Matrices 1 Matrices à éléments dans K

Chapitre 6 – Matrices
1
BCPST 851
6 décembre 2011
Chapitre 6
Matrices
Dans tout le chapitre, K désignera R ou C.
1
Matrices à éléments dans K
1.1 Algèbre des matrices
Définition 1
Soient n, p ∈ N∗ . On appelle matrice de taille (n, p) à coefficients dans K un
tableau d’éléments de K à n lignes et p colonnes.
Si A est une matrice (n, p) et que l’on note (ai, j )16i6n ses coefficients, on a :
16 j6p
Ö
A = (ai, j )16i6n =
16 j6p
a1,1 · · · a1,p
..
..
.
.
an,1 · · · an,p
è
• ai, j (avec 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p) est appelé le coefficient (ou élément) en
i-ème ligne et j-ème colonne de A. C’est un élément de K.
• Deux matrices sont égales si elles ont même taille et mêmes coefficients.
• On note Mn,p (K) l’ensemble des matrices à coefficients dans K de taille
(n, p).
• On note 0Mn,p (K) la matrice de taille (n, p) dont tous les coefficients sont
nuls.
• Les matrices de taille (n, 1) sont appelées matrices colonnes.
• Les matrices de taille (1, p) sont appelées matrices lignes.
Définition 2
Soient A = (ai, j )16i6n et B = (bi, j )16i6n deux matrices de Mn,p (K) et λ ∈ K.
16 j6p
16 j6p
On définit
• A + B = (ai, j + bi, j )16i6n
• λA = (λai, j )16i6n
16 j6p
16 j6p
Remarques
• L’addition de matrices se fait donc coefficient par coefficient. Pour additionner deux matrices, il faut
qu’elles soient de même taille (même nombre de colonnes et même nombre de lignes).
• On notera −A pour (−1)A et A − B pour A + (−B).
Propriété 1
Soient n, p ∈ N∗ , A, B ∈ Mn,p (K) et λ, µ ∈ K.
• λ(A + B) = λA + λB
• λA + µA = (λ + µ)A
• A + B = B + A (l’addition est commutative)
• (A + B) + C = (A + B) + C (l’addition est associative)
Chapitre 6 – Matrices
2
Définition 3
Soient n, p, q ∈ N∗ , A ∈ Mn,p (K) et B ∈ M p,q (K).
On définit AB = (ci,l )16i6n avec ci, j =
16 j6q
p
P
ai,k bk, j . AB est une matrice (n, q).
k=1
j
k

