Lycée Benjamin Franklin D. Blottière PTSI − 2013-2014 Mathématiques Programme de colle de la semaine n˚3 Questions de cours Question n˚ 1 Pour tout z ∈ C, Re(z) ≤ |z| (preuve) ; pour tout z ∈ C, |1 + z| ≤ 1 + |z| (preuve) ; inégalités triangulaires (énoncé) ; cas d’égalité dans l’inégalité ≪ de droite ≫ (énoncé). Si M est un point du plan situé sur le cercle de centre Ω(3 − 4i) et de rayon 1, montrer que OM ≤ 6. Question n˚ 2 Présentation du revêtement ρ du cercle unité par la droite réelle ; définition de cos(x) et sin(x) pour x ∈ R ; expression de cos( π2 − x) et sin( π2 − x) en fonction de cos(x) et sin(x) pour x ∈ R, valeurs de cos( π3 ) et sin( π3 ) (énoncé et preuve), cas d’égalité de deux cosinus (énoncé et explication graphique) ; résoudre l’équation cos(2x) = − 1 2 d’inconnue x ∈ ] − π, π]. Question n˚ 3 Définition de eiθ , où θ ∈ R ; relation fonctionnelle pour les nombres eiθ , où θ ∈ R (énoncé, admise) ; formule d’addition pour cosinus et sinus (énoncé et preuve à partir du résultat précédent) ; transformation d’un produit en somme de cosinus et sinus (énoncé et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonction f : R → R ; x 7→ sin(5x) sin(4x). Question n˚ 4 Paramétrisation de U à l’aide de cosinus et sinus (énoncé) ; relation fonctionnelle pour les nombres eiθ , où θ ∈ R (énoncé, admise) ; angle moitié i.e. factorisation de 1 + eit et de 1 − eit , où t ∈ R (heuristique géométrique pour le premier nombre, énoncé et preuve) ; résolution de l’équation |1 + z| = 1 d’inconnue z ∈ U. Chap. 1 − Nombres complexes et trigonométrie • Définition de la conjugaison complexe et interprétation géométrique. • Retrouver la partie réelle (resp. imaginaire) à partir du conjugué. • Caractérisation des réels via la conjugaison complexe. • Caractérisation des imaginaires purs via la conjugaison complexe. • Affixe d’un vecteur, d’un bipoint, vecteur ayant pour affixe un nombre complexe donné. • Définition du module d’un nombre complexe et interprétation géométrique. • Équation complexe d’un cercle. • Équation complexe d’un disque (fermé). • Pour tout z ∈ C, |z|2 = z z. • Propriétés algébriques du module. • Inégalité triangulaire et cas d’égalité. • Propriété de séparation du module. • Définition du cercle unité, définition du nombre π. • Revêtement du cercle unité par la droite réelle, définition du cosinus et du sinus d’un nombre réel. • Relation de Pythagore. • Définition des fonctions cosinus et sinus et propriétés d’icelles (parité et périodicité). • Effets de quelques transformations affines sur cosinus et sinus (e.g. x 7→ π2 − x). • Valeurs remarquables de cosinus et sinus. • Cas d’égalité de deux cosinus (resp. de deux sinus). • Exemples de résolutions d’équations et d’inéquations trigonométriques. • Définition de l’ensemble U des nombres complexes de module 1. • Propriétés algébriques des nombres complexes de module 1. • Paramétrisation de U à l’aide de cosinus et sinus. • Définition des nombres eiθ , avec θ ∈ R. • Cas d’égalité de deux nombres de la forme eiθ (θ ∈ R). • Propriétés élémentaires des nombres eiθ (θ ∈ R). • Équation fonctionnelle vérifiée par les nombres eiθ (θ ∈ R). • Formules d’Euler. • Formules d’addition pour cosinus et sinus. • Formules de duplication pour cosinus et sinus. • Transformation d’un produit en somme pour cosinus et sinus. • Angle moitié : pour tout t ∈ R, on a 1 + eit = t t 2 cos( 2t )ei 2 et 1 − eit = −2i sin( 2t )ei 2 . • Transformation d’une somme en produit de cosinus et sinus. • Définition de la fonction tangente. • Plusieurs écritures du domaine de définition de la fonction tangente. • Valeurs remarquables de la fonction tangente. • La fonction tangente est impaire et π-périodique. • Formule d’addition pour tangente.