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Remarques sur la th´eorie de Schr¨odinger
J. Delsarte
To cite this version:
J. Delsarte. Remarques sur la th´eorie de Schr¨odinger. J. Phys. Radium, 1930, 1 (4), pp.141-152.
<10.1051/jphysrad:0193000104014100>.<jpa-00205417>
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REMARQUES
SUR LA
THÉORIE
DE
SCHRÖDINGER
(1).
par J.
DELSARTE
Université de
Kancy.
Sommaire. 2014
On
peut
légitimer
la
théorie
de
Schrödinger
et la
célèbre
équation
aux
dérivées
partielles qui
en
est le fondement
en
se laissant
guider par
l’analogie
fonda-
mentale
entre la
mécanique classique
et
l’optique géométrique, analogie
qui
fut
le
point
de
départ
de de
Broglie
On
doit
construire
pour
cela
les
équations
de la déformation
élastique
de
la
variété courbe
hétérogène
formée
par l’espace
des
configurations
du
modèle
mécanique
étudié.
On est ainsi
conduit
à trois
hypothèses
distinctes
suivant
que
les ondes
de
Broglie-
Schrodinger
sont
longitudinales,
transversales ou
mixtes.
La
théorie
de
Schrôdinger
repose
en
principe
sur
une
analogie
connue
depuis
fort
long-
temps
entre
la
dynamique
classique
et
l’optique géométrique, analogie
qui
est une
consé-
quence
évidente
du
principe
de
lVlaupertuis
et du
théorème
de
Jacobi.
Considérons en effet
un
système mécanique
dont
les liaisons
sont
indépendantes
du
temps
et
des vitesses
et
dont
la
configuration
peut
être définie
par
les
valeurs
de 1t
coordonnées
indépendantes
ui,
une
position
du
système
est
alors bien
définie
par celle
d’un
point
image
M dans
un
espace
des
configurations
à it dimensions
coordonnées
par
un
mouvement
quelconque
du
système
est de même
défini
par
la
trajectoire
correspondante
du
point
image
dans
l’espace
des
configurations.
La
considération
de la
forme
quadratique
de
différentielles
associées à
l’expression
de
la
force
vive
du
système
conduit à attacher
à
chaque
point
de
l’espace
des
configurations
le
ds2
ainsi
obtenu et
par
suite
à
regarder
cet
espace
comme
un
espace de
Riemann
analogue
à
l’espace-temps
de la
relativité
générale.
Si
on
suppose
de
plus
que
les forces
extérieures
appliquées
au
système
dérivent
d’un
potentiel
l’,
le
principe
de
Maupertuis
détermine
les
trajectoires
du
point
t
image
corres-
pondant à
une valeur donnée
de
l’énergie par
la condi tion
d’annuler
la variation du chemin
optique
- - ,
où
l’intégrale
est
prise
entre une
position
initiale donnée et
une
position
fihale
donnée
du
point
M
sans aucune restriction
relativeme’nt
aux
valeurs
correspondantes
du
temps.
On est
donc
ramené
à un
problème
de
pure
géométrie,
celui du
mirage
dans
un
espace
courbe,
l’indice
en
chaque point
ayant pour
valeur
Le
théorème
de Jacobi
donne de
plus
une
interprétation
des surfaces
d’ondes
dans
cette
propagation.
Associons
en effet au
problème
de calcul
des variations
auquel
nous
sommets
ramenés,
l’équation
de Jacobi
dont
l’intégration
est
équivalente
(i)
Le
détail
de la
théorie
exposée
dans cet article sera
publié
dans un autre recueil.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193000104014100

142
ou
Si
on
en
cherche,
comme
il
est
indiqué
quand
les liaisons ne
dépendent
pas
du
temps,
une
solution
de la
forme
. T:1 ,
où cL
ne
dépend plus
du
temps, l’équation
devient
et sous cette
forme elle
exprime
que
la
multiplicité
qui
a
pour
équation
dans
l’espace
d’extension
se déforme
quand
le
temps
varie
avec une vitesse
normale
égale
à
Ces surfaces
sont d’ailleurs normales aux
trajectoires,
il
est donc
naturel
de les con-
sidérer comme des
surfaces d’ondes
dans
le
mirage
dont nous
parlions plus
haut.
