Page 1 FONCTION LOGARITHME NEPERIEN : f(x) = ln(x) I

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN : f(x) = ln(x)
I) DEFINITION.
a) Définition 1 et notations : ( de la fonction logarithme )
La fonction logarithme népérien notée « ln », associe à tout nombre réel x positif strict le nombre
 ln : ] 0 , + ∞ [
IR
réel noté ln(x) ou ln x et appelé le logarithme népérien de x. On note :  x
ln(x)

C’est l’unique fonction telle que :
1
(1) la dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse : x
.
x
(2) La valeur du logarithme népérien de 1 vaut 0.
 [ln(x)]’ = 1
x
Avec les notations ci dessus on a par définition : 
(admis )
 ln(1) = 0
→
→

→

• Remarque : la valeur de ln(x) est donné par une table de logarithmes ou par une calculatrice.
1
Par exemple la calculatrice donne : ln(2) ≈ 0,693 à 10–3 près ; ln( ) = – 0,693 à 10–3 près.
2
II) PROPRIETES GENERALES .
A) Propriété 1 : ( Domaine de définition ) :
La fonction logarithme népérien f(x) = ln x est définie pour x ∈ ]0 ; + ∞ [.
Seuls les nombres réels positifs stricts admettent un logarithme népérien.
Soit a un nombre réel, ln(a) n’existe que si a > 0.
( 0 , –1 , –3 , … n’ont pas de logarithme népérien )
Application :
Soit f la fonction définie par f(x) = ln( x – 3).
ln(x – 3) n’existe que si x – 3 > 0 donc si x > 3 , le domaine de définition de f est Df = ] 3 ; + ∞[.
B) Propriétés de base :
Propriété 2 :
Quels que soient les nombres réels a et b positifs stricts
ln(ab) = ln(a) + ln (b) ( ln « transforme » les multiplications en additions )
Exemples :
ln(6) = ln(2×3) = ln2 + ln3
ln5 + ln2 = ln(5×2) = ln10
ln1 +ln 1 = ln(1×1) = ln1 = 0.
Propriété 3 :
Quel que soit les nombres réels positif strict a et b
ln (ab) = b×ln(a) ( ln « transforme » les puissances en multiplications )
Exemples :
ln(6²) = 2ln(6)
1
ln(x²) = 2ln(x) ln(x3) = 3 ln(x) ln( x) = ln (x1/2) = ln(x) ;
2
1
ln( ) = ln(x – 1) = –1×ln(x) = – ln(x).
x
Remarque :
1
1
On a en particulier : ln(x²) = 2ln(x) ; ln(x3) = 3ln(x) ; ln( x) = ln(x) ; ln( ) = –ln(x).
2
x
Propriété 4 :
Quel que soit les nombres réels positif strict a et b :
a
ln ( ) = ln(a) – ln(b) ( ln « transforme » les divisions en soustraction )
b
2
5
ln( ) = ln(2) – ln (3) ln (5) – ln( 7) = ln ( ).
3
7
Exemples :
III) DERIVEE :
a) Propriété 5 : ( dérivée de lnx et de ln u(x) )
(1) La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ et sa dérivée est la fonction inverse : [ln(x)]’ =
(2) Si u est une fonction dérivable, positive strict sur I ⊂ IR alors [ln u(x)]’ =
1
x
u’(x)
u(x)
b) Exemples :
1
Si f(x) = 3x² + 4x – 1 + ln x pour x ∈ ]0 ; + ∞ [ alors f ’(x) = 6x + 4 + .
x
 u(x) = 3x² + 2 donc u’(x) = 6x
Si f(x) = ln(x² + 2) sur IR alors f(x) = ln u(x) où  u(x) = 3x² + 2 est positif pour tout x ∈ IR

u’(x)
6x
donc f ’(x) =
=
.
u(x) 3x² +2
IV) SENS DE VARIATION :
Propriété 6 : ( variations de la fonction logarithme )
La fonction ln croît strictement sur ] 0 ;+ ∞ [ car sa dérivée x
Valeurs de x
Signe de ln’(x) =
→

