Les équations de Maxwell

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LES EQUATIONS DE MAXWELL
Nous avons étudié des équations intégrales vérifiées par les champs
-
en électrostatique
-
en magnétostatique
et
Dans ce chapitre nous allons étudier les équations locales vérifiées par
variable, dans le cadre de la théorie de l’électromagnétisme classique.
:
et
en régime permanent ou
Maxwell publie cette théorie en 1864 : elle explique la possibilité de transmettre des signaux par ondes radio
(expérience de Hertz en 1888), ainsi que la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide à la
vitesse de la lumière (Michelson-Morley 1881-1887)
I. LES SOURCES DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE.
1.
Définitions.
a. Charge électrique.
Toute particule est caractérisée par une grandeur appelée charge intervenant dans les interactions
électromagnétiques qu’elle exerce ou subit. Elle se mesure en coulomb (C).
Cette grandeur vérifie les trois principes suivants :
- conservation de la charge
- invariance de la charge (dans un changement de référentiel)
- quantification de la charge : e = 1,6.10-19 C est la charge élémentaire.
b. Distribution de charges.
On désigne ainsi un ensemble de charges créant ou subissant des interactions électromagnétiques.
Elle est entièrement caractérisée par le champ scalaire  appelé charge volumique ou densité
volumique de charge et par le champ vectoriel appelé densité volumique de courant.
Avec un seul type de porteurs mobiles de charge q, de densité n*, =  mobile = n* q .
2.
Conservation de la charge.
a.
Equation locale.
Considérons un déplacement de charges selon le vecteur
soit un cylindre d’axe parallèle à , de section S.
,
Considérons une surface fermée S, délimitée par les sections d’abscisse
référentiel d'étude (R). Soit V le volume limité par S.
o
Soit  (x,t) la densité volumique de charge totale en M (d’abscisse x) à l'instant t
La charge contenue dans V à l'instant t est :
La variation de la charge contenue dans V entre les instants t et t+dt est :
o
et

Soit j ( M , t ) le vecteur densité de courant en M à l'instant t.
La charge entrant dans V à l’instant t est :
, fixe dans le
La conservation de la charge se traduit par
On obtient l'équation locale de conservation de la charge, valable en tout point de l’espace, à tout instant :
Remarque : attention, ( M , t ) est la densité de charge totale et non pas seulement mobile.
En trois dimensions on obtient
b.
Cas du régime permanent.
o
Toutes les grandeurs sont indépendantes du temps. Les courants sont dits continus.
Alors
.
Calculons le flux de à travers une surface fermée :
o
Le vecteur densité de courant est dit à flux conservatif .
Considérons un tube de courant, soit S1 et S2 deux sections de ce tube
o
o
-
Conclusion :
en régime permanent, l'intensité est la même tout le long d'un circuit sans dérivation.

plus généralement, la loi des noeuds provient aussi du caractère conservatif du flux de j en
régime permanent.
 
 
 
 
j

dS

0


j

dS

j

dS

1
2



 j  dS 3 soit I1  I2  I3 .
S
S1
S2
S3
S
S2
S1
S3
Ces résultats s'étendent aux courants lentement variables (Approximation des Régimes QuasiPermanents) c'est-à-dire quand la dimension des circuits est très petite devant  = cT, T étant un temps
caractéristique de l'évolution du courant.
II. LES POSTULATS DE L'ELECTROMAGNETISME.
1.
Champ électromagnétique.


La force F qui
 s'exerce
 sur une particule de charge q animée de la vitesse v est donnée par la loi de force
de Lorentz : F  q ( E  v  B) .
L’hypothèse fondamentale de la théorie électromagnétique, vérifiée par toutes ses conséquences, est : les
propriétés de l'espace vide, dues à la présence de charges électriques en mouvement, sont caractérisées
dans (R) par un être physique appelé champ électromagnétique ( , .
C'est un ensemble de deux champs vectoriels :
 le champ électrique (vecteur polaire ou "vrai" vecteur)
 le champ magnétique (vecteur axial ou pseudo-vecteur, défini par un produit vectoriel, il dépend
de l'orientation de l'espace).
Le problème général de l'électromagnétisme est de déterminer ce champ à partir de la distribution
de charges et de courants qui le crée, caractérisée dans (R) par  et .
Le système des quatre équations de Maxwell permet de résoudre le problème.
L'ensemble de la loi de force de Lorentz et des équations de Maxwell constitue les postulats de
l'électromagnétisme.
2 Les équations de Maxwell.
Equation de Maxwell-Thomson (MT)
Equation de Maxwell-Faraday (MF)
Equation de Maxwell-Gauss
(MG)
Equation de Maxwell-Ampère (MA)
Le premier couple d'équations traduit les propriétés intrinsèques du champ électromagnétique.
Le second couple établit le lien entre le champ et ses sources (  , ).
0 est la permittivité diélectrique du vide 0 =
1
 10 9 F.m 1  8,84  10 12 F.m 1
36
= 4.10-7 H.m-1
Nous verrons que ces deux constantes sont liées à la célérité de la lumière dans le vide par la relation
µ0 est la perméabilité du vide µ0
o µ0 c² =1.
3. Conservation de la charge.
Montrons que l'équation de conservation de la charge se trouve contenue dans le deuxième couple
d'équations de Maxwell.
Historiquement, c'est la démarche inverse qui a été effectuée par Maxwell.
4. Théorème de superposition.
Les équations de Maxwell sont linéaires. Les solutions vérifient donc le théorème de superposition : à une
combinaison linéaire de deux distributions de charges et de courants, correspond la même combinaison
linéaire des champs créés par les deux distributions.
5. Régime
 permanent
Si (  , j ) et donc le champ électromagnétique sont constants au cours du temps :
Ce sont les équations locales de l’électrostatique et de la magnétostatique.
et sont alors découplés.
III.
1.
FORME INTEGRALE DES EQUATIONS DE MAXWELL.
Equation de Maxwell Thomson ou du flux magnétique. div
Soit S une surface fermée limitant un volume V.
Le flux magnétique sortant de S à l'instant t est :  