i
a1,1
a1,k



/ ai,1



ai,k
an,1
an,k
a1,p
b1,q 



 bk,1



/ bk, j



bk,q 



b p,1
b p, j
b p,q
c1,1
c1, j
c1,q
 



ai,p 



an,p
b1, j

b1,1



 ci,1






ci,q 



/ ci, j
cn,q
cn, j
cn,1

Remarques
• Le produit de deux matrices est donc défini si et seulement si le nombre de colonnes de la première
matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième.
• Le produit AB peut donc être défini sans que BA le soit.
• Même si AB et BA sont tous les deux définis, il n’y a aucune raison qu’ils soient égaux : la multiplication matricielle n’est pas commutative.
• On peut très bien avoir AB = 0 avec A , 0 et B , 0.
Exercice 1
Ç
1.
Effectuer les produits suivants :
å
Ç
2.
å
Ç
Ä
å
1 2 −2
×
0 0 0
Exemple 2
Ç
1. Soient A =
Ç
2. Soient A =
Ö è
1
2
3
ä
4. 1 2 3 ×
å
Ç
å
å
Ç
å
0 2
et B =
0 0
å
Ç
Ö
Ä
;
1 1
et B =
0 3
ä
2 0 −3
;
3. 1 2 ×
1 1 2
2 0 3
1 2
;
×
2 0 −1
1 −1
3
4
−1
è
.
0 2
. AB et BA sont bien définis, mais AB , BA.
1 0
4 7
. On a AB = 0 alors que A et B sont non nulles.
0 0
Chapitre 6 – Matrices
3
Propriété 2
Soient n, p, q, r ∈ N∗ .
• Soient A ∈ Mn,p (K), B ∈ M p,q (K) et C ∈ M p,q (K).
A(B + C) = AB + AC
• Soient A ∈ Mn,p (K), B ∈ Mn,p (K) et C ∈ M p,q (K).
(A + B)C = AC + BC
• Soient A ∈ Mn,p (K), B ∈ M p,q (K) et C ∈ Mq,r (K).
A(BC) = (AB)C
Propriété 3
Sous réserve que les multiplications soient bien définies, on a :
è
Ö
è Ö è Ö
x1
..
C1 · · · Cn
= x1 C 1 + · · · + xn C n ;
•
×
.
xn
Ü
ê
L1
ä
Ä
Ä
ä
..
• x1 · · · xn ×
= x1 L1 + · · · + xn Ln ;
.
Ln
Ö
• A×
Ü
L1
..
.
Ln
•
è Ö
AC1 · · ·
=
Cn
Ü
ê
C1 · · ·
ê
L1 A
..
.
Ln A
×A=
è
;
ACn
.
Remarque
On en déduit que :
• si A a une ligne nulle, alors AB a une ligne nulle ;
• si B a une colonne nulle, alors AB a une colonne nulle.
Définition 4
Soient n, p ∈ N∗ et (i, j) ∈ ~1, n × ~1, p.
On note Ei, j (n, p) (ou simplement Ei, j s’il n’y a pas d’ambiguïté) la matrice de
Mn,p (K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d’indice (i, j) qui vaut 1.
Ces matrices Ei, j sont appelées matrices élémentaires.
Ç
Exemple 3
E1,2 (2, 3) =
Ö
å
0 1 0
, E3,2 (3, 2) =
0 0 0
0 0
0 0
0 1
è
.
Propriété 4
Soit A = (ai, j ) ∈ Mn,p (K). On a A =
P
ai, j Ei, j .
16i6n
16 j6p
Ç
Exemple 4
Exercice 5
å
1 −3
2 0
Ç
å
Ç
å
Ç
å
Ç
1 0
0 1
0 0
0 0
=1
−3
+2
+0
0 0
0 0
1 0
0 1
å
= E1,1 − 3E1,2 + 2E2,1
Soient n, p, q ∈ N∗ . Calculer suivant les valeurs de i, j, k et l le produit Ei, j (n, p) × Ek,l (p, q).
Chapitre 6 – Matrices
4
1.2 Transposition
Définition 5
Soient n, p ∈ N∗ et A = (ai, j ) ∈ Mn,p (K). On appelle transposée de A, et l’on
note t A, la matrice (bi, j )16i6p ∈ M p,n (K) vérifiant :
16 j6n
∀(i, j) ∈ ~1, p × ~1, n, bi, j = a j,i
Remarque
Les lignes de t A sont les colonnes de A et inversement.
Ç
Exemple 6
La transposée de
å
Ö
1 2 3
est
2 0 4
1 2
2 0
3 4
è
.
Propriété 5
Soient n, p, q ∈ N∗ , λ ∈ K, A, B ∈ Mn,p (K) et C ∈ M p,q (K). On a
• t (t A) = A
• t (λA) = λt A
• t (A + B) = t A +t B
• t (AC) = t C t A
Remarque
Plus généralement, si les produits sont bien définis, on a t (A1 × · · · × Ak ) = t Ak × · · · ×t A1 .
1.3 Matrices carrées
Définition 6
Pour n ∈ N∗ , on note Mn (K) l’ensemble des matrices à n lignes et n colonnes
à coefficients dans K, dites matrices carrées de taille n.
Remarque