Toutes
ces
remarques
conduisent
bien
simplement
à l’idée
d’une
théorie
de
l’optique
ondulatoire dans les
espaces
courbes et
hétérogènes.
Schrodinger
fonde
une
telle théorie
sur
l’équation
des ondes
généralisée
où
F
est
un
scalaire dont il
ne
précise
pas
autrement
la
nature. Cette
équation
s’obtient
en
remplaçant
dans
l’équation classique
de
propagation
du
son la
vitesse
constante
par
une
vitesse variable
d’un
point
à
l’autre,
et
sans aucune modification.
Cette
méthode
de
simple
substitution
peut
paraître
un
peu
hàtive. Nous avons
pensé
qu’il
ne serait
peut-être pas
inutile
de suivre
jusqu’au
bout
l’analogie
dont
est
parti
Schrôdinger
et
par
suite
de com-
mencer
pour
faire
la théorie des déformations
élastiques
infiniment
petites
d’un
espace
courbe
et
hétérogène,
quitte
ensuite
à
comparer
les
équations
de
propagations
obtenues à
celle de
Schrüdinger.
Nous
supposerons
donc
que l’espace
des
configurations
est
susceptible
de se déformer
sur
lui-même,
la déformation étant
définie
par
des formules du
type
A une telle
déformation
correspondra
en
général
une
modification du tenseur fonda-
mental,
et
si
on
désigne par
grij
les
composantes
du
tenseur modifié on
posera
On constate
que
les c-j
et
les
(ij
définissent
la déformation. Pour
établir les
équations
de
propagation,
il
est commode
de
partir,
suivant
les méthodes
de
MM.
Cosserat
de
la
densité
d’énergie
de
déformation
W,
laquelle
est
une
fonction
du
point
de
l’espace
et
des
valeurs des
e
et des
y
en ce
point.
Nous
supposerons
la déformation infiniment
petite
et
l’espace
élasti-
quement
isotrope ;
W doit donc
être un scala ire
invariant,
homogène
et du
second
degré
en
e
et
en
~~ .
Nous
définirons
W
par
l’égalité
.
6
n’est autre
que
l’expression
de
la
’dilatation dans
la déformation
considérée.
Si
X
est
le
déplacement
en
chaque
point,
c’est-à-dire
le vecteur
infiniment
petit
ayant pour
origine

143
la
position
initiale
du
point
courant
de
l’espace
des
configurations,
et
pour
extrémité
la
position
de [ce
même
point
dans
l’état
déformé,
on a
(g
désigne
le
déterminant
du
tenseur
fondamental
dans
l’état
initial).
On
peut
aussi
exprimer
fi
en
fonction des
et
des
y,
et
on a
19
est
une
forme
quadratique
des E
et
des y
qui
a aussi une
signification
intrinsèque;
nous
n’expliciterons
pas
ici
son
expression,
assez
compliquée
dans le cas
général.
Nous
désignerons par
p
la densité
en
un
point
du milieu
déformable,
c’est une fonction des
coordonnées
de ce
point.
Comme
l’espace
est
hétérogène
il serait
assez
naturel,
semble-t-il,
de
considérer
les
coefficients ).
et
p.,
analogues
aux coefficients
de
Lamé,
comme
variables
d’un
point
à
un
autre.
En
réalité
il
est
indispensable
de
les
considérer
comme
constants.
G’est
ce
qu’on
voit en
effet en
examinant
ce
qui
se
passe quand
on veut faire
la
théorie
élas-
tique
de la
propagation
de la lumière dans
le
mirage
ordinaire.
On
a là
un
problème
de
phy-
sique
ayant
un
sens bien
précis
et
on sait
que
la
donnée de la
vitesse de
propagation,
variable
d’un
point
à un
autre en
détermine
parfaitement
la
solution. Or
si l’on écrit
les
équations
de la déformation
élastique
de
l’éther
hétérogène
correspondant,
on
constate
que
A
LL
si
l’on
suppose
p,
?,,
(J.
variables,
ces
équations
contiennent,
outre
les
quotients -
et ,
les
.
F
P
expressions
de sorte
que
la
donnée
des
vitesses
de
propagation
longitudinale
et
transversale,
qui
ne
dépendent que
des
quotients -
et -
ne
suffisent
plus
à déterminer
le
problème.
On
voit
qu’il
p
p
est
encore nécessaire
de
connaître les
gradients
de
A
et
li.,.
