angle radians -20

Chapitre : Trigonométrie
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé 
I. Cercle trigonométrique
1) Repérage sur le cercle trigonométrique
Définition :
Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O et de rayon 1, et
qui est muni d’un sens direct : le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Enroulement de la droite numérique :
Dans un repère orthonormé , on considère le cercle
trigonométrique et une droite (AC) tangente au cercle en A et orientée
telle que  soit un repère de la droite.
Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N
d’abscisse x de la droite orientée un unique point M du cercle.
On dit que M est l’image de x sur le cercle C.
Propriété : Tout point de C est l’image d’une infinité de réels.
Si x est l’un d’eux, les autres sont les réels x + k×2 où k Ζ.
Exemple : Les réels
19 π
4
et
−5
π
4
ont le même point image sur le cercle C que le nombre réel
3 π
4
.
3 π
4−2
π = −5
π
4
et
3 π
4+4
π =19
π
4
2) Le radian
Définition :
Soit C le cercle trigonométrique.
On appelle radian, noté rad, la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle.
Propriétés :
Si M est le point image d’un nombre réel x avec 0 ≤ x ≤  alors 
 = x rad.
Exemple : Un angle plat mesure  radians, un angle droit mesure
2
π
radians.
Propriété : Les mesures en radians et en degrés des angles sont proportionnelles.
En radians
0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
En degrés
Exemples :
a) Donner la mesure en radians d’un angle de 162°.
On note α la mesure en radians de cet angle.
b) Donner la mesure en degrés d’un angle de rad.
On note d le mesure en degrés de cet angle. d =

II. Cosinus et sinus d’un réel
1) Définitions et propriétés
Définitions : Soit M l’image d’un réel x sur le cercle trigonométrique.
- Le cosinus du nombre réel x, noté cos x, est l’abscisse de M
- Le sinus du nombre réel x, noté sin x est l’ordonnée de M.
Propriétés :
Pour tout nombre réel x, on a :
1)
−1≤cosx≤1
2)
−1≤sinx≤1
3) cos
2
x + sin
2
x = 1
4)
cos x=cos x+2k
π
( )
où k entier relatif 5)
sin x=sin x+2k
π
( )
où k entier relatif
Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus :
x 0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
cosx 1
2
3
2
2
2
1
0 -1
sin x 0
2
1
2
2
2
3
1 0
2) Angles associés
Définition : Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou opposés.
Propriétés :
Pour tout nombre réel x, on a :
1) cos(−x)=cosx et sin(−x)= −sinx 2)
cos
π +x
( )
= −cosx
et
sin
π +x
( )
= −sin x

3)
cos
π −x
( )
= −cosx
et
sin
π −x
( )
=sin x
4)
cos
π
2+x
= −sinx
et
sin
π
2+x
=cosx
5)
cos
π
2−x
=sinx
et
sin
π
2−x
=cosx
Exemple : Calculer la valeur exacte de :
a) cos b) sin
!
c) cos
"
réponse :
a)   # $  $% # &  #$  #
'(
b)
!
  )
!
$*
!
 $*% )
!
&  #$*
!
 #
'
c)
" !
#  +   # ,-.
"
$ %# &  $% &  #
'(

3) Equations trigonométriques
Propriété : Soit a un nombre réel.
L'équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x =
a+2k
π
et x =
−a+2k
π
où k est un nombre relatif.
Propriété : Soit a un nombre réel.
L'équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x =
a+2k
π
et x =
π −a+2k π
où k est un nombre
relatif.
Exemple :
1) Résoudre l’ équation
cosx=cos
π
6
a) dans l’intervalle ]-/
Les solutions de l'équation
cosx=cos
π
6
dans l’intervalle ]-/sont 01 #
b) dans 2
Les solutions de l'équation
cosx=cos
π
6
dans 2 sont
π
6+2k
π et
−
π
6+2k
π où k est un entier relatif.
2) Résoudre dans 2 l’ équation
sinx= −0,5
sinx= −0,5
donc
sinx=sin −
π
6
.L'équation a pour solution
−
π
6+2k
π et π +
π
6+2k
π =7
π
6+2k
π où k est
un entier relatif.

III. Mesures d’un angle orienté
C est le cercle trigonométrique de centre O et  est un repère orthonormé direct.
1) Définitions
Définition 1:
Sur le cercle C, M est le point image d’un nombre réel x et N est le
point image d’un nombre réel y.
Les mesures en radians de l’angle orienté ( 
3
3
3
3
3
3
4
3
3
3
3
3
3
) sont les nombres réels y – x + k2
où k est un entier relatif.
On note ( 
3
3
3
3
3
3
4
3
3
3
3
3
3
)= y – x + 25 ou plus simplement ( 
3
3
3
3
3
3
4
3
3
3
3
3
3
) = y – x
Définition 2 :
6
3
et 7 sont deux vecteurs non nuls tels que : 6
3
3
3
3
3
3
et 7 8
3
3
3
3
3
A’ et B’ sont les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB)
avec le cercle trigonométrique C.
Les mesures en radians de l’angle orienté (6
3
7 sont les mesures en radians de ( 9
3
3
3
3
3
3
3
89
3
3
3
3
3
3
3
)
Définition : Le cosinus et le sinus d’un angle orienté sont le cosinus et le sinus d’une quelconque de ses mesures.
2) Mesure principale
Propriété et définition : Parmi toutes les mesures de l’angle orienté (6
3
7, il en existe une et une seule dans
l’intervalle ]-; /, on l’appelle la mesure principale de l’angle orienté (6
3
7.
Exemple : (6
3
7 est un angle orienté tel que (6
3
7 = #
"
(
Quelle est sa mesure principale ? #
"
(
) :   
(
et
(
 ]-; /
3) Propriétés des angles orientés
Propriétés : 6
3
et 7 sont deux vecteurs non nuls
• 6
3
et 7 sont colinéaires de même sens si et seulement si (6
3
7=0
• 6
3
et 7 sont colinéaires de sens contraires si et seulement si (6
3
7= 
Relation de Chasles : Pour tous vecteurs non nuls 6
3
7 et ;
3
3
:
(6
3
7 + (7;
3
3
 = (6
3
;
3
3
Conséquences : Pour tous vecteurs non nuls 6
3
7
(1) (76
3
 # (6
3
7 (2) (6
3
#7  6
3
7) 
(3) (#6
3
7  6
3
7)  (4) (#6
3
#7  6
3
7
Exemple 1: ABC est un triangle équilatéral tel que ( 8
3
3
3
3
3
<
3
3
3
3
3
) =
(
Déterminer une mesure de chacun des angles orientés : ( 8
3
3
3
3
3
8<
3
3
3
3
3
) et ( <8
3
3
3
3
3
<
3
3
3
3
3
)
( 8
3
3
3
3
3
8<
3
3
3
3
3
) = #
(
( <8
3
3
3
3
3
<
3
3
3
3
3
) =( <8
3
3
3
3
3
#<
3
3
3
3
3
) = ( <8
3
3
3
3
3
<
3
3
3
3
3
) +  = #
(
)  
(
A
B
C