DIMENSION FINIE

1
EV dimension finie
I ) Théorèmes généraux Soit E un espace vectoriel .
Définition 1 : E est dit de dimension finie , si E admet une famille génératrice
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Théorème 1 : Tous espace vectoriel de dimension finie admet une base
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Démonstration : Soit A = { cardinaux d'une famille génératrice de E }
A ⊂ lN et A ≠ ∅ donc A admet un plus petit élément , soit p = inf (A )
Soit de (y
j
)
j∈[1,p]
une famille génératrice de E . Si (y
j
)
j∈[1,p]
est liée alors l'un de vecteurs est combinaison
linaires des autres ( par exemple y
p
) E = Vect (y
1
, y
2
, ..... , y
p
) = Vect (y
1
, y
2
, ..... , y
p-1
) il existerait une
famille génératrice ayant p-1 éléments ce qui est absurde . Donc (y
j
)
j∈[1,p]
est une base de E
_______________________________________________
Théorème 2 : Soit de (x
i
)
i∈[1,p]
une famille libre d'éléments de E .
Soit de (y
j
)
j∈[1,q]
une famille génératrice de E .
alors p ≤ q .
_______________________________________________
Remarque : Donc le cardinal d'une famille libre est toujours plus petit que celui d'une famille génératrice .
_______________________________________________
Théorème 3 : Soit de (x
i
)
i∈[1,n]
une base de E .
Soit de (y
j
)
j∈[1,m]
une base de E alors n = m .
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Définition 2 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie , toutes ses bases on donc le même cardinal
,ce cardinal est appelé la dimension de E noté Dim( E )
Par convention : Dim ( { 0
E
}) = 0 .
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Remarque : Donc la dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une de ses bases .
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Lexique : L
1
: Dim( lR
n
) = n donc Dim( lR ) = 1
L
2
: Dim( lR
n
[X] ) = n +1 donc Dim( lR
2
[X] ) = 3
L
3
: Dim(M
n,p
( lR )) = np donc Dim(M
n
( lR )) = n²
Vous généraliserez à 
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Théorème 4 : Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie alors ExF est de dimension finie .
et Dim( ExF ) = Dim( E ) + Dim ( F )
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Remarque : ( Importante )
a ) Toute famille de cardinal strictement supérieur à la dimension de E est liée
b ) Toute famille génératrice de E a un cardinal supérieur à la dimension de E .
b ) Toute famille libre de E a un cardinal inférieur à la dimension de E .
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Théorème 5 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E
alors F est un espace vectoriel de dimension finie et Dim ( F ) ≤ Dim ( E )
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2
Théorème 6 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E
Dim ( F ) = Dim ( E ) ⇒ E = F
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Lemme : Soit de (x
i
)
i∈[1,p]
une famille libre de E , avec p < Dim( E ) et y ∉ Vect (x
i
)
i∈[1,p]
alors ( x
1
, x
2
,....., x
p
, y ) est une famille libre .
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Démonstration :
Si ( x
1
, x
2
,....., x
p
, y ) est une famille liée alors l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autre .
1er cas : y =
∑
=
λ
p
1
i
ii
x∈ Vect (x
i
)
i∈[1,p]
absurde
2éme cas : x
j
=
∑
≠
=
λ
p
ji
1i
ii
x + λy 1er sous cas : λ = 0 alors (x
i
)
i∈[1,p]
est une famille liée : absurde
2éme sous cas : λ≠0 alors y =
λ−
λ
∑
≠
=
p
ji
1i
iij
xx
1∈ Vect (xi)i∈[1,p] absurde
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Théorème 7 : de caractérisation des bases ( Fondamental )
a ) Toute famille libre de E , de cardinal égal à la dimension de E est une base de E .
b ) Toute famille génératrice de E , de cardinal égal à la dimension de E est une base de E .
