DIMENSION FINIE

EV dimension finie
I ) Théorèmes généraux
Définition 1 :
Soit E un espace vectoriel .
E est dit de dimension finie , si E admet une famille génératrice
_______________________________________________
Théorème 1 :
Tous espace vectoriel de dimension finie admet une base
_______________________________________________
Démonstration : Soit A = { cardinaux d'une famille génératrice de E }
A ⊂ lN et A ≠ ∅ donc A admet un plus petit élément , soit p = inf (A )
Soit de (yj)j∈[1,p] une famille génératrice de E . Si (yj)j∈[1,p] est liée alors l'un de vecteurs est combinaison
linaires des autres ( par exemple yp ) E = Vect (y1 , y2 , ..... , yp ) = Vect (y1 , y2 , ..... , yp-1 ) il existerait une
famille génératrice ayant p-1 éléments ce qui est absurde . Donc (yj)j∈[1,p] est une base de E
_______________________________________________
Théorème 2 :
Soit de (xi)i∈[1,p] une famille libre d'éléments de E .
Soit de (yj)j∈[1,q] une famille génératrice de E .
alors p ≤ q .
_______________________________________________
Remarque : Donc le cardinal d'une famille libre est toujours plus petit que celui d'une famille génératrice .
_______________________________________________
Théorème 3 :
Définition 2 :
Soit de (xi)i∈[1,n] une base de E .
Soit de (yj)j∈[1,m] une base de E
alors n = m .
_______________________________________________
Soit E un espace vectoriel de dimension finie , toutes ses bases on donc le même cardinal
,ce cardinal est appelé la dimension de E noté Dim( E )
Par convention : Dim ( { 0E}) = 0 .
_______________________________________________
Remarque : Donc la dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une de ses bases .
_______________________________________________
L1 : Dim( lRn) = n donc Dim( lR ) = 1
L2 : Dim( lRn[X] ) = n +1 donc Dim( lR2[X] ) = 3
L3 : Dim(M n,p( lR )) = np donc Dim(M n( lR )) = n²
Vous généraliserez à
_______________________________________________
Lexique :
Théorème 4 :
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie alors ExF est de dimension finie .
et Dim( ExF ) = Dim( E ) + Dim ( F )
_______________________________________________
Remarque : ( Importante )
a ) Toute famille de cardinal strictement supérieur à la dimension de E est liée
b ) Toute famille génératrice de E a un cardinal supérieur à la dimension de E .
b ) Toute famille libre de E a un cardinal inférieur à la dimension de E .
_______________________________________________
Théorème 5 :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E
alors F est un espace vectoriel de dimension finie et Dim ( F ) ≤ Dim ( E )
_______________________________________________
1
Théorème 6 :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E
Dim ( F ) = Dim ( E ) ⇒ E = F
_______________________________________________
Lemme : Soit de (xi)i∈[1,p] une famille libre de E , avec p < Dim( E ) et y ∉ Vect (xi)i∈[1,p]
alors ( x1 , x2 ,....., xp , y ) est une famille libre .
_______________________________________________
Démonstration :
Si ( x1 , x2 ,....., xp , y ) est une famille liée alors l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autre .
p
1er cas : y =
∑ λ i x i ∈ Vect (x )
i i∈[1,p]
absurde
i =1
p
2éme cas : xj =
λ i x i + λy
∑
i =1
1er sous cas : λ = 0 alors (xi)i∈[1,p] est une famille liée : absurde
i≠ j


