Contrôle de statistiques Sujet 2 – Corrigé

Contrôle de statistiques
Sujet 2 – Corrigé
L2 d’économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne
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Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones
portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées
et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions. L’énoncé doit impérativement être rendu
avec la copie.
Exercice 1 (6 points)
On propose à Lee de jouer à un nouveau jeu de hasard. Dans ce jeu, il lance 3 fois un dé non-pipé à 6
faces.
S’il obtient un nombre pair, Lee gagne 2e, alors que s’il obtient un nombre impair, il perd 1e. Soit X
la variable aléatoire donnant la valeur du gain total de Lee à la fin du jeu.
Question 1 Donner l’univers Ω de l’expérience aléatoire.
On a Ω = {(d1 ,d2 ,d3 ), avec di ∈{1,2,3,4,5,6}}. Le cardinal de Ω est 63 .
Question 2 Donner la loi de X.
X peut prendre 4 valeurs :
— −3 les 3 dés sont impairs.
— 0 si un dé est pair et les deux autres sont impairs.
— 3 si 2 dés sont pairs et un est impair.
— 6 si les 3 dés sont pairs.
On a donc X(Ω) = {−3,0,3,6}.
La loi des tirages est une loi uniforme, la probabilité d’un événement est P(ω) =
d’obtenir :
— Un dé pair est P(d = pair) =
1
.
63
La probabilité
1
2
— Une dé impair est P (d = impair) =
1
2
La loi de X est :
3
P(X = −3) =
1
2
=
1
8
2
1
1
3
=
2
2
8
2
1
1
3
P(X = 3) = A23 ×
× =
2
2
8
3
1
1
P(X = 6) =
=
2
8
P(X = 0) =
A13
×
×
A13 est A23 correspondent au nombre possible d’ordre pour le dé pair.
Question 3 Donner l’espérance de X.
Page 1 sur 5
E(X) = −3 × P(X = −3) + 0 × P(X = 0) + 3 × P(X = 3) + 6P(X = 6)
1
3
3
1
= −3 × + 0 × + 3 × + 6 ×
8
8
8
8
−3 + 9 + 6
=
8
3
= = 1,5
2
L’espérance de gain dans ce jeu est de 1,5e.
Question 4 Donner la fonction de répartition de X, que l’on notera FX .
La fonction de répartition FX est donnée par FX (t) = P(X ≤ t), ∀t ∈ R. On obtient donc :

P(X ≤ t)