Autrement dit, Mn (K) est simplement une abréviation pour Mn,n (K).
Définition 7
Soit n ∈ N∗ . On appelle matrice identité (de taille n), et l’on note In , la matrice
de Mn (K) dont les coefficients ai, j vérifient :
(
ai, j =
0 si i , j
1 si i = j
Remarque
Autrement dit, la matrice identité est constituée de 1 sur la diagonale (principale) et de 0 ailleurs.
Chapitre 6 – Matrices
5
Propriété 6
Soient n, p ∈ N∗ et A ∈ Mn,p (K). On a
In A = AI p = A
Définition 8
Soient n ∈ N∗ et A ∈ Mn (K). On définit par récurrence A p pour p ∈ N par :
• A 0 = In
• Pour p ∈ N, A p+1 = A × A p = A p × A
Propriété 7
Soient n ∈ N∗ , A ∈ Mn (K) et p, q ∈ N.
• A p+q = A p Aq
• (A p )q = A pq
• t (Ak ) = (t A)k .
Propriété 8
Soient n ∈ N∗ , A, B ∈ Mn (K) et p ∈ N.
On suppose que A et B commutent, i.e. que AB = BA. On a alors
• (AB) p = A p B p
• (A + B) p =
Ç
Exercice 7
Soient J =
p
P
p k p−k
(formule du binôme)
k A B
k=0
å
0 1
et A =
0 0
Ç
å
3 1
.
0 3
1. Calculer J n pour n ∈ N.
2. En déduire An pour n ∈ N.
1.4 Inverse d’une matrice carrée
Définition 9
Soient n ∈ N∗ et A ∈ Mn (K).
On dit que A est inversible s’il existe B ∈ Mn (K) telle que AB = BA = In .
Dans ce cas, B est unique, appelée inverse de A et notée A−1 .
On note GLn (K) l’ensemble des matrices inversibles de Mn (K).
Remarque
La propriété 3 montre que si une matrice a une ligne ou une colonne nulle, alors elle n’est pas inversible.
Chapitre 6 – Matrices
6
Propriété 9
Soient n ∈ N∗ et A, B ∈ Mn (K).
Si P ∈ GL n(K), alors
• PA = PB ⇔ A = B
• AP = BP ⇔ A = B
Remarques
• Pour éviter les «simplifications» abusives, il faut toujours penser en termes de multiplication : par exemple,
pour passer de PA = PB à A = B, on multiplie à gauche par P−1 , ce qui n’est bien sûr possible que si P
est inversible.
• Cette propriété peut être utilisée pour montrer qu’une matrice n’est pas inversible (voir exemple 8).
Ç
Exemple 8
Soient A =
Ç
On a AC = BC =
å
å
3 0
,B=
0 0
Ç
å
0 3
et C =
0 0
Ç
å
1 1
.
1 1
3 3
et A , B, donc C n’est pas inversible.
0 0
Propriété 10
Soient n ∈ N∗ , A, B ∈ GLn (K), λ ∈ K∗ et p ∈ N.
• In est inversible, et In−1 = In .
• λA est inversible, et (λA)−1 = λ1 A−1 .
•
•
•
•
−1
A−1 est inversible et (A−1 ) = A.
AB est inversible et (AB)−1 = B−1 A−1 .
p
A p est inversible et (A p )−1 = (A−1 ) .
t A est inversible et ( t A)−1 = t (A−1 ).
On considère le polynôme P = X 3 − 2X 2 + 5X − 1 et une matrice A ∈ Mn (K) telle que
P(A) = 0 (i.e. A3 − 2A2 + 5A − In = 0M−n(K) ). Montrer que A est inversible et déterminer un polynôme Q tel
que A−1 = Q(A).
Exercice 9
Propriété 11
Soient a, b,Çc, d ∈åK.
a b
La matrice
est inversible ssi ad − bc , 0.
c d
Dans ce cas, on a
Ç
a b
c d
å−1
1
=
ad − bc
Ç
å
d −b
−c a
Chapitre 6 – Matrices
7
1.5 Matrices semblables
Définition 10
Soient n ∈ N∗ et A, B ∈ Mn (K).
A est dite semblable à B si ∃P ∈ GLn (K), A = P−1 BP.
Propriété 12
Soient n ∈ N∗ et A, B, C ∈ Mn (K).
• A est semblable à A.
• Si A est semblable à B, alors B est semblable à A.
On pourra donc plus simplement écrire que A et B sont semblables.
• Si A est semblable à B et B semblable à C, alors A est semblable à C.
• Si A est semblable à In , alors A = In .
Remarque
Les trois premiers points peuvent se reformuler (dans l’ordre) en disant que la relation de similitude est