Par
suite,
nous
devons
supposer
1
[J"
et It
constants, p
seul étant
variable ;
alors les
quotients -
et - sont aussi
variables
ains
p
ICI
que
les vitesses
et
tous
les coefficients
des
équations
de la
déformation
sont connus.
Pour
des raisons
identiques,
nous
sommes
tenus,
dans
le
cas
général
où nous
nous
plaçons
ici
de
-supposer k
et y
constants.
Ceci
posé
on
obtient
les
équations
de
propagation
par
application
du
principe
général
de
d’Alembert,
en
écrivant
que
la variation
d’énergie
d’une
portion quelconque
de
l’espace
des
configurations
pour
une
déformation virtuelle
quelconque
est
égale à
la différence
des
travaux
des forces directement
appliquées
et des forces
d’inertie.
Il
n’y
a
pas
ici de force
directement
appliquée.
La force
d’inertie
par
unité
de volume
est
-
en
négligeant
les infiniment
petits
du second
ordre,
la
longueur
du
vecteur
déformation X
étant
l’infiniment
petit
principal.
Par un calcul assez
long
et
que
nous
ne
reproduirons
pas,
on
peut
mettre
les
équations
variationnelles
obtenues
sous
forme
intrinsèque ;
on a
alors
l’équation
vectorielle
suivante

144
2013&#x3E;
0
est la
divergence
du
vecteur
déformation,
explicitée
plus
haut à
X.’ est un vecteur
généra-
lisant
ce
qu’on
appelle
le
laplacien
d’un vecteur en
analyse
vectorielle
ordinaire à
trois
dimensions. Ce vecteur a une
signification
intrinsèque qui
se
déduit de la
considération d’une
formule
d’analyse
tensorielle
généralisant
la
formule
classique
qui
donne
le
rotrot
d’un
vecteur en
fonction
du
gradient
de sa
divergence
et
de son
laplacien
dans
l’espace
euclidien
-&#x3E; -
a trois dimensions. On
obtient le
vecteur A X
en
appliquant
aux
composantes
du
vecteur X
l’opération
.
où
l’initiale
D
désigne
une
différentiation
absolue.
Cette même
opération
appliquée
à
un
scalaire U
donne
l’expression
du
laplacien
scalaire
de
U
calculé
en coordonnées
curvilignes
quelconques.
Mais on doit bien
remarquer
que
contrairement
à ce
qui
se
passe
dans
un
-
espace
euclidien,
la
première composante,
contravariante
par
exemple,
du vecteur à X
-
dépend
non
seulement
de
la
première
composante
contravariante
du
vecteur
X,
mais
aussi
de
toutes les
autres et leurs dérivées.
-
grad
0
est
le vecteur
qui
a
pour
ième
composante
covariante
-
I-
X
est un
vecteur
déduit du
vecteur
X par
une
opération dyadique
ou
homographie
vectorielle.
Sa
première composante
contravariante
est
ou les sont les
composantes
du
tenseur
de
courbure
contracté
de
Ricci
qui joue
un
si
grand
rôle
en
relativité
générale.
Il
est
très
remarquable
que
l’équation
vectorielle
obtenue
soit
en
somme
identique
à
-&#x3E;
l’équation classique
de
l’élaslicité
élémentaire, ce,
au terme en
R[X]
près,
qui
traduit
l’influence
de la courbure de
l’espace ; malgré l’hétérogénéité
de
l’espace.
Il
y a
évidemment
là
une
grande
simplification qui
a
son
origine
dans le fait
que
les
coefficients de
Lamé
7.
et y
sont t constants .
,
L’équation
vectorielle obtenue
équivaut
à
un
système
de n
équations
différentielles sca-
laires à it fonctions
inconnues.
On
peut
d’abord étudier
ce
système
au
point
de vue des
carac-
téristiques
et des
bicaractéristiques
d’après
la méthode
de Hadamard-Heudon.
On
constate
alors
sans difficulté
spéciale que
les
multiplicités
caractéristiques
sont de deux
types;
les
unes
satisfont à
l’équation
de
Jacobi
et
les autres à
l’équation
de Jacobi
Les
bicaractéristiques
sont
naturellement
les
rayons
correspondants
et
annulenl
respec-
tivement
les
variations
des
intégrales