p


1
2éme sous cas : λ≠0 alors y =
xj −
λ i x i  ∈ Vect (xi)i∈[1,p] absurde


λ
i =1


i≠ j


_______________________________________________
∑
Théorème 7 :
de caractérisation des bases ( Fondamental )
a ) Toute famille libre de E , de cardinal égal à la dimension de E est une base de E .
b ) Toute famille génératrice de E , de cardinal égal à la dimension de E est une base de E .
_______________________________________________
Démonstration :
a ) Si ( x1 , x2 ,....., xn ) est une famille libre de E avec Dim ( E ) = n si E ≠ Vect (xi)i∈[1,n]
alors soit y ∉ Vect (xi)i∈[1,n] alors ( x1 , x2 ,....., xn , y ) est une famille libre ce qui est absurde
car elle a n+1 éléments
b ) Si ( x1 , x2 ,....., xn ) est une famille génératrice de E avec Dim ( E ) = n si (xi)i∈[1,n] est liée alors l'un des
vecteurs est combinaison linéaire des autre ( par exemple xn ) donc E = Vect (xi)i∈[1,n] = Vect (xi)i∈[1,n-1]
alors ( x1 , x2 ,....., xn-1 ) est une famille génératrice de E ce qui est absurde car elle a n - 1 éléments
_______________________________________________
Théorème 8 :
de la base incomplète
Soit de ( x1 , x2 ,....., xp ) une famille libre de E , avec p < Dim( E ) = n
( x1 , x2 ,....., xn ) soit une base de E .
alors il existe ( xp+1 , xp+2 ,....., xn ) tel que
_______________________________________________
Démonstration :
Si ( x1 , x2 ,....., xp ) est une famille libre de E avec Dim ( E ) = n > p donc E ≠ Vect (xi)i∈[1,p]
alors soit xp+1 ∉ Vect (xi)i∈[1,p] alors ( x1 , x2 ,....., xp , xp+1 ) est une famille libre de E etc …..
_______________________________________________
Théorème 9 :
Utilisation et TH :
Soit E et F deux espaces vectoriels tel que E soit de dimension finie et il existe un
isomorphisme de E dans F alors F est de dimension finie et Dim ( F ) = Dim ( E )
_______________________________________________
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie Dim ( E ) =p et Dim ( F ) = n
On montrera plus loin qu'il existe un isomorphisme de L ( E , F ) dans M n,p( lK) et donc
L ( E , F ) est de dimension finie et Dim (L ( E , F )) = Dim ( E ) x Dim ( F )
_______________________________________________
2
II ) Théorème de Grassmann :
Théorème 1 :
Théorème de Grassmann
Soit E un espace vectoriel de dimension finie E1 et E2 deux sous espaces vectoriel de E
alors Dim( E1 + E2 ) = Dim( E1 ) + Dim( E2 ) - Dim( E1 ∩ E2 )
_______________________________________________
Corrolaire :
( Fondamental )
Soit E un espace vectoriel de dimension finie E1 et E2 deux sous espaces vectoriel de E
E1 et E2 sont supplémentaire ( E1 ⊕ E2 = E )
ë
E 1 ∩ E 2 = 0 E
 E +E =E
 1
2
{ }
ë
E ∩ E2 = 0E

Dim(E ) 1+ dim(E
) = Dim(E)

1
2
{ }
ë
Dim(E1 ) + dim(E 2 ) = Dim(E)

