Contrôle de statistiques Sujet 1 – Corrigé L2 d’économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Nom : Prénom : Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions. L’énoncé doit impérativement être rendu avec la copie. Exercice 1 (6 points) On propose à Lee de jouer à un nouveau jeu de hasard. Dans ce jeu, il lance 3 fois un dé non-pipé à 6 faces. S’il obtient 6, Lee gagne 3e. Dans tous les autres cas, Lee perd 1e. Soit X la variable aléatoire donnant la valeur du gain total de Lee à la fin du jeu. Question 1 Donner l’univers Ω de l’expérience aléatoire. On a Ω = {(d1 ,d2 ,d3 ), avec di ∈{1,2,3,4,5,6}}. Le cardinal de Ω est 63 . Question 2 Donner la loi de X. X peut prendre 4 valeurs : — −3 si aucun des 3 dés ne donnent un 6. — 1 si un des dés donne un 6 et les deux autres autre chose qu’un 6. — 5 si 2 dés donnent un 6, et le dernier une valeur qui n’est pas 6 — 9 si les 3 dés donnent un 6. La loi des tirages est une loi uniforme, la probabilité d’un événement est P(ω) = d’obtenir : — Un 6 est P(d = 6) = 61 — Une autre valeur est P d = {6} = La loi de X est : 1 . 63 La probabilité 5 6 3 P(X = −3) = 5 6 = 125 216 2 5 × 6 2 1 × P(X = 5) = A23 × 6 3 1 1 P(X = 9) = = 6 216 P(X = 1) = A13 × 1 75 = 6 216 5 15 = 6 216 A13 est A23 correspondent au nombre possible d’ordre pour le dé arborant un 6. Question 3 Donner l’espérance de X. E(X) = −3 × P(X = −3) + 1 × P(X = 1) + 5 × P(X = 5) + 9P(X = 9) 125 75 15 1 = −3 × +1× +5× +9× 216 216 216 216 −375 + 75 + 75 + 9 = 216 = −1 Page 1 sur 5 L’espérance de gain de ce jeu est de -1e. Question 4 Donner la fonction de répartition de X, que l’on notera FX . La fonction de répartition FX est donnée par FX (t) = P(X ≤ t), ∀t ∈ R. On obtient donc : P(X ≤ t) P(X = −3) =0 125 = 216 200 P(X = −3) + P(X = 1) = 125+75 FX (t) = 216 = 216 125+75+75 P(X = −3) + P(X = 1) + P(X = 5) = = 215 216 216 P(X = −3) + P(X = 1) + P(X = 5) + P(X = 9) = 1 si si si si si t < −3 −3≤t<1 1≤t<5 5≤t<9 t≥9 Exercice 2 (10 points) Zahra est fleuriste, sa spécialité est la vente de bouquets de roses. Soit R la variable aléatoire représentant le nombre de roses par bouquet. On suppose que R(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5}. La loi de R est donnée par le tableau suivant : r P(R = r) 1 0,4 2 0,1 3 a 4 b 5 0,1 Question 1 Que doivent vérifier les variables a et b pour que P soit une loi de probabilité ? Pour que P soit une probabilité, il faut que la probabilité de l’univers soit égale à 1, soit : 1 = P(R = 1) + P(R = 2) + P(R = 3) + P(R = 4) + P(R = 5) ⇔ 1 = 0,4 + 0,1 + a + b + 0,1 ⇔ 0,4 = a + b (1) Par ailleurs, chaque probabilité doit être positive, on a donc a ≥ 0 et b ≥ 0. Question 2 Les bouquets que Zahra vend comptent en moyenne 2,4 roses. Quelles sont les valeurs de a et b correspondantes ? Si les bouquets que vend Zahra sont constitués en moyenne de 2,4 roses, cela nous donne une condition sur l’espérance de la variable aléatoire R. On calcule donc cette espérance et on l’égalise à 2,4 : 2,4 = E(R) ⇔ 2,4 = 1 × P(R = 1) + 2 × P(R = 2) + 3 × P(R = 3) + 4 × P(R = 4) + 5 × P(R = 5) ⇔ 2,4 = 1 × 0,4 + 2 × 0,1 + 3 × a + 4 × b + 