Licence Informatique S4 Probabilités

Licence Informatique S4
Probabilités-Statistiques Fiche 2
4 février 2015
1/ Soit (An )n∈N une suite croissante d’événements ; autrement dit An ∈ F et An ⊂
An+1 pour tout n ∈ N, l’espace probabilisé étant (Ω, F , P).
S
(a) Montrer que P(
n∈N An ) = limn→+∞ P(An ).
(b) Soit (Bn )n∈N une suite d’événements indépendants. Déduire de ce qui
précéde que
!
P
\
∞
Bn
= ∏ P(Bn ).
n=0
n≥0
2/ Étant donné un sous-ensemble A d’un ensemble Ω, on désignepar fonction in1 si x ∈ A
dicatrice de A, notée 1A la fonction définie sur Ω par : 1A (x) =
.
0 si x 6∈ A
(a) Soient A et B deux sous-ensembles de Ω. Vérifier que 1A = 1B si et
seulement si A = B.
(b) Exprimer les fonctions indicatrices de A, A ∩ B, A × B et A ∪ B à l’aide
des fonctions indicatrices de A et B.
3/ (facultatif) On se propose de calculer la probabilité de fonctionnement de quelques
circuits électriques simples à l’aide des probabilités de fonctionnement de leurs
composants. Dans tout ce qui suit, les composants ont des fonctionnements
mutuellement indépendants. On note pi la probabilité de fonctionnement du
composant Ci et Fi l’événement:
Fi = {le composant Ci fonctionne}.
On dit que le circuit fonctionne si le courant peut passer du point A au point B.
(a) Circuit série: Calculer la probabilité de fonctionnement du circuit suivant:
1
A -
C1
C3
C2
B
-
(b) Circuit parallèle: Calculer la probabilité de fonctionnement du circuit
suivant:
C1
-B
A C2
(c) Circuit mixte: Calculer la probabilité de fonctionnement du circuit suivant lorsque tous les pi sont égaux à p.
C2
A -
C3
C1
-
C4
B
C5
4/ On sait, avec une probabilité p (0 < p < 1), que la personne que l’on cherche
habite un immeuble de 7 étages habitables que l’on explore. On a exploré en
vain les 6 premiers étages.
(a) Quelle est la probabilité qu’elle habite au septième étage? On note f (p)
cette probabilité.
(b) Représenter la fonction p 7→ f (p).
5/ Un voleur se cache pour observer un veilleur de nuit ouvrir une porte. Il sait
que le gardien est ivre un jour sur trois. Celui-ci a un trousseau de 10 clés. Les
soirs d’ivresse, il essaie une clé au hasard, la remet si elle n’ouvre pas la porte,
et recommence, en essayant éventuellement plusieurs fois la même. . . Lorsqu’il
est à jeun au contraire, il prend soin de séparer les clés déjà essayées.
La porte ayant été ouverte au huitième essai, le voleur en déduit que le veilleur
de nuit est ivre et décide de tenter son coup.
(a) Quelle probabilité a-t-il de se tromper ?
(b) Que penser de la stratégie du voleur ?
6/ Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes prenant les valeurs −1 et
1 avec probabilité 1/2 chacune. Posons Z = XY . Etudier l’indépendance deux
à deux des variables aléatoires X, Y et Z, puis l’indépendance de la famille (X,
Y , Z).
2
7/ La propriété d’absence de mémoire
(a) Montrer que si X est une v. a. de loi géométrique, elle vérifie la propriété
d’absence de mémoire suivante:
∀k ∈ N, ∀n ∈ N,
P(X > n + k | X > n) = P(X > k).
(1)
Interpréter ce résultat en considérant une suite d’épreuves répétées.
(b) Trouver toutes les lois qui vérifient la propriété (1).
Indication: On notera G(n) = P(X > n) et on montrera que (1) se traduit
par une relation simple entre G(n + k), G(n) et G(k).
8/ (facultatif) Le problème de Monty Hall
Dans un jeu de télévision américain, un candidat a le choix entre trois portes
fermées. Il sait que derrière une seule de ces portes se trouve une voiture. Le
candidat commence par désigner une porte, puis l’animateur en ouvre une - pas
celle que le candidat a choisie, mais une autre, qui ne donne pas sur la voiture.
On demande alors au candidat s’il veut refaire son choix ou non. Quelle serait
votre décision ?
3