E1 + E 2 = E

_______________________________________________
Démonstration : ⇓ n° 2 : Dim( E1 + E2 ) = Dim( E1 ) + Dim( E2 ) - Dim( E1 ∩ E2 ) = Dim( E )
donc Dim( E1 ) + Dim( E2 ) = Dim( E )
⇑ n° 2 : Dim( E1 + E2 ) = Dim( E1 ) + Dim( E2 ) - Dim( E1 ∩ E2 ) = Dim( E )
donc Dim( E1 + E2 ) = Dim( E ) or E1 + E2 ⊂ E d'ou E1 + E2 = E
_______________________________________________
Théorème 2 :
D'existence du supplémentaire
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E
Alors il existe G un sous espace vectoriel de E tel que F ⊕ G = E
La dimension de G est appelé la codimension de F
_______________________________________________
Démonstration : Th de la base incomplète
_______________________________________________
Théorème 3 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie E1 et E2 deux sous espaces vectoriel de E
(e1 , e2 , ..... , en ) une base de E1 , (f1 , f2 , ..... , fm ) une base de E2 .
E1 et E2 sont en somme directe ⇔ (e1 , e2 , ..... , en , f1 , f2 , ..... , fm ) est libre .
_______________________________________________
Corrolaire
Soit E un espace vectoriel de dimension finie E1 et E2 deux sous espaces vectoriel de E
(e1 , e2 , ..... , en ) une base de E1 , (f1 , f2 , ..... , fm ) une base de E2 .
E1 ⊕ E2 = E ⇔ (e1 , e2 , ..... , en , f1 , f2 , ..... , fm ) est une base de E .
_______________________________________________
3
Démonstration : du th ⇒ : λ1e1 + λ2e2 + ……+λnen + µ1f1 +µ2f2 +………+µmfm = 0E = 0E + 0E
⇓
λ1e1 + λ2e2 + ……+λnen = 0E et µ1f1 +µ2f2 +………+µmfm = 0E car la décomposition dans E1 + E2 est unique
⇐ : x ∈ E1 ∩E2 ⇒ x =λ1e1 + λ2e2 + ……+λnen = µ1f1 +µ2f2 +………+µmfm
⇒ λ1e1 + λ2e2 + ……+λnen – ( µ1f1 +µ2f2 +………+µmfm) = 0E
⇒ x = 0E .
_______________________________________________
Définition 1 :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
n
La somme des Ei , notée E1 + E2 + …+ En ( ou
∑E ) = { x + x + … + x
i
1
2
n
te ∀ i∈’1,n÷ xi ∈Ei }
i =1
n
Et donc x ∈
∑E
i ⇔ ∃ (xi)∈(E1x..xEn ) tel que
x = x1 + x2 + …..+ xn
i =1
_______________________________________________
Définition 2 :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
n
La somme des Ei ,est directe ⇔ ∀ x ∈ ⊕ E i , il existe un unique (xi)∈(E1x..xEn ) tel que x = x1 + x2 +..+ xn
i =1
123
Notation
.
_______________________________________________
Théorème 4 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
La somme des Ei , est directe ⇔ [ ∀ (xi)∈(E1x..xEn )
x1 + x2 + …..+ xn = 0 ⇒ ∀ i∈’1,n÷ xi =0E ].
_______________________________________________
Définition 2 :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
E1 , E2 , …. , En sont supplémentaires dans E ⇔
n
⊕ Ei = E .
i =1
_______________________________________________
Théorème 3 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
(e , e ,....., e )
i
1
i
2
i
ni
une base de Ei .
(
)
E1 , E2 , .. , En sont en somme directe ⇔ e11 , e12 ,....., e1n ,...., e1n , e n2 ,....., e nn est libre .
1
n
_______________________________________________
4
Corrolaire :
( Fondamental )
Soit E un espace vectoriel de dimension finie E1 , E2 , …. , En des sev de E
E1 , E2 , …. , En sont supplémentaire dans E .
ë
 n

Dim(E i ) = Dim(E)

 i =1

n

Ei = E


i =1
ë
∑
∑
n

Dim(Ei ) = Dim(E)


i =1

E1 , E 2 , .. , E n sont en somme directe
_______________________________________________
∑
Corrolaire :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie , E1 , E2 , …. , En des sev de E
(e , e ,....., e ) une base de E .
E , E , …. , E sont supplémentaires dans E ⇔ (e , e ,....., e ,...., e , e ,....., e ) est une base de E .
i
1
1
2
n
i
2
i
ni
i
1 1
1 2
1
n1
n
1
n
2
n
nn
_______________________________________________
III ) Image d'une famille par une application linéaire :
Définition 1 : Soit u ∈ L ( E ,F) et ( x1 , x2 ,....., xn ) une famille d'éléments de E
On appelle famille image par u de la famille ( x1 , x2 ,....., xn ) la famille ( u(x1 ), u(x2) ,....., u(xn) )d'éléments de F.
_______________________________________________
Théorème 1 : Soit u ∈ L ( E ,F)
L'image par une application linéaire surjective d'une famille génératrice de E est génératrice de F .
_______________________________________________
p
p
 p