réflexive, symétrique et transitive.
Exercice 10
Soit P ∈ K[X] et A, B ∈ Mn (K).
Montrer que si A et B sont semblables, alors P(A) et P(B) le sont aussi.
2
Pivot de Gauss
2.1 Opérations élémentaires
n désigne un entier strictement positif et i et j des éléments de ~1, n.
Définition 11
• Si i , j, on pose S n,i, j = In − Ei,i − E j, j + Ei, j + E j,i (échange).
• Si α ∈ K∗ , on pose Dn,i (α) = In + (α − 1)Ei,i (dilatation).
• Si β ∈ K et i , j, on pose T n,i, j (β) = In + βEi, j (transvection).
Ces matrices sont appelées matrices d’opérations élémentaires.
Propriété 13
−1 = S
• Si i , j, S n,i, j est inversible et S n,i,
n, j,i = S n,i, j .
j
• Si α ∈ K∗ , Dn,i (α) est inversible et Dn,i (α)
• Si i , j, T n,i, j (β) est inversible et T n,i, j (β)
−1
−1
= Dn,i
Ä ä
1
α
.
= T n,i, j (−β).
Remarque
Soit A ∈ Mn,p (K).
• S n,i, j A s’obtient en échangeant les i-ème et j-ème lignes de A (opération que l’on notera Li ↔ L j ).
• AS p,i, j s’obtient en échangeant les i-ème et j-ème colonnes de A (opération que l’on notera Ci ↔ C j ).
• Dn,i (α)A s’obtient en multipliant la i-ème ligne de A par α (ce que l’on notera Li ← αLi ).
• AD p,i (α) s’obtient en multipliant la i-ème colonne de A par α (ce que l’on notera Ci ← αCi ).
• T n,i, j (β)A s’obtient en effectuant sur A l’opération Li ← Li + βL j .
Chapitre 6 – Matrices
8
• AT p,i, j (β) s’obtient en effectuant sur A l’opération C j ← C j + βCi .
On ne mentionnera presque jamais les matrices d’opérations élémentaires de manière explicite. Il faut cependant comprendre qu’effectuer une opération élémentaire sur les lignes (respectivement sur les colonnes)
d’une matrice, c’est la multiplier à gauche (respectivement à droite) par la matrice d’opération élémentaire qui
correspond.
Quand on enchaîne plusieurs opérations, on multiplie successivement par plusieurs matrices d’opérations
élémentaires ou , ce qui revient au même, on multiplie une fois par le produit de ces matrices.
Comme les matrices d’opérations élémentaires sont toutes inversibles et que le produit de matrices inversibles est inversible, effectuer une série d’opérations élémentaires sur les lignes de A revient donc à multiplier A
à gauche par une certaine matrice inversible P. Si les opérations se font sur les colonnes, alors la multiplication
sera à droite.
Remarque
On s’autorisera une opération supplémentaire pour simplifier les calculs : Li ← αLi + βL j , où i , j et α , 0
(ainsi que l’opération analogue sur les colonnes). On vérifie sans peine que cette opération se décompose en
Li ← αLi puis Li ← Li + βL j .
2.2 Matrices échelonnées
Définition 12
Une matrice de Mn,p (K) est dite échelonnée si ses lignes commencent par un
nombre strictement croissant de zéros (avec éventuellement plusieurs lignes
nulles à la fin).
On appelle alors pivots les premiers coefficients non nuls des lignes de A.
Exemple 11
Ö
Ö
Ö
2 1 3
0 2 1
0 7 0
2
0
0
1
2
0
-1
0
0
2
0
0
è
n’est pas échelonnée.
3
1
7
0
3
0
è
est échelonnée et a trois pivots.
0
5
0
è
est échelonnée et a deux pivots.
Propriété 14
Soit A ∈ Mn,p (K). Il existe P ∈ GLn (K) telle que PA soit échelonnée.
La méthode qui permet d’échelonner A (par une suite d’opérations élémentaires) s’appelle méthode du pivot
