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Remarques sur la théorie de Schrödinger
J. Delsarte
To cite this version:
J. Delsarte. Remarques sur la théorie de Schrödinger. J. Phys. Radium, 1930, 1 (4), pp.141-152.
<10.1051/jphysrad:0193000104014100>. <jpa-00205417>
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Submitted on 1 Jan 1930
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REMARQUES SUR LA THÉORIE DE SCHRÖDINGER (1).
par J. DELSARTE
Université de Kancy.
Sommaire. 2014 On peut légitimer la théorie de Schrödinger et la célèbre équation aux
dérivées partielles qui en est le fondement en se laissant guider par l’analogie fondamentale entre la mécanique classique et l’optique géométrique, analogie qui futle point
de départ de de Broglie On doit construire pour cela les équations de la déformation
élastique de la variété courbe hétérogène formée par l’espace des configurations du
modèle mécanique étudié.
On est ainsi conduit à trois hypothèses distinctes suivant que les ondes de BroglieSchrodinger sont longitudinales, transversales ou mixtes.
La théorie de Schrôdinger repose en principe sur une analogie connue depuis fort longtemps entre la dynamique classique et l’optique géométrique, analogie qui est une conséquence évidente du principe de lVlaupertuis et du théorème de Jacobi.
Considérons en effet un système mécanique dont les liaisons sont indépendantes du
temps et des vitesses et dont la configuration peut être définie par les valeurs de 1t
coordonnées indépendantes ui, une position du système est alors bien définie par celle d’un
point image M dans un espace des configurations à it dimensions coordonnées par
un mouvement quelconque du système est de même défini par la trajectoire correspondante
du point image dans l’espace des configurations. La considération de la forme quadratique
de différentielles associées à l’expression de la force vive du système
conduit à attacher à chaque point de l’espace des configurations le ds2 ainsi obtenu et par
suite à regarder cet espace comme un espace de Riemann analogue à l’espace-temps de la
relativité générale.
Si on suppose de plus que les forces extérieures appliquées au système dérivent d’un
potentiel l’, le principe de Maupertuis détermine les trajectoires du pointt image correspondant à une valeur donnée de l’énergie par la condi tion d’annuler la variation du chemin
optique
-
,
est prise entre une position initiale donnée et une position fihale donnée du
M sans aucune restriction relativeme’nt aux valeurs correspondantes du temps. On est
donc ramené à un problème de pure géométrie, celui du mirage dans un espace courbe,
l’indice en chaque point ayant pour valeur
où
l’intégrale
point
Le théorème de Jacobi donne de plus une interprétation des surfaces d’ondes dans cette
propagation. Associons en effet au problème de calcul des variations auquel nous sommets
ramenés, l’équation de Jacobi dont l’intégration est équivalente
(i) Le détail de la théorie exposée dans cet article
sera
publié
dans
un
autre recueil.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193000104014100
142
ou
une
Si on en cherche, comme il est
solution de la forme
ne
dépend plus
du
et sous cette forme elle
d’extension
se
déforme
quand
le
ne
dépendent
pas du
temps,
dans
l’espace
T:1 ,
.
où cL
les liaisons
indiqué quand
temps, l’équation devient
exprime
temps varie
que la
multiplicité qui
avec une
vitesse normale
a
pour
égale
équation
à
Ces surfaces sont d’ailleurs normales aux trajectoires, il est donc naturel de les considérer comme des surfaces d’ondes dans le mirage dont nous parlions plus haut.
Toutes ces remarques conduisent bien simplement à l’idée d’une théorie de l’optique
ondulatoire dans les espaces courbes et hétérogènes. Schrodinger fonde une telle théorie sur
l’équation des ondes généralisée
scalaire dont il ne précise pas autrement la nature. Cette équation s’obtient en
dans
l’équation classique de propagation du son la vitesse constante par une
remplaçant
vitesse variable d’un point à l’autre, et sans aucune modification. Cette méthode de simple
substitution peut paraître un peu hàtive. Nous avons pensé qu’il ne serait peut-être pas
inutile de suivre jusqu’au bout l’analogie dont est parti Schrôdinger et par suite de commencer pour faire la théorie des déformations élastiques infiniment petites d’un espace
courbe et hétérogène, quitte ensuite à comparer les équations de propagations obtenues à
celle de Schrüdinger.