0
1
x
1
est positive pour x > 0.
x
+∞
+
+∞
Variations de ln
–∞
(
limites vu au V) )
V) LIMITES :
a) Propriété 7 :
( limites de ln(x) en +∞ en 0+ et en a > 0 )
• La limite de ln(x) en + ∞ est + ∞ :
• La limite de ln(x) en 0+ est – ∞ :
lim
x→+∞



ln(x) = + ∞ un logarithme est aussi grand qu’on veut
lim ln(x) = – ∞ . un logarithme est aussi petit qu’on veut.
x→0
x>0
donc la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe de ln .
Remarque : Sur ]0 ; + ∞ [ , la fonction logarithme n’admet ni maximum, ni minimum.
Propriété 8 :
• Si a > 0 alors la limite de ln(x) quand x tend vers a est ln(a) : lim ln(x) = ln(a)
x →a
b) Propriété 9 : ( croissances comparées ).
• ln(x) croît moins vite que n’importe quelle puissance positive de x , c’est à dire :
ln(x)
ln(x)
Quel que soit n ∈ IN-{0} on a :
lim
lim
=0
n = 0 en particulier
x
x
x→+∞
x→+∞
• Quel que soit n ∈ IN-{0}



lim xn ln(x) = 0 en particulier
x→0
x>0



lim xln(x) = 0 .
x→0
x>0
VI) TABLEAU de VALEURS et COURBE REPRESENTATIVE :
0,05 0,1
0,25 0,5
1 2
3 4
5
10
15
20 25
100 1000000
x
ln(x) ≈ –3 ≈ –2,3 ≈ –1,4 ≈ –0,69 0 ≈ 0,7 ≈ 1 ≈ 1,4 ≈ 1,6 ≈ 2,3 ≈ 2,7 ≈ 3 ≈ 3,2 ≈ 4,6 ≈ 13,8
y
L’axe (oy) est asymptote verticale
2
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-4
-6
VII) EQUATIONS :
a) Propriété 10 : ( égalité de logarithmes )
•Quels que soient les réels a > 0 et b > 0 ln(a) = ln(b) équivaut à a = b .
Exemples :
On cherche à résoudre l’équation : ln(2x) = ln ( x + 1)
a) on précise le domaine de définition de l’équation: ln 2x n’existe que si x > 0 et ln(x+1) si x > –1
donc l’équation n’a de sens que si x ∈ ] 0 ; + ∞ [ on écrit : D = ]0 ; + ∞ [ .
b) on résout l’équation :
ln(2x) = ln ( x + 1) donc 2x = x +1 donc x = 1
c) on vérifie que la ( ou les ) solution trouvée est bien dans D et on conclue : 1 ∈ D donc : S = {1}.
On cherche à résoudre l’équation : ln(3x) = ln ( 2x – 1) .
1
1
a) l’équation n’a de sens que si x > 0 et x > donc D = ] ; + ∞ [ .
2
2
b) ln(3x) = ln ( 2x – 1) donc 3x = 2x –1 donc x = –1
c)
1
–1 ∉ D = ] ; + ∞ [ donc S = ∅.
2
b) Propriété 11 : ( antécédents de nombres par la fonction logarithme ).
• Il existe un unique nombre noté « e » ( 2,718 < e < 2,719) tel que ln(e) = 1 .
Autrement dit :
ln(x) = 1 ⇔ x = e ≈ 2,718.
Le nombre « e » est appelé la base des logarithmes népériens.
• Quel que soit le nombre a ∈ IR on a : ln(x) = a ⇔ x = ea
( exponentiel de a )
Exemples
Si ln(x) = 2 alors x = e2 ≈ 7,4
et S = {e²}
Si ln(x) = –2 alors x = e–2 ≈ 0,13
et S = { e–2 }
VII) INEQUATIONS :
a) Propriété 12 : ( inégalité de logarithmes ) .
•Quels que soient les réels a > 0 et b > 0 : ln(a) > ln(b) ⇔ a > b . ( idem pour <, ≤ , ≥ )
Exemple :
On cherche à résoudre l’inéquation : ln(2x) > ln ( 2 – x) .
a) Le domaine de définition de l’inéquation est D = ] 0 ; 2 [
b) ln(2x) > ln ( 2 – x) donc 2x > 2 – x donc 3x > 2 donc x >
c) Or D = ] 0 ; 2 [ donc S = ]
2
.
3
2
; 2 [.
3
b) Propriété 13 : ( antécédents de nombres par la fonction logarithme ).
• Quel que soit le nombre a ∈ IR et x > 0 ln(x) > a ⇔
x > ea ( idem pour <, ≤ , ≥ )
Exemples :
Si ln(x) > 2
alors x > e2 ≈ 7,4 et S = [e² ; + ∞[
Si ln(x) < –2 alors x < e–2 ≈ 0,13 S = ] 0 ; e–2 [
c) Propriété 14 : ( signe de ln(x) )
Valeur de x 0
Signe de ln(x)
–
 ln(x) est négatif pour 0 < x < 1