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Démonstration :
a ) Si ( x1 , x2 ,....., xn ) est une famille libre de E avec Dim ( E ) = n si E ≠ Vect (xi)i∈[1,n]
alors soit y ∉ Vect (xi)i∈[1,n] alors ( x1 , x2 ,....., xn , y ) est une famille libre ce qui est absurde
car elle a n+1 éléments
b ) Si ( x1 , x2 ,....., xn ) est une famille génératrice de E avec Dim ( E ) = n si (xi)i∈[1,n] est liée alors l'un des
vecteurs est combinaison linéaire des autre ( par exemple xn ) donc E = Vect (xi)i∈[1,n] = Vect (xi)i∈[1,n-1]
alors ( x1 , x2 ,....., xn-1 ) est une famille génératrice de E ce qui est absurde car elle a n - 1 éléments
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Théorème 8 : de la base incomplète
Soit de ( x1 , x2 ,....., xp ) une famille libre de E , avec p < Dim( E ) = n
alors il existe ( xp+1 , xp+2 ,....., xn ) tel que ( x1 , x2 ,....., xn ) soit une base de E .
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Démonstration :
Si ( x1 , x2 ,....., xp ) est une famille libre de E avec Dim ( E ) = n > p donc E ≠ Vect (xi)i∈[1,p]
alors soit xp+1 ∉ Vect (xi)i∈[1,p] alors ( x1 , x2 ,....., xp , xp+1 ) est une famille libre de E etc …..
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Théorème 9 : Soit E et F deux espaces vectoriels tel que E soit de dimension finie et il existe un
isomorphisme de E dans F alors F est de dimension finie et Dim ( F ) = Dim ( E )
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Utilisation et TH : Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie Dim ( E ) =p et Dim ( F ) = n
On montrera plus loin qu'il existe un isomorphisme de L ( E , F ) dans M
n,p( lK) et donc
L ( E , F ) est de dimension finie et Dim ( L ( E , F )) = Dim ( E ) x Dim ( F )
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3
II ) Théorème de Grassmann :
Théorème 1 : Théorème de Grassmann
Soit E un espace vectoriel de dimension finie E1 et E2 deux sous espaces vectoriel de E
alors Dim( E1 + E2 ) = Dim( E1 ) + Dim( E2 ) - Dim( E1 ∩ E2 )
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Corrolaire : ( Fondamental )
Soit E un espace vectoriel de dimension finie E1 et E2 deux sous espaces vectoriel de E
E1 et E2 sont supplémentaire ( E1 ⊕ E2 = E )
ë
{
}
=+ =∩
E E E
0 E E
21
E21
ë
{
}
=+ =∩
Dim(E) )dim(E )Dim(E
0 E E
21
E21
ë
=+ =+
E E E
Dim(E) )dim(E )Dim(E
21
21
_______________________________________________
Démonstration : ⇓ n° 2 : Dim( E1 + E2 ) = Dim( E1 ) + Dim( E2 ) - Dim( E1 ∩ E2 ) = Dim( E )
donc Dim( E1 ) + Dim( E2 ) = Dim( E )
⇑ n° 2 : Dim( E1 + E2 ) = Dim( E1 ) + Dim( E2 ) - Dim( E1 ∩ E2 ) = Dim( E )
donc Dim( E1 + E2 ) = Dim( E ) or E1 + E2 ⊂ E d'ou E1 + E2 = E
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Théorème 2 : D'existence du supplémentaire
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E
Alors il existe G un sous espace vectoriel de E tel que F ⊕ G = E
La dimension de G est appelé la codimension de F
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Démonstration : Th de la base incomplète
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Théorème 3 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie E1 et E2 deux sous espaces vectoriel de E
(e1 , e2 , ..... , en ) une base de E1 , (f1 , f2 , ..... , fm ) une base de E2 .
E1 et E2 sont en somme directe ⇔ (e1 , e2 , ..... , en , f1 , f2 , ..... , fm ) est libre .
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Corrolaire Soit E un espace vectoriel de dimension finie E1 et E2 deux sous espaces vectoriel de E
(e1 , e2 , ..... , en ) une base de E1 , (f1 , f2 , ..... , fm ) une base de E2 .
E1 ⊕ E2 = E ⇔ (e1 , e2 , ..... , en , f1 , f2 , ..... , fm ) est une base de E .
