Correction du DS de synthèse en probabilités B

Correction du DS de synthèse en probabilités
Dans une salle, on trouve 60 personnes dont 20% ont un chapeau et 45 ont un sac à
mains. On sait que 11 personnes n’ont ni chapeau ni sac à main.
B-1
1°) Combien y a-t-il de personnes qui ont un chapeau ou un sac à main ?
5 points
2°) On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité que cette personne ait à
la fois un chapeau et un sac à mains ?
1°) On a donc
personnes qui ont un chapeau et 45 qui ont un sac à mains.
J’appelle C : ‘la personne a un chapeau’ et S : ‘la personne a un sac à mains’
On a alors
B-1
corrigé
et
J’ai donc
.
La probabilité qu’elle ait un chapeau ou un sac à mains est de
.
2°) Je cherche
.
La probabilité qu’elle ait à la fois un chapeau et un sac à mains est de
.
Une vieille doit prendre ses médicaments régulièrement. Mais elle oublie parfois de les
prendre. La probabilité qu’elle pense à prendre son médicament à 16h est de 0,7. Si elle a
pris son médicament à 16h, alors la probabilité qu’elle pense à prendre son médicament
à 20h est 0,8. Si elle n’a pas pris son médicament à 16h, alors la probabilité qu’elle oublie
son médicament à 20h est 0,45.
On note A l’événement : « elle a pris son médicament à 16h » et B l’événement : « elle a
pris son médicament à 20h ».
B-2
1°) Calculer les probabilités suivantes :
10 points
. Justifier.
2°) Construire un arbre pondéré représentant la situation.
3°) Calculer les probabilités suivantes :
et
.
4°) Calculer la probabilité qu’elle prenne son médicament à 20h.
5°) Sachant qu’elle a pris son médicament à 20h, calculer la probabilité qu’elle ait oublié
celui de 16h.
1°) D’après l’énoncé, on a :
; puis
donc
; puis
donc
.
2°) On peut construire l’arbre pondéré suivant :
0,8
B-2
corrigé
0,7
3°)
0,3
0,2
0,55
0,45
.
.
donc
4°) On cherche
, d’après la loi des probabilités totales on a :
donc
. La probabilité qu’elle prenne son médicament le soir est
de 0,715.
5°) On cherche
.
Catherine passe devant le bureau de presse et lit la publicité suivante :
Achetez nos tickets : un sur quatre est gagnant !
Elle décide de jouer. Elle rentre et demande au buraliste combien de tickets il possède, il
affirme en posséder en très grande quantité.
Pour augmenter ses chances de gagner, Catherine décide d’acheter 4 tickets. On appelle
la variable aléatoire réelle qui compte le nombre de ticketes gagnants que Catherine
aura achetés.
B-3
1°) Justifier que
suit une loi binomiale et préciser les paramètres.
2°) Quelle est la probabilité pour que Catherine n’ait aucun ticket gagnant ? Justifier par
un calcul.
3°) Quelle est la probabilité pour que Catherine ait pris au moins un ticket gagnant ?
Justifier par un calcul.
4°) Calculer l’espérance
attendre ?
. Est-ce que l’espérance est fidèle à ce que l’on pourrait
5°) Catherine décide maintenant d’acheter 150 tickets.
a. Préciser les nouveaux paramètres de la loi binomiale que suit .
b. Quelle est la probabilité pour qu’elle ait au moins 100 tickets gagnants ? Justifier
en précisant la formule que vous avez écrite sur la calculatrice.
c. Quelle est la probabilité pour qu’elle ait entre 70 et 100 tickets gagnants ?
Justifier en précisant la formule que vous avez écrite sur la calculatrice.
1°) On est en présence d’un schéma de Bernoulli, un succès est le fait d’avoir un ticket
gagnant et sa probabilité est
. L’expérience est répétée
fois et chaque
répétition est indépendante. étant la variable aléatoire réelle qui compte le nombre de
succès, suit bien une loi binomiale de paramètres
.
2°)
B-3
.
3°)
.
corrigé
4°)
. Oui, c’est fidèle à ce que l’on attend car l’affiche dit : un
ticket sur 4 est gagnant. Or si on achète 4 tickets, on peut en espérer 1 gagnant.
5°) a. Les nouveaux paramètres sont
5°) b.
5°) c.
et
.
binomCdf(150,0.25,100,150)
binomCdf(150,0.25,70,100)
.
.
14 points
Emmanuelle et Gwen jouent aux dés. Elles lancent simultanément deux dés non truqués
à quatre faces, chacun numérotées de la façon suivante : 1 ; 2 ; 2 ; 3. Elles s’intéressent
au produit obtenu par ces deux nombres.
B-4
5 points
Les deux questions sont indépendantes.
1°) Calculer la probabilité que le produit obtenu soit un nombre impair. Justifier.
2°) Calculer la probabilité qu’elles obtiennent deux fois le même chiffre. Justifier.
1°) On peut représenter la situation par un tableau :
Produit
1
2
2
3
B-4
corrigé
1
1
2
2
3
2
2
4
4
6
2
2
4
4
6
3
3
6
6
9
On a alors : la probabilité que le produit obtenu soit impair est :
2°) On peut représenter la situation par un tableau :
Chiffres
1
2
2
3
1
x
2
2
x
x
x
x
3
x
On a alors : la probabilité qu’elles obtiennent deux fois le même chiffre est :
Emilie et Francesco vont se marier. Ils décident d’inviter au repas un total de 120
personnes. Parmi ces personnes, 40 sont diabétiques, 70 sont des femmes.
1°)
La probabilité qu’une personne prenne du dessert sans sucre sachant qu’elle est
diabétique est de 0,90.
La probabilité qu’une personne prenne du dessert sans sucre sachant qu’elle n’est pas
diabétique est de 0,43.
B-5
Calculer dans ce cas la probabilité qu’une personne prenne du dessert sans sucre.
6 points
2°)
La probabilité qu’une personne prenne du dessert sans sucre sachant qu’elle est une
femme est de 0,75.
La probabilité qu’une personne prenne du dessert sans sucre est de 0,6.
Calculer la probabilité qu’une personne prenne du dessert sans sucre sachant qu’elle est
un homme.
1°) J’appelle D : ‘la personne est diabétiques’ et S : ‘la personne prend un dessert sucré’,
l’énoncé nous donne les probabilités
et
et
.
B-5
corrigé
On cherche
.
2°) J’appelle F : ‘la personne est une femme’. On sait que
que
.
et
et
Je construis l’arbre pondéré suivant :
0,25
70/120
0,75
J’ai50/120
donc que
Donc
d’où
On cherche
.
et
.