Nous supposerons donc que l’espace des configurations est susceptible de se déformer
sur lui-même, la déformation étant définie par des formules du type
où F est
A
un
une
mental,
telle déformation
on désigne par
et si
correspondra
grij
les
en
général
composantes
une
modification du tenseur fondaon posera
du tenseur modifié
On constate que les c-j et les (ij définissent la déformation. Pour établir les équations de
propagation, il est commode de partir, suivant les méthodes de MM. Cosserat de la densité
d’énergie de déformation W, laquelle est une fonction du point de l’espace et des valeurs des
e et des y en ce point. Nous supposerons la déformation infiniment petite et l’espace élastiquement isotrope ; W doit donc être un scala ire invariant, homogène et du second degré
en e et en ~~ . Nous définirons W par l’égalité
.
6 n’est autre que l’expression de la ’dilatation dans la déformation considérée. Si X
est le déplacement en chaque point, c’est-à-dire le vecteur infiniment petit ayant pour origine
143
position initiale du point courant de l’espace des configurations,
position de [ce même point dans l’état déformé, on a
la
et pour extrémité la
(g désigne le déterminant du tenseur fondamental dans l’état initial).
On peut aussi exprimer fi en fonction des et des y, et on a
19 est une forme quadratique des E et des y qui a aussi une signification intrinsèque; nous
n’expliciterons pas ici son expression, assez compliquée dans le cas général.
Nous désignerons par p la densité en un point du milieu déformable, c’est une fonction des
coordonnées de ce point. Comme l’espace est hétérogène il serait assez naturel, semble-t-il,
de considérer les coefficients ). et p., analogues aux coefficients de Lamé, comme variables
d’un point à un autre. En réalité il est indispensable de les considérer comme constants.
G’est ce qu’on voit en effet en examinant ce qui se passe quand on veut faire la théorie élastique de la propagation de la lumière dans le mirage ordinaire. On a là un problème de physique ayant un sens bien précis et on sait que la donnée de la vitesse de propagation,
variable d’un point à un autre en détermine parfaitement la solution. Or si l’on écrit les
équations de la déformation élastique de l’éther hétérogène correspondant, on constate que
A
LL
si l’on suppose p, ?,, (J. variables, ces équations contiennent, outre les quotients - et , les
F
P
.
expressions
de sorte que la donnée des vitesses de
dépendent que
des
quotients -p et p-
ne
propagation longitudinale
suffisent
et
transversale, qui
ne
plus à déterminer le problème. On voit qu’il
de A et li.,. Par suite, nous devons supposer
1
[J"
sont aussi variables ains
et It constants, p seul étant variable ; alors les
p
ICI
que les vitesses et tous les coefficients des équations de la déformation sont connus. Pour
des raisons identiques, nous sommes tenus, dans le cas général où nous nous plaçons ici de
-supposer k et y constants.
Ceci posé on obtient les équations de propagation par application du principe général
de d’Alembert, en écrivant que la variation d’énergie d’une portion quelconque de l’espace
des configurations pour une déformation virtuelle quelconque est égale à la différence des
travaux des forces directement appliquées et des forces d’inertie. Il n’y a pas ici de force
directement appliquée. La force d’inertie par unité de volume est
est
encore
nécessaire de connaître les
gradients
quotients - et -
-
les infiniment
petits du second ordre, la longueur du vecteur déformation X
étant l’infiniment petit principal. Par un calcul assez long et que nous ne reproduirons pas,
on peut mettre les équations variationnelles obtenues sous forme intrinsèque ; on a alors
l’équation vectorielle suivante
en
négligeant
144
2013>
0 est la divergence du vecteur déformation, explicitée plus haut à X.’ est un vecteur généralisant ce qu’on appelle le laplacien d’un vecteur en analyse vectorielle ordinaire à trois
dimensions. Ce vecteur a une signification intrinsèque qui se déduit de la considération d’une
formule d’analyse tensorielle généralisant la formule classique qui donne le rotrot d’un
vecteur en fonction du gradient de sa divergence et de son laplacien dans l’espace euclidien
->
a trois dimensions. On obtient le vecteur A X
-
en
du vecteur X
appliquant aux composantes
l’opération
.