Démonstration : ∀ y ∈ F ∃ x ∈E tel que u(x) = y or x =
λ i e i donc y = u 
λ i ei  =
λ i u (e i )


i =1
 i =1
 i =1
_______________________________________________
∑
∑
∑
Théorème 2 : Soit u ∈ L ( E ,F)
L'image par une application linéaire injective d'une famille libre de E est libre .
_______________________________________________
Démonstration : à faire
_______________________________________________
Théorème 3 : Soit u ∈ L ( E ,F)
L'image par une application linéaire bijective d'une base de E est une base de F .
_______________________________________________
Théorème 4 : Soit u ∈ L ( E ,F)
L'image par une application linéaire d'une famille liée de E est liée .
_______________________________________________
5
Théorème 5 : Soit u ∈ L ( E ,F)
L'image par une application linéaire d'une famille génératrice de E est génératrice de Im( u ) .
_______________________________________________
Corollaire : Soit u ∈ L ( E ,F)
(e1 , e2 , ..... , en ) une base de E
Im( u ) = Vect ( u(e1 ), u(e2) ,....., u(en) ) .
_______________________________________________
Théorème 6 : ( Fondamental ) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un espace vectoriel .
(e1 , e2 , ..... , en ) une base de E , (f1 , f2 , ..... , fn ) une famille quelconque de F .
Alors ∃! u ∈ L ( E ,F) tel que ∀i∈’1 , n ÷ u ( ei ) = fi .
_______________________________________________
Démonstration : à faire
_______________________________________________
Corollaire : Soit ( u , v ) ∈ L ( E ,F)²
(e1 , e2 , ..... , en ) une base de E
tel que ∀i∈’1 , n ÷ u ( ei ) = v( ei ) alors u = v
_______________________________________________
Corollaire : Soit u ∈ L ( E ,F)
(e1 , e2 , ..... , en ) une base de E
( u(e1 ), u(e2) ,....., u(en)) est génératrice de F ⇔ u est surjective
( u(e1 ), u(e2) ,....., u(en)) est libre ⇔ u est injective .
( u(e1 ), u(e2) ,....., u(en)) est une base de F ⇔ u est bijective .
_______________________________________________
IV ) Théorème du Rang :
Définition 1 : Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie
, u ∈ L ( E ,F)
le rang de u , notée Rang (u) = Dim( Im(u) )
_______________________________________________
Théorème 1 : : ( Fondamental , Fondamental , Fondamental)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un espace vectoriel u ∈ L ( E ,F)
On a alors Dim ( Ker ( u ) ) + Dim ( Im( u ) ) = Dim ( E )
cad
Dim ( Ker ( u ) ) + Rang ( u ) = Dim ( E )
_______________________________________________
~
Dem : Soit G un supplémentaire de Ker(u) dans E et u :
~
u est bien définie car ∀x
~
G → Im(u )
( restriction de u )
x → u (x )
u(x) ∈Im(u) , de plus :
~
x∈Ker( u ) ⇒ u (x) = u(x) = 0F
⇒ x∈Ker(u) et x ∈G
~
donc u est injective .
⇒ x = 0E
∀ y∈Im(u) ∃ x∈E tel que u(x) = y or ∃ (x1 , x2 ) ∈GxKer(u) tel que x = x1 + x2 ,
~
on a donc y = u( x1 + x2 ) = u( x1 ) +u( x2 ) = u( x1 ) donc u est surjective donc bijective .
On a donc Dim(G ) = Dim( Im(u))
et
Dim ( Ker ( u ) ) + Dim ( G ) = Dim ( E )
_______________________________________________
Corollaire :
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie , u ∈ L ( E ,F)
a)
Dim( Im( u )) ≤ Dim( F ) et
Dim( Im( u )) ≤ Dim( E )
b)
u injective ⇔ Dim( Im( u )) = Dim( E )
c)
u surjective ⇔ Dim( Im( u )) = Dim( F )
_______________________________________________
6
( Fondamental ) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L ( E ).
u est un automorphisme
ë
u est injective
ë
u est surjective
_______________________________________________
Démonstration : à faire
_______________________________________________
Théorème 2 :
Remarque : ( Important ) ce théorème est valable pour u ∈ L ( E ,F) si
Dim( E ) = Dim( F )
_______________________________________________
Définition 1 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie Dim( E ) = n
On appelle hyperplan de E tous sous espaces vectoriel de E de dimension ( n – 1)
_______________________________________________
Théorème 3 :
Soit u une forme linéaire sur E u ≠ 0
alors Ker( u ) est un hyperplan de E .
_______________________________________________
V ) Matrice d'une application linéaire :
Définition 1 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie B = (e1 , e2 , ..... , en ) une base de E
et F un espace vectoriel de dimension finie C = (f1 , f2 , ..... , fq ) une base de F .
u ∈ L ( E ,F)
On appelle matrice associée à u dans les bases B de départ et C d'arrivée notée M atC B (u) = [ ai j ] 1≤ i ≤ q
1≤ j ≤ n
p
tel que ∀ j ∈’ 1 , n ÷
u( ej ) =
∑ a i jf i
i =1
_______________________________________________
Remarque : ( Important ) 1 ) C'est la matrice des composantes des u( ej ) dans la base des fi .
2 ) Son nombre de colonnes est Dim(E) son nombre de lignes est Dim(F)
3 ) Dans M atC B (u) la première base écrite est la base d'arrivée
_______________________________________________
u (e1 ) u (e 2 ) ...... u (e n )
.
.  f1
 .
Méthode de construction : M atC B (u) =  .
.
.  f2