 P(X = −3)
=0
= 81
1
P(X = −3) + P(X = 0)
= 3+1
FX (t) =
8 = 2



P(X = −3) + P(X = 0) + P(X = 3)
= 1+3+3
=

8


P(X = −3) + P(X = 0) + P(X = 3) + P(X = 6) = 1
7
8
si
si
si
si
si
t < −3
−3≤t<0
0≤t<3
3≤t<6
t≥6
Exercice 2 (10 points)
Zahra est fleuriste, sa spécialité est la vente de bouquets de roses. Soit R la variable aléatoire représentant
le nombre de roses par bouquet. On suppose que R(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5}. La loi de R est donnée par le
tableau suivant :
r
P(R = r)
1
a
2
b
3
0,3
4
0,2
5
0,1
Question 1 Que doivent vérifier les variables a et b pour que P soit une loi de probabilité ?
Pour que P soit une probabilité, il faut que la probabilité de l’univers soit égale à 1, soit :
1 = P(R = 1) + P(R = 2) + P(R = 3) + P(R = 4) + P(R = 5)
⇔ 1 = a + b + 0,3 + 0,2 + 0,1
⇔ 0,4 = a + b
(1)
Par ailleurs, chaque probabilité doit être positive, on a donc a ≥ 0 et b ≥ 0.
Question 2 Les bouquets que Zahra vend comptent en moyenne 2,7 roses. Quelles sont les valeurs de
a et b correspondantes ?
Les bouquets vendus par Zahra comptent en moyenne 2,7 roses, cela nous donne une condition sur
l’espérance de la variable aléatoire R. On calcule donc cette espérance et on l’égalise à 2,7 :
2,7 = E(R)
⇔ 2,7 = 1 × P(R = 1) + 2 × P(R = 2) + 3 × P(R = 3) + 4 × P(R = 4) + 5 × P(R = 5)
⇔ 2,7 = 1 × a + 2 × b + 3 × 0,3 + 4 × 0,2 + 5 × 0,1
⇔ 2,7 = a + 2b + 0,9 + 0,8 + 0,5
⇔ 0,5 = a + 2b
(2)
Les conditions 1 et 2 nous donne un système que doivent vérifier a et b :
0,5 = a + 2b
0,4 = a + b
⇔
b = 0,1
a = 0,3
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Question 3 Calculer la variance de cette variable aléatoire.
On a V (R) = E(R2 ) − E(R)2 . On connaît déjà E(R) = 2,7, on peut donc calculer son carré : 7,29 (en
utilisant des fractions). Il reste à calculer E(R2 ) :
E(R2 ) = 12 × P(R = 1) + 22 × P(R = 2) + 32 × P(R = 3) + 42 × P(R = 4) + 52 × P(R = 5)
= 1 × 0,3 + 4 × 0,1 + 9 × 0,3 + 16 × 0,2 + 25 × 0,1
= 0,3 + 0,4 + 2,7 + 3,6 + 2,5
= 9,1
On obtient alors V (C) = 9,1 − 7,29 = 1,81. La variance de cette variable aléatoire est de 1,81.
Zahra vend ses bouquets aux prix suivants :
Nombre de rose
Prix du bouquet
1
2
2
4
3
5,5
4
7
5
8
Question 4 Sachant que chaque rose coûte 1e à Zahra, donner la variable aléatoire des gains de
Zahra, que l’on notera G. Donner la loi de G.
Les gains de Zahra en fonction de nombre de roses dans le bouquet sont les suivants :
— 1 rose : 2 − 1 = 1e
— 2 roses : 4 − 2 = 2e
— 3 roses : 5,5 − 3 = 2,5e
— 4 roses : 7 − 4 = 3e
— 5 roses : 8 − 5 = 3e
On a donc G(Ω) = {1; 2; 2,5; 3}. La loi des gains G est données par :
P(G = 1) = P(R = 1) = 0,3
P(G = 2) = P(R = 2) = 0,1
P(G = 2,5) = P(R = 3) = 0,3
P(G = 3) = P(R = 4) + P(R = 5) = 0,3
Question 5 Combien Zahra gagne-t-elle par bouquet en moyenne ?
On calcule l’espérance des gains de Zahra, soit l’espérance de G :
E(G) = 1 × P(G = 1) + 2 × P(G = 2) + 2,5 × P(G = 2,5) + 3 × P(G = 3)
= 1 × 0,3 + 2 × 0,1 + 2,5 × 0,3 + 3 × 0,3
= 0,3 + 0,2 + 0,75 + 0,9
= 2,15
Zahra gagne en moyenne 2,15e par bouquet vendu.
Zahra peut acheter des bouquets tout fait avec un nombre pair de roses, qui lui reviennent moins cher :
le bouquet à 2 roses lui coûte 1,5e et le bouquet à 4 roses, 3e.
Question 6 Quels sont les nouveaux gains moyens de Zahra ?
Notons H la variable aléatoire représentant les gains de Zahra dans ce nouveaux cas. Les gains de
Zahra en fonction de nombre de roses dans le bouquet sont les suivants :
— 1 rose : 2 − 1 = 1e
— 2 roses : 4 − 1,5 = 2,5e
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— 3 roses : 5,5 − 3 = 2,5e
— 4 roses : 7 − 3 = 4e
— 5 roses : 8 − 5 = 3e
On a donc G(Ω) = {1; 2,5; 3; 4}. La loi des gains H est données par :
P(H = 1) = P(R = 1) = 0,3
P(H = 2,5) = P(R = 2) + P(R = 3) = 0,4
P(H = 3) = P(R = 5) = 0,1P(H = 4)
= P(R = 4) = 0,2
On calcule l’espérance des gains de Zahra, soit l’espérance de H :
E(H) = 1 × P(H = 1) + 2,5 × P(H = 2,5) + 3 × P(H = 3) + 4 × P(H = 4)