où l’initiale D désigne une différentiation absolue. Cette même opération appliquée à un
scalaire U donne l’expression du laplacien scalaire de U calculé en coordonnées curvilignes
quelconques. Mais on doit bien remarquer que contrairement à ce qui se passe dans un
-
espace euclidien, la
première composante, contravariante
par
exemple,
du vecteur à X
-
seulement de la première
de toutes les autres et leurs dérivées.
dépend
non
composante
contravariante du vecteur
X,
mais aussi
-
grad
0 est le vecteur
qui
a
pour ième
composante covariante
-
I- X est un vecteur déduit du vecteur X par une opération
vectorielle. Sa première composante contravariante est
ou
les
grand
dyadique
ou
homographie
composantes du tenseur de courbure contracté de Ricci qui joue un si
générale.
remarquable que l’équation vectorielle obtenue soit en somme identique à
sont les
rôle
en
relativité
Il est très
->
de l’élaslicité élémentaire, ce, au terme en R[X] près, qui traduit
l’influence de la courbure de l’espace ; malgré l’hétérogénéité de l’espace. Il y a évidemment
là une grande simplification qui a son origine dans le fait que les coefficients de Lamé 7.
et y sont t constants .
L’équation vectorielle obtenue équivaut à un système de n équations différentielles scalaires à it fonctions inconnues. On peut d’abord étudier ce système au point de vue des caractéristiques et des bicaractéristiques d’après la méthode de Hadamard-Heudon. On constate
alors sans difficulté spéciale que les multiplicités caractéristiques sont de deux types; les
unes satisfont à l’équation de Jacobi
l’équation classique
,
et les autres à
l’équation
de Jacobi
Les bicaractéristiques sont naturellement les rayons
tivement les variations des intégrales
correspondants
et annulenl respec-
145
et
Si on se place au point de vue physique on doit chercher les ondes du second ordrecompatibles avec le système différentiel. On sait que cette recherche est analytiquement
équivalente à celle des caractéristiques. 4n trouve en effet deux catégories d’ondes, les unes
sont longitudinales (c’est-à-dire que le vecteur directeur de la discontinuité est normal à la
surface d’onde) et se propagent avec la vitesse
les autres sont transversales (c’est-à-dire que le vecteur directeur de la discontinuité est tan
gent à la surface d’onde) et se propagent avec la vitesse.
On
donc du point de vue des ondes compatibles avec le système, des résultats idenque donne l’élasticité élémentaire ; signalons cependant une différence, pour
tiques
un espace courbe quelconque les discontinuités longitudinales modifient le tenseur rotationnel et les discontinuités transversales modifient la dilatation, contrairement à ce qui se
passe dans l’espace euclidien.
à
a
ceux
Revenons maintenant aux ondes de Schrôdingerque nous allons interpréter comme des
ondes sinusoïdales partout régulières et satisfaisant au système différentiel obtenu plus haut.
Nous connaissons de plus, à cause de l’analogie mécanique dont nous sommes partis, leur
vitesse de propagation égale à
et
nous
devons
profiter de
,
cela pour déterminer les
,
X
quotients -
et
{JL
.
P
p
Nous nous trouv ons dans la même situation que lorsqu’on veut faire la théorie élastique de la lumière : nous savons qu’un certain ébranlement se propage avec une vitesse
connue et nous savons qu’il n’y a qu’une seule sorte d’ébranlement et une seule vitesse de
propagation. Dans le cas de la lumière on avait de très sérieuses raisons de croire que cet
ébranlement était transversal, par suite on admettait que la vitesse de propagation longitudinale était nulle ; dans le cas actuel rien ne nous oblige à faire une hypothèse plutôt.
qu’une autre et nous avons donc trois ras logiquement possibles et trois seulement
a) La propagation est longitudinale et les ondes transversales ne sont pas propageables,.