5 × 0,1 ⇔ 2,4 = 0,4 + 0,2 + 0,5 + 3a + 4b ⇔ 1,3 = 3a + 4b (2) Les conditions 1 et 2 nous donne un système que doivent vérifier a et b : 1,3 = 3a + 4b ⇔ 0,4 = a + b b = 0,1 a = 0,3 Question 3 Calculer la variance de cette variable aléatoire. On a V (R) = E(R2 ) − E(R)2 . On connaît déjà E(R) = 2,4, on peut donc calculer son carré : 5,76 (en utilisant des fractions). Il reste à calculer E(R2 ) : E(R2 ) = 12 × P(R = 1) + 22 × P(R = 2) + 32 × P(R = 3) + 42 × P(R = 4) + 52 × P(R = 5) = 1 × 0,4 + 4 × 0,1 + 9 × 0,3 + 16 × 0,1 + 25 × 0,1 = 0,4 + 0,4 + 2,7 + 1,6 + 2,5 = 7,6 Page 2 sur 5 On obtient alors V (C) = 7,6 − 5,76 = 1,84. La variance de cette variable aléatoire est de 1,84. Zahra vend ses bouquets aux prix suivants : Nombre de rose Prix du bouquet 1 2 2 4 3 5,5 4 7 5 8 Question 4 Sachant que chaque rose coûte 1e à Zahra, donner la variable aléatoire des gains de Zahra, que l’on notera G. Donner la loi de G. Les gains de Zahra en fonction de nombre de roses dans le bouquet sont les suivants : — 1 rose : 2 − 1 = 1e — 2 roses : 4 − 2 = 2e — 3 roses : 5,5 − 3 = 2,5e — 4 roses : 7 − 4 = 3e — 5 roses : 8 − 5 = 3e On a donc G(Ω) = {1; 2; 2,5; 3}. La loi des gains G est données par : P(G = 1) = P(R = 1) = 0,4 P(G = 2) = P(R = 2) = 0,1 P(G = 2,5) = P(R = 3) = 0,3 P(G = 3) = P(R = 4) + P(R = 5) = 0,2 Question 5 Combien Zahra gagne-t-elle par bouquet en moyenne ? On calcule l’espérance des gains de Zahra, soit l’espérance de G : E(G) = 1 × P(G = 1) + 2 × P(G = 2) + 2,5 × P(G = 2,5) + 3 × P(G = 3) = 1 × 0,4 + 2 × 0,1 + 2,5 × 0,3 + 3 × 0,2 = 0,4 + 0,2 + 0,75 + 0,6 = 1,95 Zahra gagne en moyenne 1,95e par bouquet vendu. Zahra peut acheter des bouquets tout fait avec un nombre pair de roses, qui lui reviennent moins cher : le bouquet à 2 roses lui coûte 1,5e et le bouquet à 4 roses, 3e. Question 6 Quels sont les nouveaux gains moyens de Zahra ? Notons H la variable aléatoire représentant les gains de Zahra dans ce nouveaux cas. Les gains de Zahra en fonction de nombre de roses dans le bouquet sont les suivants : — 1 rose : 2 − 1 = 1e — 2 roses : 4 − 1,5 = 2,5e — 3 roses : 5,5 − 3 = 2,5e — 4 roses : 7 − 3 = 4e — 5 roses : 8 − 5 = 3e On a donc G(Ω) = {1; 2,5; 3; 4}. La loi des gains H est données par : P(H = 1) = P(R = 1) = 0,4 P(H = 2,5) = P(R = 2) + P(R = 3) = 0,4 P(H = 3) = P(R = 5) = 0,1 P(H = 4) = P(R = 4) = 0,1 Page 3 sur 5 On calcule l’espérance des gains de Zahra, soit l’espérance de H : E(H) = 1 × P(H = 1) + 2,5 × P(H = 2,5) + 3 × P(H = 3) + 4 × P(H = 4) = 1 × 0,4 + 2,5 × 0,4 + 3 × 0,1 + 4 × 0,1 = 0,4 + 1 + 0,3 + 0,4 = 2,1 Zahra gagne en moyenne 2,1e par bouquet vendu, soit 15 centimes de plus. Exercice 3 (14 points) Une administration cherche à évaluer sa performance dans le traitement des dossiers. Chaque jour l’administration traite un dossier. On note p la probabilité que l’administration perde un dossier chaque jour sachant que la perte d’un dossier au jour k est indépendante d’une perte de dossier au jour k + 1. De même, on note X la variable aléatoire « le nombre de dossiers perdus par l’administration sur 50 jours ». Question 1 Quelle loi suit la variable