Trigonométrie - seine-et

Trigonom´etrie
Webmestre@Seine-et-maths
2016-2017
1 Cosinus, sinus et tangente
D´efinition 1.1 ♥Dans un triangle rectangle,
*le cosinus d’un angle aigu est ´egal au quotient de la longueur du cˆot´e adjacent `a cet
angle par la longueur de l’hypot´enuse ;
*le sinus d’un angle aigu est ´egal au quotient de la longueur du cˆot´e oppos´e `a cet angle
par la longueur de l’hypot´enuse ;
*la tangente d’un angle aigu est ´egale au quotient de la longueur du cˆot´e oppos´e `a cet
angle par la longueur du cˆot´e adjacent `a cet angle.
[Moyen mn´emotechnique : SOHCAHTOA, ou encore CAHSOHTOA...]
Le cosinus, le sinus et la tangente d’angles aigus sont des outils qui permettent de cal-
culer des mesures d’angles et des longueurs de segments.
Exemple : Dans un triangle ABC rectangle en A:
*Cos
÷
ABC =AB
BC ;
*Sin
÷
ABC =AC
BC ;
*Tan
÷
ABC =AC
AB .
Propri´et´e 1.1 Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0et
1.
1

3 VALEURS USUELLES
Preuve : d’une part, le cosinus et le sinus sont positifs car quotients de deux nombres
positifs (deux longueurs) ;
d’autre part, l’hypot´enuse est le plus grand cˆot´e du triangle rectangle. Or le quotient
d’un nombre positif par un nombre plus grand que lui est toujours plus petit que 1 ;
finalement, le cosinus et le sinus sont bien tous deux compris entre 0 et 1.
2 Propri´et´es
Propri´et´e 2.1 Si deux angles sont compl´ementaires, le sinus de l’un est ´egal au cosinus
de l’autre.
Propri´et´e 2.2 Quelle que soit la mesure xd’un angle aigu, on a :
*tanx =sinx
cosx ;
*(sinx)2+ (cosx)2= 1.
Preuve : DM.
3 Valeurs usuelles
Les cosinus, sinus et tangente de certains angles sont fr´equemment utiles, c’est pourquoi
il faut les connaˆıtre. Les voici :
30◦45◦60◦
Cosinus √3
2
√2
2
1
2
Sinus 1
2
√2
2
√3
2
Tangente √3
31√3
c
SeineEtMaths 2 2016-2017