on a
d’où
b) la propagation
on a
d’où
est transversale et les ondes
longitudinales
ne
sont pas
propageables,
~
146
.-c) la propagation est
mixte et les ondes
vecteur de discontinuité est
en
qui
se
général oblique
propagent n’ont pas de sens déterminé. Le
sur la surface d’onde, on a
Toù
Nous supposerons le vecteur déformation sinusoïdal
q
étant
cas,
a)
de fréquence
indépendant du temps. Les équations de propagation
tenu du postulat de de Broglie et de la formule de
compte
pour la vibration
v
et
nous
poserons
sont alors dans les différents
Plank
longitudinale
Il est à remarquer que dans ce cas tout se passe comme si l’espace était euclidien car
le terme traduisant l’influence de la courbure disparatt, 11- étant nul. De plus on peut
remplacer ce système vectoriel par une équation scalaire unique. Posons en effet
~on a
immédiatement
puis l’équation scalaire déterminant la fonction ~,
Cette
équation n’est
pas très différente de celle
proposée par Schrôdinger laquelle peut
s’récrire
elle n’én diffère que par des termes contenant les dérivées du
On a ensuite
b) pour la vibration transversale
de
ce
système
on
tire
encore une
condition scalaire
premier
ordre
de ~.
qui est seulement nécessaire
147
on
démontre
en
effet que
-
e) pour
la vibration mixte
Suivant l’idée de Schrôdinger nous chercherons pour chacun de ces systèmes une solution régulière dans tout l’espace et nulle à l’infini si l’espace des configurations est ouvert.
Le problème n’admettra en général d’autres solutions que
-sauf pour certaines valeurs de l’énergie 7, formant un spectre d’auto-valeurs. Les spectres
et les auto-fonctioms donnés par chacune des trois hypothèses seront en général différents
entre eux et différeront aussi des résultats donnés par l’équation de Schrodinger. Il est
cependant très intéressant de comparer dans les cas les plus simples tous ces résultats et de
voir quelles conclusions générales on peut tirer de cette comparaison.
Tout d’abord on peut remarquer que seule la première hypothèse donne lieu à une
seule équation scalaire, d’ailleurs voisine de l’équation de Schrodinger. Ces deux équations
deviennent même identiques quand le potentiel V est consta.it, c’est-à-dire quand le système mécanique considéré n’est soumis à aucune force. Voici donc un cas où l’hypothèse
de la propagation longitudinale donne les mêmes auto-vateurs que la théorie de Schrodinger.
Ce cas est justement celui du modèle moléculaire connu sous le nom de « rotateur rigide »
(cas des molécules biatomiques). Examinons dans ce cas ce que donnent les deux autres
hypothèses. L’espace d’extension se réduit à une sphère ay ant pour rayon la racine
.carrée du moment d’inertie de la molécule par rapport à son centre de gravité, soit A.
On a
désignant par ut la longitude
l’espace des configurations se réduit
en
on
constate que l’on
où K
désigne
et
a
la courbure totale de cette
Moyennant cette simplification et
nul, les équations deviennent
dans la seconde
la colatitude sur cette sphère. Or quand
c’est le cas ici à une surface à deux dimensions,
par u2
comme
hypothèse
et
surface, On
le fait que le
a
donc ici
potelitiel V peut
être considéré
comme
148
dans la troisième. Ce troisième système
et en supprimant la condition
L’étude de
se
déduit du second
en
changeant
r,
le
signe de l’énergie
Il
n
’1
l’équation
conduit à introduire les inconnues auxiliaires
et
qui joue le
rôle du rotationnel
(On a g
1-’ 2 sin2
u1). Il vient alors le système scalaire
Il est facile d’éliminer soit 9- soit § entre ces deux
la première par g,i et dérivons là par rapport
et dérivons-la par rapport à 2c, et soustrayons,
par
plions
introduisant, le laplacien scalaire de
obtient alors l’équations
en
équations. Pour éliminer (p multià 142, puis multiplions la seconde
on
trouve toutes réductions faites
’f. On peut éliminer Ç
par
un
procédé analogue,
on
-
connaissant les
formules
fonctions ? et §
on
calcule les
composantes contravariantes de par les
.