= 1 × 0,3 + 2,5 × 0,4 + 3 × 0,1 + 4 × 0,2
= 0,3 + 1 + 0,3 + 0,8
= 2,4
Zahra gagne en moyenne 2,4e par bouquet vendu, soit 25 centimes de plus.
Exercice 3 (14 points)
Une administration cherche à évaluer sa performance dans le traitement des dossiers. Chaque jour
l’administration traite un dossier. On note p la probabilité que l’administration perde un dossier chaque
jour sachant que la perte d’un dossier au jour k est indépendante d’une perte de dossier au jour k + 1.
On note p la probabilité que l’administration perde un dossier chaque jour. De même, on note X la
variable aléatoire « le nombre de dossiers perdus par l’administration sur 30 jours ».
Question 1 Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
La rupture de stock suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Les jours sont indépendants les uns des
autres. Dans le cas présent, il s’agit donc d’une répétition sur 50 jours d’une expérience de Bernoulli
avec indépendance. Donc notre variable va suivre une loi Binomiale de paramètres p et n.
Donc : X ∼ B(30, p) avec P(X = k) = Cnk · pk · (1 − p)n−k , pour tout k ∈ N.
Question 2 Donner la probabilité que l’administration perde 3 dossiers.
P(X = k) = Cnk .pk .(1 − p)n−k où k = 3 :
3
P(X = 3) = C30
· p3 · (1 − p)27
Question 3 Donner l’espérance et la variance de X.
E(X) = np = 30p
V (X) = np(1 − p) = 30p(1 − p)
Un dossier traité en temps normal coûte 100 e à l’administration. En cas de perte d’un dossier, le
coût de la journée est majoré de 25 e, l’administration va devoir mobiliser d’avantage de personnels
pour remettre en ordre le dossier. Le président du conseil départemental nouvellement élu propose
d’embaucher une personne de plus spécialement chargée d’archiver les dossiers et ainsi faire disparaître
le problème de perte de dossiers. L’embauche de cette personne entraînerait une majoration de 10 e
du coût du traitement habituel des dossiers.
Page 4 sur 5
Question 4 Donner Y (Ω) et la loi de Y (dans sa formulation générale, i.e, sans explicitation numérique).
Y pourra être exprimé en fonction de X.
Ici, Y = 30 × 100 + 25X ; donc Y (Ω) = {3000 + 25i, avec i ∈ {0 . . . 30}}.
y − 3000
Avec P(Y = y) = P(X = x) avec x =
. Alors :
25
y−3000
P(Y = y) = C30 25
·p
y−3000
25
· (1 − p)30−
y−3000
25
Question 5 A partir de quel niveau p sera t-il préférable d’embaucher une personne de plus ?
En embauchant une personne supplémentaire, le coût de 30 jours sera de 110 × 30 = 3300.
Le coût moyen sans assurance est de E(Y ) = 3000 + 25 × E(X) = 3000 + 25p × 30 (par linéarité de
l’espérance).
Il sera préférable de s’assurer si 3300 ≤ 3000 + 25 × p × 30. Donc :
300 ≤ 750p ⇔
2
≤p
5
Il faut que la probabilité que les dossiers se perdent soit supérieure à 40% pour qu’il soit intéressant
d’embaucher une personne supplémentaire.
Une autre administration traite 100 000 affaires par an avec un taux de perte de 1 pour 10 000. En
utilisant une approximation poissonnienne (en justifiant son utilisation) :
Question 6 Déterminez la probabilité que le nombre de dossiers perdus soit égal à 3.
1
Dans cette situation, comme n = 100000 est grand et p = 10000
est petit, on peut approximer la
variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(100000, 1/10000) par une loi de poisson de paramètre
λ = n × p = 10.
Donc (cf table pour la valeur numérique) :
P(X = 3) = e−10 ·
103
3!
' 0,008
La probabilité d’avoir exactement 4 produits défectueux est d’environ 1%.
Question 7 Déterminez la probabilité que le nombre de dossiers perdus soit au moins égal à 4.
P(X ≥ 4) = 1 − P(X < 4)
= 1 − P(X = 3) − P(X = 2) − P(X = 1) − P(X = 0)
500
= 1 − exp(−10) 1 + 10 + 50 +
3
500
= 1 − 61 +
exp(−10)
3
' 0,99
La probabilité d’avoir quatre produits défectueux ou plus est de 99%.
Question 8 Quelle est l’espérance et la variance de cette variable ?
D’après la formule pour une loi de Poisson :
E(X) = V (X) = λ = 10
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