 ln(x) est positif pour x > 1
 ln(x) est nul pour x = 1
.
1
0
+∞
+
TEST : FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Nom : ………..…………..…………..…………..…
•Exercice 1 :
a) Quelle est la fonction vérifiant les deux conditions suivantes ? et comment la note t-on ?
 (1) elle a pour dérivée f(x) = 1
x

 (2) elle vaut 0 si x = 1.
4
=
3 ………..…………..…
c) Le nombre ln x existe t-il pour toutes les valeurs de x ∈ IR ? si non, pour quelles valeurs de
x ∈ IR existe t-il ?
b) Donner les valeurs suivantes à 10–3 près : ln 2 ≈ ………..…………..… ln
d) Donner la valeur de ln(-2) à 10–3 près si possible : ln(-2) ≈ ………..…………..…
• Exercice 2 :
a) Démontrer que pour tout x > 0 on a : ln ( 3x3 + 2x² ) = 2ln x + ln (3x + 2).
x3
) = 3ln x – ln (x + 1).
b) Démontrer que pour tout x > 0 on a : ln (
x+1
• Exercice 3 :
a) Donner la dérivée de la fonction suivante :
f(x) = 3x² + 4x – 1 + ln x pour x ∈ ]0 ; + ∞ [
b) Donner la dérivée de la fonction suivante :
f(x) = ln(x² + 2) sur IR
• Exercice 4 : Compléter le tableau de variations de la fonction f(x) = ln(x)
Valeurs de x
Signe de f ’(x)
Variations de ln
• Exercice 5 :
1)Compléter a)
d)
lim
x→+∞
e)



lim ln(x) = ………..… b) lim ln(x) = ………..… c) Si a > 0 , lim ln(x) = ………..…
x→+∞
ln(x)
= ………..…
x
lim xln(x) = ………..…
x→0
x>0



x →a
x→0
x>0
e) Pour n ∈ IN-{0} ,
lim
x→+∞
ln(x)
=
xn ………..…
f) Pour n ∈ IN-{0} , lim xn ln(x) = ………..…



x→0
x>0
2) La courbe de la fonction x
→

ln(x) admet t-elle des asymptotes ? si oui préciser quelles droites ?
• Exercice 6 : Donner ci dessous l’allure de la courbe de la fonction logarithme népérien.
y
2
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
• Exercice 7 :
1) Résoudre l’équation et donner l’ensemble S des solutions :
1
a) ln(3x) = ln ( 2x – 1) pour x > :
2
b) ln(x) = 1 : ………..…………..…………..…………..…………..…
c) ln(x) = –2 : ………..…………..…………..…………..…………..…………..…
2) Résoudre l’inéquation et donner l’ensemble S des solutions :
a) ln(2x) > ln ( 2 – x) pour x ∈ ] 0 ; 2 [ :
b) ln(x) > 2 : ………..…………..…………..…………..…………..…
• Exercice 8 : Compléter le tableau de signes de la fonction logarithme népérien.
Valeur de x
Signe de ln(x)
 ln(x) est négatif strict pour
 ln(x) est positif strict pour
 ln(x) est nul pour
……………………….……………..
……………………….……………..
.
……………………….……………..
SCORE :
………….
30
=
………………
%