SB  dS =
=0
=
(th Ostrogradski)
L'équation du flux magnétique exprime le caractère conservatif du flux du champ magnétique .
Cette équation traduit également l'allure caractéristique des lignes du champ
diverger à partir de points sources, ce sont des courbes fermées.
Remarque : le flux magnétique  s'exprime en weber (1 Wb = 1 T.m2).
, qui ne peuvent pas


B
rot E  
t


2.
Equation de Maxwell-Faraday.

En régime permanent
est à circulation conservative
On peut définir un potentiel électrostatique

Dans le cas d'un régime quelconque, calculons la circulation de à l'instant t,
le long d'un contour fermé et fixe (C) en utilisant le théorème de Stokes.
Soit S une surface s'appuyant sur (C), d'orientation liée à celle du contour.
 
E  d 
C
soit


d
 E  d   dt
C
Un champ
, c'est la loi de Faraday qui rend compte de l'un des aspects du phénomène
d'induction électromagnétique.
variable est source d’un champ
à circulation non conservative.
3.
Equation de Maxwell-Gauss.
div
=
Soit S une surface fermée entourant un volume V.
Le flux électrique sortant de S à l'instant t est
On a donc :
avec Qint la charge totale contenue à l'instant t à l'intérieur de S.
Ceci traduit la validité générale du théorème de Gauss, que les charges soient fixes ou mobiles.
Cette équation traduit également l'allure caractéristique des lignes du champ E, qui divergent à partir de
points sources chargés, ce sont des courbes ouvertes.



E 

rot B   0  j   0


t




4.
Equation de Maxwell-Ampère.

Calculons la circulation de B à l'instant t le long d'un contour fixe et fermé (C).
Soit S une surface s'appuyant sur (C), d'orientation liée à celle du contour.
 
B  d 
C
En notant is l'intensité qui traverse la surface S à l'instant t, on obtient la forme générale du théorème
d'Ampère :
Ce terme traduit le fait qu'une variation temporelle de est source de champ magnétique au même titre
qu'un courant de densité .
Nous verrons que ce nouveau couplage entre les champs et permet d'interpréter les phénomènes de
propagation des ondes électromagnétiques.
Remarque : L'usage est parfois d'appeler le terme
=
0
densité de courant de déplacement,
comme l'a fait Maxwell. Mais attention ! Il n'y a ni courant ni déplacement !
IV. APPROXIMATION DES REGIMES QUASI-STATIONNAIRES (OU QUASI-PERMANENTS).
1.
Cadre de l'approximation.
Soit T une durée caractéristique des variations temporelles de  et
(par exemple période d'un signal sinusoïdal).
et donc du champ électromagnétique
La durée mise par un signal pour parcourir une distance L, dans un milieu où la célérité des ondes est c,
est 
On peut négliger ce retard de propagation si  <<
soit L <<
Ordres de grandeur :
Pour une fréquence  = 106 Hz (grande valeur), la longueur d'onde  = 300 m est très grande devant la
dimension d'un circuit électrique usuel. Il est justifié de négliger la propagation pour l'étude d'un circuit
électrique en régime quasi-permanent, dans le domaine des fréquences électrotechniques
( < 106 Hz).
Pour  = 50 Hz :
2.
Equations simplifiées.
Elles décrivent en fait les phénomènes connus avant Maxwell.
On ne tient pas compte du terme
0
dans l'équation de Maxwell-Ampère.
Les équations de Maxwell-flux et Maxwell-Faraday sont inchangées;

Conséquences : div j  0 : l'intensité du courant est conservative dans le cadre de l'A.R.Q.P. C'est la base
de l'électrocinétique : l'intensité i(t) est la même en tout point d'un circuit non dérivé.
3.
Solutions.
Les équations de Maxwell-Thomson et Maxwell-Ampère sont les mêmes qu'en régime permanent.
On a la même expression pour qu'en régime permanent. Tous les calculs du champ magnétique vus en
magnétostatique sont utilisables, on remplacera I par i(t).
Le champ électrique est modifié par rapport au cas du régime permanent. Il reste couplé au champ
magnétique dans l’équation de Maxwell Faraday.
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