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4
Démonstration : du th ⇒ : λ1e1 + λ2e2 + ……+λnen + µ1f1 +µ2f2 +………+µmfm = 0E = 0E + 0E
⇓
λ1e1 + λ2e2 + ……+λnen = 0E et µ1f1 +µ2f2 +………+µmfm = 0E car la décomposition dans E1 + E2 est unique
⇐ : x ∈ E1 ∩E2 ⇒ x =λ1e1 + λ2e2 + ……+λnen = µ1f1 +µ2f2 +………+µmfm
⇒ λ1e1 + λ2e2 + ……+λnen – ( µ1f1 +µ2f2 +………+µmfm) = 0E
⇒ x = 0E .
_______________________________________________
Définition 1 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
La somme des Ei , notée E1 + E2 + …+ En ( ou
∑
=
n
1i
i
E ) = { x1 + x2 + … + xn te ∀ i∈ ’ 1,n ÷ xi ∈Ei }
Et donc x ∈
∑
=
n
1i
i
E ⇔ ∃ (xi)∈(E1x..xEn ) tel que x = x1 + x2 + …..+ xn
_______________________________________________
Définition 2 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
La somme des Ei ,est directe ⇔ ∀ x ∈
321
Notation
i
n
1i
E
=
⊕
, il existe un unique (xi)∈(E1x..xEn ) tel que x = x1 + x2 +..+ xn
. _______________________________________________
Théorème 4 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
La somme des Ei , est directe ⇔ [ ∀ (xi)∈(E1x..xEn ) x1 + x2 + …..+ xn = 0 ⇒ ∀ i∈ ’ 1,n ÷ xi =0E ].
_______________________________________________
Définition 2 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
E1 , E2 , …. , En sont supplémentaires dans E ⇔ EE
i
n
1i
=⊕
=
.
_______________________________________________
Théorème 3 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
(
)
i
n
i
2
i
1
i
e,.....,e,e une base de E
i
.
E
1
, E
2
, .. , E
n
sont en somme directe ⇔
(
)
n
n
n
2
n
1
1
n
1
2
1
1
n1
e,.....,e,e,....,e,.....,e,e est libre .
_______________________________________________

5
Corrolaire : ( Fondamental )
Soit E un espace vectoriel de dimension finie E
1
, E
2
, …. , E
n
des sev de E
E
1
, E
2
, …. , E
n
sont supplémentaire dans E .
ë
=
=
∑
∑
=
=
E E
Dim(E) )Dim(E
n
1i
i
n
1i
i
ë
=
∑
=
directe sommeen sont E , .. , E , E
Dim(E) )Dim(E
n21
n
1i
i
_______________________________________________
Corrolaire : Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E
1
, E
2
, …. , E
n
des sev de E
(
)
i
n
i
2
i
1
i
e,.....,e,e une base de E
i
.
E
1
, E
2
, …. , E
n
sont supplémentaires dans E ⇔
(
)
n
n
n
2
n
1
1
n
1
2
1
1
n1
e,.....,e,e,....,e,.....,e,e est une base de E .
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III ) Image d'une famille par une application linéaire :
Définition 1 : Soit u ∈ L ( E ,F) et ( x
1
, x
2
,....., x
n
) une famille d'éléments de E
On appelle famille image par u de la famille ( x
1
, x
2
,....., x
n
) la famille ( u(x
1
), u(x
2
) ,....., u(x
n
) )d'éléments de F.
_______________________________________________
Théorème 1 : Soit u ∈ L ( E ,F)
L'image par une application linéaire surjective d'une famille génératrice de E est génératrice de F .
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Démonstration : ∀ y ∈ F ∃ x ∈E tel que u(x) = y or x =
∑
=
λ
p
1
i
ii
e donc y =
λ
∑
=
p
1i
ii
eu =
∑
=
λ
p
1
i
ii
)e(u
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Théorème 2 : Soit u ∈ L ( E ,F)
L'image par une application linéaire injective d'une famille libre de E est libre .
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Démonstration : à faire
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Théorème 3 : Soit u ∈ L ( E ,F)
L'image par une application linéaire bijective d'une base de E est une base de F .
_______________________________________________
Théorème 4 : Soit u ∈ L ( E ,F)
L'image par une application linéaire d'une famille liée de E est liée .
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