aléatoire X ? La rupture de stock suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Les jours sont indépendants les uns des autres. Dans le cas présent, il s’agit donc d’une répétition sur 50 jours d’une expérience de Bernoulli avec indépendance. Donc notre variable va suivre une loi Binomiale de paramètres p et n. Donc : X ∼ B(50, p) avec P(X = k) = Cnk · pk · (1 − p)n−k , pour tout k ∈ N. Question 2 Donner la probabilité que l’administration perde 5 dossiers. P(X = k) = Cnk .pk .(1 − p)n−k où k = 5 : 5 P(X = 5) = C50 · p5 · (1 − p)45 Question 3 Donner l’espérance et la variance de X. E(X) = np = 50p V (X) = np(1 − p) = 50p(1 − p) Un dossier traité en temps normal coûte 50 e à l’administration. En cas de perte d’un dossier, le coût de la journée est majoré de 50 e, l’administration va devoir mobiliser d’avantage de personnels pour remettre en ordre le dossier. Le président du conseil départemental nouvellement élu propose d’embaucher une personne de plus spécialement chargée d’archiver les dossiers et ainsi faire disparaître le problème de perte de dossiers. L’embauche de cette personne entraînerait une majoration de 10 e du coût du traitement habituel des dossiers. Question 4 Donner Y (Ω) et la loi de Y (dans sa formulation générale, i.e, sans explicitation numérique). Y pourra être exprimé en fonction de X. Ici, Y = 50 × 50 + 50X ; donc Y (Ω) = {2500 + 50i, avec i ∈ {0 . . . 50}}. y − 2500 Avec P(Y = y) = P(X = x) avec x = . Alors : 50 y−2500 P(Y = y) = C50 50 ·p y−2500 50 · (1 − p)50− y−2500 50 Question 5 A partir de quel niveau p sera t-il préférable d’embaucher une personne de plus ? Avec une assurance, le coût de 50 jours sera de 60 × 50 = 3000. Le coût moyen sans assurance est de E(Y ) = 2500 + 50 × E(X) = 3000 + 50p × 50 (par linéarité de l’espérance). Page 4 sur 5 Il sera préférable de s’assurer si 3000 ≤ 2500 + 50 × p × 50. Donc : 500 ≤ 2500p ⇔ 1 ≤p 5 Il faut que la probabilité que les dossiers se perdent soit supérieure à 20% pour qu’il soit intéressant d’embaucher une personne supplémentaire. Une autre administration traite 100 000 affaires par an avec un taux de perte de 1 pour 10 000. En utilisant une approximation poissonnienne (en justifiant son utilisation) : Question 6 Déterminez la probabilité que le nombre de dossiers perdus soit égal à 4. 1 Dans cette situation, comme n = 100000 est grand et p = 10000 est petit, on peut approximer la variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(100000, 1/10000) par une loi de poisson de paramètre λ = n × p = 10. Donc (cf table pour la valeur numérique) : P(X = 4) = e−10 · 104 4! ' 0,019 La probabilité d’avoir exactement 4 produits défectueux est d’environ 2%. Question 7 Déterminez la probabilité que le nombre de dossiers perdus soit au moins égal à 2. P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − P(X = 1) − P(X = 0) = 1 − exp(−10) (1 + 10) = 1 − 11 exp(−10) '1 La probabilité d’avoir deux produits défectueux ou plus est de presque 100%. Question 8 Quelle est l’espérance et la variance de cette variable ? D’après la formule pour une loi de Poisson : E(X) = V (X) = λ = 10 Page 5 sur 5