tirées des
équations initiales. Les équation scalaires en ~ et~ sont identiques et du type
Schrodinger, elles se déduisent de l’équation de Schrodmger du problème en augmentaut
l’énergie de la quantité
dP
Par suite les autovaleurs de la
propagation
transversale s’obtiennent
en
décalant d’une
149
quantité constante les auto-valeurs de la propagation longitudinale. Nous avons
la propagation longitudinale les auto-valeurs déterminées par Schriidinger
puis
dans la
propagation
transversale
A2
et enfin dans la
1 -
mixte
propagation
Il est à remarquer que
ces
différents
systèmes
d’auto-valeurs donnen t les mêmes diffé-
d’énergie.
rences
cas
donc pour
Tous ces résultats s’étendent, en supj)osant toujours la fonction potentielle nulle. au
oit l’espace des con figurations est à courbure constante. oit I)Iits généralement est isolinpe
’
au sens
qui
se
de Ricci.
minons maintenant le cas où l’espace des configurations n’a qu’une dimension, cas
dans la théorie de l’oscillateur harmonique étudié par Schrôdinger; occupons-
présente
-
d’abord de la propagation longitudinale. Le vecteur est défini par sa composante
contravariante unique ç1 égale à sa composante (,-ovat-iante, et on a l’équation scalaire
nous
identique à l’équation de Schrodinger du problème.
tien de la propagation transversale se réduit à
tandis que celle de la propagation emixte est
nale. Enfin la densité d’action a pôur valeur
dans la
première hypothèse,
De plus on constate aisément que
identique à
celle de la
propagation longitudi-
et
dans la troisième. L’application à l’oscillateur harmonique est immédiate
les notations classiques, les mêmes auto-valeurs que Schrôdinger
on
trouve,
et les auto-fonctions
d’où
on
l’équa-
tire par dérivation la valeur de
div
et par suite de la densité
d’4nergiq.
avec
150
Nous examinerons enfin en dernier lieu le cas, très important, où l’espace des configurations est euclidien ; cas qui est celui de l’atome d’hydrogène (il a alors trois dimensions
C’est aussi celui de tous les modèles atomiques des corps simples (si .J.B~ est le nombre d’électrons de l’atome,l’espace des configurations a 3 a’ dimensions)
Or dans un espace euclidien, si on prend un système de coordonnées rectangulaires, on
-
constate que les
composantes
du
laplacien
d’un vecteur 1 sont les
laplaciens
scalaires dues
--
composantes de même
dans
se
un
nom de E . De cette remarque très simple découle le fait suivant
espace euclidien à n dimensioos l’équation vectorielle de la propagation mixte
décompose
en n
équations
scalaires
-
qui montre que chacune des composantes du vecteur délorxnation § satisfait séparément
à l’équation de Schrodinger du problème. Les auto-valeurs de Schrodinger sont donc dans
ce cas les auto-valeurs de la propagation mixte. Les auto-fonctions correspondantes sont les
ce
-
composantes
du vecteur En
à
général
une
auto-valeur de
l’équation correspondra
une
--
seule auto-fonction déterminée à un facteur constant près, âe sorte que le champ du vecteur
sera un champ de direction constante arbitraire, la longueur du vecteur en chaque point
étant égale à la valeur de l’auto-fonction en ce point. On aura ensuite la densité d’énergie par
le calcul actuel.
C’est là semble-t-il tout ce qu’on peut dire de général. Les auto-valeurs des équations de
la propagation longitudinale et la propagation transversale n’ont en gé’néral aucun rapport
avec celles de Schrôdinger. Elles sont d’ailleurs le plus souvent difficiles à déterminer.
Examinons cependant le cas de l’atome d’hydrogène où certaines simplications ses
produisent.
L’espace des configurations
en
est à trois
dimensions,
son
ds2 est
désignant par mo la masse de l’électron. Nous rapporterons les opérations effectuées sur
1,ecteur § , non à cet espace, mais à l’espace ordinaire où les coordonnées sont x, y, z.