 M


.
.  fp
 .
_______________________________________________
Théorème 1 :
alors
Soit E un espace vectoriel de dimension finie B une base de E
et F un espace vectoriel de dimension finie C une base de F .
( u ,v ) ∈ L ( E ,F) ² λ ∈lK
M atC B (u + v) = M atC B (u) + M atC B (v)
M atC B ( λu ) = λM atC B (u)
_______________________________________________
7
Théorème 2 :
Soit E un espace vectoriel de dimension n B une base de E
et F un espace vectoriel de dimension p C une base de F .
Φ : L ( E , F ) → M p,n( lK )
u → M atC B (u) est un isomorphisme .
_______________________________________________
Conséquence : ( Important ) a )Pour démontrer que deux applications linéaires sont égales il suffira de démontrer que
leurs matrices sont égales.
_______________________________________________
Soit E un espace vectoriel de dimension n B une base de E
et F un espace vectoriel de dimension p C une base de F .
Rang(u ) = Rang( M atC B (u) ) .
_______________________________________________
lK p → lK n
 x1 
 x1 
 
 
x
x
Théorème et définition : ( fondamental ) Soit A ∈ M n,p( lK ) et u :  2 
alors u ∈L ( lKp , lKn )
→ A 2 
 M 
 M 
xp 
xp 
 
 
Théorème 2 :
B la base canonique de lKp et C la base canonique de lKn
u est appelée " application linéaire canoniquement associée à A " et M atC B (u) = A
_______________________________________________
Conséquence : ( Important ) a )Toute matrice est donc la matrice d'une AL connue .
_______________________________________________
Théorème 3 : ( fondamental ) Soit E un espace vectoriel B une base de E ,
F un espace vectoriel C une base de F et G un espace vectoriel D une base de G .
u∈ L ( E , F ) et v∈ L ( F , G )
alors M at.D B (v o u) = M atD C (v) M atC B (u)
_______________________________________________
Démonstration : Soit B = (e1 , e2 , ..... , en ) une base de E et C = (f1 , f2 , ..... , fp ) une base de F
et D = (g1 , g2 , ..... , gq ) une base de G .
M atD C (v) = [ ai k ] 1≤ i ≤ q et M atC B (u)= [ bk j ] 1≤ k ≤ p
1≤ k ≤ p
1≤ j≤ n
p
 q

