Programme de colle de la semaine n˚3

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚3
Questions de cours
Question n˚ 1
Pour tout z∈C,Re(z)≤ |z|(preuve) ; pour tout
z∈C,|1 + z| ≤ 1 + |z|(preuve) ; in´egalit´es trian-
gulaires (´enonc´e) ; cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e ≪de
droite ≫(´enonc´e). Si Mest un point du plan situ´e sur
le cercle de centre Ω(3 −4i) et de rayon 1, montrer que
OM ≤6.
Question n˚ 2
Pr´esentation du revˆetement ρdu cercle unit´e par la
droite r´eelle ; d´efinition de cos(x) et sin(x) pour x∈R;
expression de cos( π
2−x) et sin( π 2−x) en fonction
de cos(x) et sin(x) pour x∈R, valeurs de cos(π
3) et
sin(π
3) (´enonc´e et preuve), cas d’´egalit´e de deux cosinus
(´enonc´e et explication graphique) ; r´esoudre l’´equation
cos(2x) = −1
2
d’inconnue x∈]−π, π].
Question n˚ 3
D´efinition de eiθ , o`u θ∈R; relation fonctionnelle pour
les nombres eiθ , o`u θ∈R(´enonc´e, admise) ; formule
d’addition pour cosinus et sinus (´enonc´e et preuve `a
partir du r´esultat pr´ec´edent) ; transformation d’un pro-
duit en somme de cosinus et sinus (´enonc´e et preuve) ;
calcul d’une primitive de la fonction
f:R→R;x7→ sin(5x) sin(4x).
Question n˚ 4
Param´etrisation de U`a l’aide de cosinus et sinus
(´enonc´e) ; relation fonctionnelle pour les nombres eiθ ,
o`u θ∈R(´enonc´e, admise) ; angle moiti´e i.e. facto-
risation de 1 + eit et de 1 −eit, o`u t∈R(heuris-
tique g´eom´etrique pour le premier nombre, ´enonc´e et
preuve) ; r´esolution de l’´equation
|1 + z|= 1
d’inconnue z∈U.
Chap. 1 −Nombres complexes et
trigonom´etrie
•D´efinition de la conjugaison complexe et in-
terpr´etation g´eom´etrique.
•Retrouver la partie r´eelle (resp. imaginaire) `a
partir du conjugu´e.
•Caract´erisation des r´eels via la conjugaison com-
plexe.
•Caract´erisation des imaginaires purs via la conju-
gaison complexe.
•Affixe d’un vecteur, d’un bipoint, vecteur ayant
pour affixe un nombre complexe donn´e.
•D´efinition du module d’un nombre complexe et
interpr´etation g´eom´etrique.
•´ Equation complexe d’un cercle.
•´ Equation complexe d’un disque (ferm´e).
•Pour tout z∈C,|z|2=z z.
•Propri´et´es alg´ebriques du module.
•In´egalit´e triangulaire et cas d’´egalit´e.
•Propri´et´e de s´eparation du module.
•D´efinition du cercle unit´e, d´efinition du nombre
π.
•Revˆetement du cercle unit´e par la droite r´eelle,
d´efinition du cosinus et du sinus d’un nombre
r´eel.
•Relation de Pythagore.
•D´efinition des fonctions cosinus et sinus et pro-
pri´et´es d’icelles (parit´e et p´eriodicit´e).
•Effets de quelques transformations affines sur co-
sinus et sinus (e.g. x7→ π
2−x).
•Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
•Cas d’´egalit´e de deux cosinus (resp. de deux si-
nus).
•Exemples de r´esolutions d’´equations et
d’in´equations trigonom´etriques.
•D´efinition de l’ensemble Udes nombres com-
plexes de module 1.
•Propri´et´es alg´ebriques des nombres complexes de
module 1.
•Param´etrisation de U`a l’aide de cosinus et sinus.
•D´efinition des nombres eiθ , avec θ∈R.
•Cas d’´egalit´e de deux nombres de la forme eiθ
(θ∈R).
•Propri´et´es ´el´ementaires des nombres eiθ (θ∈R).
•´ Equation fonctionnelle v´erifi´ee par les nombres
eiθ (θ∈R).
•Formules d’Euler.
•Formules d’addition pour cosinus et sinus.
•Formules de duplication pour cosinus et sinus.
•Transformation d’un produit en somme pour co-
sinus et sinus.
•Angle moiti´e : pour tout t∈R, on a 1 + eit =
2 cos( t
2)eit
2et 1 −eit =−2isin( t
2)eit
2.
•Transformation d’une somme en produit de cosi-
nus et sinus.
•D´efinition de la fonction tangente.
•Plusieurs ´ecritures du domaine de d´efinition de
la fonction tangente.
•Valeurs remarquables de la fonction tangente.
•La fonction tangente est impaire et π-p´eriodique.
•Formule d’addition pour tangente.