Programme de colle de la semaine n˚4

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚4
Questions de cours
Question n˚ 1
D´efinition de eiθ , o`u θ∈R; relation fonctionnelle
pour les nombres eiθ , o`u θ∈R(´enonc´e, admise) ;
formule d’addition pour cosinus et sinus (´enonc´e et
preuve `a partir du r´esultat pr´ec´edent) ; transformation
d’un produit en somme de cosinus et sinus (´enonc´e
et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonction
f:R→R;x7→ sin(5x) sin(4x).
Question n˚ 2
Param´etrisation de U`a l’aide de cosinus et sinus
(´enonc´e) ; relation fonctionnelle pour les nombres eiθ ,
o`u θ∈R(´enonc´e, r´esultat admis) ; angle moiti´e i.e.
factorisation de 1 + eit et de 1 −eit, o`u t∈R(heuris-
tique g´eom´etrique pour le premier nombre, ´enonc´e et
preuve) ; r´esolution de l’´equation |1 + z|= 1, d’incon-
nue z∈U.
Question n˚ 3
D´efinition de la factorielle d’un entier naturel,
d´efinition des coefficients binomiaux, relation de
sym´etrie et relation de Pascal pour les coefficients
binomiaux (´enonc´e et preuve), formule du binˆome de
Newton (´enonc´e), calcul d’une primitive de la fonction
f:R→R;x7→ sin5(x).
Question n˚ 4
Formule de Moivre (´enonc´e et preuve par r´ecurrence) ;
valeur de
n
X
k=0
qk, o`u (n, q)∈N×C(´enonc´e et preuve) ;
calcul de
n
X
k=0
sin(kt),o`u (n, t)∈N×R.
Question n˚ 5
D´efinition d’une forme exponentielle d’un nombre com-
plexe non nul, d´efinition d’un argument d’un nombre
complexe non nul, cas d’´egalit´e de deux formes trigo-
nom´etriques (´enonc´e et preuve), propri´et´es des argu-
ments (´enonc´e et preuve), calcul de √3−i
i−1144
.
Chap. 1 −Nombres complexes et
trigonom´etrie
•Revˆetement du cercle unit´e par la droite r´eelle,
d´efinition du cosinus et du sinus d’un nombre
r´eel.
•Relation de Pythagore.
•D´efinition des fonctions cosinus et sinus et pro-
pri´et´es d’icelles (parit´e et p´eriodicit´e).
•Effets de quelques transformations affines sur co-
sinus et sinus (e.g. x7→ π
2−x).
•Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
•Cas d’´egalit´e de deux cosinus (resp. de deux si-
nus).
•D´efinition de l’ensemble Udes nombres com-
plexes de module 1.
•Propri´et´es alg´ebriques des nombres complexes de
module 1.
•Param´etrisation de U`a l’aide de cosinus et sinus.
•D´efinition des nombres eiθ , avec θ∈R.
•Cas d’´egalit´e de deux nombres de la forme eiθ
(θ∈R).
•Propri´et´es ´el´ementaires des nombres eiθ (θ∈R).
•´ Equation fonctionnelle v´erifi´ee par les nombres
eiθ (θ∈R).
•Formules d’Euler.
•Formules d’addition pour cosinus et sinus, for-
mules de duplication pour cosinus et sinus.
•Transformation d’un produit en somme pour co-
sinus et sinus.
•Angle moiti´e : pour tout t∈R, on a 1 + eit =
2 cos( t
2)eit
2et 1 −eit =−2isin( t
2)eit
2.
•Transformation d’une somme en produit de cosi-
nus et sinus.
•D´efinition de la fonction tangente, plusieurs
´ecritures du domaine de d´efinition de la fonction
tangente.
•Valeurs remarquables de la fonction tangente.
•La fonction tangente est impaire et π-p´eriodique.
•Formule d’addition pour tangente.
•D´efinition de la factorielle d’un entier naturel,
relation de r´ecurrence pour les factorielles.
•D´efinition des coefficients binomiaux (`a l’aide
des factorielles), propri´et´es des coefficients bino-
miaux (e.g. relation de sym´etrie et relation de
Pascal).
•Triangle de Pascal.
•Formule du binˆome de Newton.
•Exemples de lin´earisations de polynˆomes en
cos(θ), sin(θ), o`u θ∈R.
•Formule de Moivre.
•Valeur de
n
X
k=0
qk, o`u (n, q)∈N×C.
•Exemples de calculs de sommes trigo-
nom´etriques.
•D´efinition d’une forme exponentielle d’un
nombre complexe non nul.
•Une m´ethode pour rechercher une forme expo-
nentielle d’un nombre complexe non nul.
•D´efinition d’un argument d’un nombre complexe
non nul, d´efaut d’unicit´e d’un argument d’un
nombre complexe non nul.
•D´efinition du symbole arg(z), o`u z∈C∗.
•Utilisation du symbole arg(z) (z∈C∗) et rela-
tion de congruence modulo 2πsur R.
•Cas d’´egalit´e de deux formes trigonom´etriques.
•Propri´et´es des arguments.