 p
 p




∀j∈’1,n÷ vou( ej ) = v (u(ej )) = v 
b k jf k  =
b k j v (f k ) =
bk j
a i k gi 




k =1
 k =1
 k =1
 i =1

p  q
q
p







=
b
a
g
=
a
b
g


k j ik i 
ik k j i



k =1  i =1
 i =1  k =1

 p


Donc M at.D B (v o u) =
a i k b k j  1≤ i ≤ q = M atD C (v) M atC B (u)


 k =1
 1≤ j≤ n
∑
∑∑
∑
∑
∑
∑∑
∑
_______________________________________________
8
Exercice : Soit u :
lR2 [X] → lR2 [X]
C la base canonique de lR2[X] trouver M atC C ( u² + 2Id )
P → X²P' (0) + 2XP(0) − P(1)
_______________________________________________
Définition1 : ( fondamental )
Soit E un espace vectoriel de dimension finie B = (e1 , e2 , ..... , en ) une base de E , x∈E
 λ1 
p
λ 
λiei .
On appelle matrice colonne des composantes de x dans la base B noté [ x ]B =  2  tel que x =
 M 
i =1
λ n 
_______________________________________________
Théorème 4 :
Soit E un espace , B une base de E et F un espace vectoriel C une base de F , u∈ L ( E , F )
alors ∀x∈E
[ u(x)]C = M atC B (u) [x]B
_______________________________________________
∑
Exercice : Soit u :
lR2 [X] → lR2 [X]
P → X²P(1) + P − 2P'
C la base canonique de lR2[X]
a ) Montrer que u∈L (E) et trouver M atC C (u)
b ) Trouver l'image de 3X²-2X+1 , de 8X+2 , de X²-X par u .
c ) Trouver l'image de 3X²-2X+1 , de 8X+2 , de X²+2X –3 par u² .
_______________________________________________
Méthode ( utilisation du Th ) :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie B = (e1 , e2 , ..... , en ) une base de E
et F un espace vectoriel de dimension finie C = (f1 , f2 , ..... , fq ) une base de F .
u ∈ L ( E ,F)
0 
x∈Ker(u)
⇔
M atC B (u) [x]B =  M 
0
⇔ système d'équation linéaire dont les solutions sont les composantes des éléments du noyau
_______________________________________________
Exercice : Soit E un espace vectoriel de dimension 3 , ( e1 , e2 , e3 ) une base de E
Soit u : E → E tel que u( e1 ) = e1 + e2 , u( e2 ) = 2e1 + e2 – 3e3 et u( e3 ) = 4e1 + 3e2 – 3e3 .
Trouver Ker ( u )
_______________________________________________
Définition2 :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie ,B une base de E et u ∈ L ( E ).
On appelle matrice de u dans la base B , noté M atB (u) = M atB B (u) .
_______________________________________________
Théorème 5 :
Soit E un espace vectoriel de dimension n B une base de E
Φ : L ( E ) → M n( lK )
u → M atB (u) est un isomorphisme .
_______________________________________________
9
Théorème 6:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie ,B une base de E et u ∈ L ( E ).
u est bijective
ë
M atB (u) est inversible
ë
Rang(u) = Rang(M atB (u)) = Dim(E)
dans ce cas (M atB (u))-1 = M atB (u-1 )
_______________________________________________
Démonstration : à faire
_______________________________________________
Définition 3 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie B = (e1 , e2 , ..... , en ) une base de E
Soit C = (f1 , f2 , ..... , fp ) une famille quelconque de E
On appelle matrice de C dans la base B la matrice des composantes des vecteurs de C dans la base B
f1 f 2 ...... f p
Notée
.
.  e1


M atB ( C ) = .
.
.  e 2


 M


.
.  en
 .
_______________________________________________
Définition 4 :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie . Soit C = ( f1 , f2 , ..... , fp ) une famille quelconque de E
Rang ( C ) = Dim( Vect ( f1 , f2 , ..... , fp ) )
_______________________________________________
Théorème 1:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie B = (e1 , e2 , ..... , en ) une base de E
Soit C = (f1 , f2 , ..... , fp ) une famille quelconque de E
Rang ( C ) = Rang( M atB ( C ) ) .
_______________________________________________
10