-
le
-
Alors
+
-
grad div 1
calculé dans
l’espace
des
configurations
est
égal
à
-
grad div calculé
-+
l’espace ordinaire divisé par no;
potentielle est en notation classique
dans
dans
ces
ou sous
conditions
l’équation
forme scalaire
de
de même pour le
laplacien de .
propagation longitudinale
est
Enfin la fonction
151
et celle de la
propagation
transversale peut s’écrire
Nous chercherons dans la
première hypothèse
les solutions à rotationnel nul. On
cons-
-
tate
sans peine
que pour
qu’il en
soit ainsi il est nécessaire et suffisant
que ;
soit le
gradient
-
d’une fonction de
teur de
son
r seul. Si on prend alors pour inconnue la mesure de E
point d’application, soit ~’, on a l’équation en ;1 :
sur
le rayon
vec-
ou
cette
en
équation
a
été obtenue
par Schrüdinger qui l’a
rencontrée
en
cherchant à résoudre
posant
Si (0, ?) étant
un harmonique sphérique de surface d’ordre 1. Cette équation comme on sait
ramène à l’équation de Laplace et les auto-valeurs sont les valeurs positives de l’énergie
et les valeurs négatives de la forme
se
Voyons
Nous
maintenant le
nous
cas
de la
propagation
transversale
qui satisfait
à
l’équation
bornerons ici à la recherche des solutions à flux conservé. On montre alors
-
’le vecteur 1 doit être tangent à la sphère de centre origine qui passe par son point
d’application. Il est indiqué de prendre ici des coordonnées polaires : rayon vecteur ut, lonest
gitude u2, colatitude u3, le
que
-
et la composante
à iposer
ç1
du
vecteur
-
est nulle. La divergence
Introduisant alors l’inconnue auxiliaire
de ç
étant nulle
on
est conduit
152
montre, par un calcul que
-condition scalaire unique.
-on
nous ne
reproduirons
pas, que la fonction x est
assujettie
à la
autre que l’équation de Schrôdinger pour l’atome d’hydrogène.
Les auto-valeurs de Schrôdinger pour cet atome donnent donc les auto-valeurs de la
propagation transversale quand on fait l’hypothèse complémentaire que cette propagation
est à divergence nulle.
Ajoutons que dans le cas particulier de l’hydrogène, la réussite des calculs précédents
tient à ce que la fonction des forces ne dépend que du rayon vecteur et à la forme particulièrement simple du ds~ en coordonnées polaires. Tout essai de généralisation de ces calculs
serait inutile et on peut montrer que pour une fonction de forces quelconque il n’y a pas
de propagation longitudinale à rotationnel nul pas plus qu’il n’y a de propagation transversale à divergence nulle.
qui n’est
.
Nous termineronsil par une remarque qui nous paraît avoir une certaine importance.
Nous avons noté en temps utile que dans la propagation longitudinale la densité d’énergie
-élastique dans l’espace des configurations avait pour expression
’
2
w
-
où § est solution d’une équation scalaire analogue à celle de Schrôdinger. Or on sait que cet
sauteur fait usage pour calculer l’énergie rayonnée par un atome déterminé, d’une densité
électrostatique répartie dans l’espace des configurations, et égale à
où F est solution de l’équation scalaire de propagation employée par lui. Le rapprochement
de ces deux faits et l’analogie évidente des deux formules, analogie qui deviendrait une
identité si nous avions fait usage d’éléments imaginaires, permettent d’espérer qu’il est possible, dans le cas général, de faire jouer à la densité d’énergie employée par nous le rôle de
densité électrostatique et d’utiliser cette densité à la manière de Schrôdinger pour le calcul
-des intensités des raies. Nous sommes donc en possession d’une méthode de calcul régulière de cette densité dans les trois hypothèses de propagation et nous l’introduisons
peut-être plus naturellement que ne l’a fait l’auteur de la théorie.
En résumé nous rattachons les importants résultats obtenus par Schrôdinger dans les
les plus simples : atome d’hydrogène, rotateur rigide, etc., à une théorie générale qui
n’a rien d inattendu d’ailleurs puisqu’elle n’est que l’extension à un cas un peu compliqué
~de résultats classiques depuis un siècle. Cela n’était peut-être pas inutile au moment où
paraissent de nombreux mémoires dans lesquels sont traitées des questions connexes ;
mémoires dont la lecture est souvent rendue difficile par l’emploi de méthodes dont le moins
qu’on puisse dire est qu’elles sont d’une nature mathématique bien supérieure au niveau des
sujets qu’elles aiden t à traiter.
.cas
Manuscrit reçu le 20 décembre 19?9.