vY k.
1. Nous notons dle plus petit coefficient de A. Soit Y= (yi)i∈[[1,n]] ∈ Mn,1(R),
(a) Montrer que m(Y)≤m(AY )≤M(AY )≤M(Y).
(b) Montrer que M(AY )≤dm(Y) + (1 −d)M(Y).
(nous admettrons pour la suite que nous avons de même : m(AY )≥dM(Y) + (1 −d)m(Y))
(c) En déduire que M(AY )−m(AY )≤(1 −2d)(M(Y)−m(Y)).
2. Montrer que d∈]0,1
2]puis que pour tout Y= (yi)i∈[[1,n]] ∈ Mn,1(R), les suites (uY
k)k∈Net (vY k)k∈Nsont
adjacentes.
3. En déduire que pour tout Y∈ Mn,1(R)il existe `Y∈Rtel que (AkY)k∈Nconverge vers `YU.
4. En déduire que (Ak)k∈Nconverge vers une matrice Bde la forme
B=
α1U· · · αnU
avec α1,· · · , αn∈R+tels que
n
P
k=1
αk= 1.