de Gauss. C’est un algorithme extrêmement important.
On procède colonne par colonne, en commençant par la première.
Chapitre 6 – Matrices
9
• Si elle est nulle, il n’y a rien à faire, on passe à la colonne suivante.
• Sinon, on s’assure que le coefficient en haut de la colonne est non nul (éventuellement en échangeant la
première ligne avec une autre ligne). On annule ensuite tous les autres coefficients de la colonnes grâce à
des opérations élémentaires.
Quand on a terminé de traiter la dernière colonne, la matrice est échelonnée.
Exemple 12
á
0
1
3
2
á
á
á
à
ë
3 2 −1
4 2
2
2 0
1
3 −1 0
L1 ↔ L2
ë
1
0
3
2
4 2
2
3 2 −1
2 0
1
3 −1 0
1
0
0
0
4
2
2
3
2 −1
−10 −6 −5
−5 −5 −4
L3 ← L3 − 3L1
L4 ← L4 − 2L1
ë
1
0
0
0
4
3
0
0
1
0
0
0
4
3
0
0
L3 ← 3L3 + 10L2
L4 ← 3L4 + 5L2
ë
2
2
2 −1
2 −25
−5 −17
2
2
2
0
2
−1
−25
-159
L4 ← 2L4 + 5L2
í
2.3 Inversion d’une matrice carrée
Propriété 15
Soient A ∈ Mn (K) et P ∈ GLn (K).
AP inversible ⇔ PA inversible ⇔ A inversible.
Remarque
Attention, ces équivalences ne sont valables que si l’on sait déjà que P est inversible.
On remarque que si l’on a une matrice carrée échelonnée dont les coefficients diagonaux sont non nuls, il
est possible de la transformer en In à l’aide d’opérations élémentaires. On en déduit :
Propriété 16
Soit A ∈ Mn (K) échelonnée.
A est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls.
Remarques
• Attention, c’est bien sûr faux si A n’est pas supposée échelonnée.
• Il revient au même de dire qu’une matrice carrée échelonnée est inversible ssi elle n’a pas de ligne nulle.
Chapitre 6 – Matrices
10
• Par conséquent, on peut déterminer si une matrice est inversible en l’échelonnant grâce au pivot de Gauss
et en regardant si ses coefficients diagonaux sont non nuls.
Considérons une matrice A ∈ GLn (K). On peut transformer A en In à l’aide d’opérations élémentaires sur
les lignes. Soit P la matrice (inversible) associée à cette suite d’opérations élémentaires, on a donc PA = In . En
multipliant par A−1 à droite, on obtient P = A−1 .
Déterminer A−1 revient donc à déterminer P. Or P = PIn , et en interprétant le membre de droite en termes
d’opérations élémentaires, on voit que P est la matrice obtenue en appliquant à In la même suite d’opérations
élémentaires qui transforme A en In .
Exemple 13
Ö
Considérons A =
Ö
Ö
Ö
1
2 1 1 0 0
1 −1 0 0 1 0
−1 3 1 0 0 1
1
0
0
2
−3
5
è
1
2 1
1 −1 0
−1 3 1
.
è
L2 ← L2 − L1
L3 ← L3 + L1
è
1
1 0 0
−1 −1 1 0
2
1 0 1
L3 ← 3L3 + 5L2
è
1 2
1
1 0 0
0 −3 −1 −1 1 0
0 0
1 −2 5 3
L2 ← L2 + L3
L1 ← L1 − L3
On peut déjà affirmer que A est inversible.
Ö
Ö
Ö
1
0
0
2
−3
0
1
0
0
2
1
0
0
0
1
0
0
1
3 −5 −3
−3 6
3
−2 5
3
Donc A−1 =
L2 ← − 31 L2
è
3 −5 −3
1 −2 −1
−2 5
3
L1 ← L1 − 2L2
è
1 0 0 1 −1 −1
0 1 0 1 −2 −1
0 0 1 −2 5
3
Ö
è
è
1 −1 −1
1 −2 −1
−2 5
3
.
Propriété 17
Soient A, B ∈ Mn (K).
• Si AB est inversible, alors A et B sont inversibles.
• Si AB = In , alors A et B sont inversibles, BA = In et A = B−1 .
Chapitre 6 – Matrices
11
Remarque
Attention à bien vérifier (et préciser) que A et B sont carrées quand on utilise cette propriété. Sans cette
condition, c’est faux :
è
Ö
Ç
å
Ç
å 0 −1
1 0
3 2 −1
1 2
=
0 1
1 2 −2
1 1
Ö
Exercice 14
3
è
Ç
Ö
å
3 2 −1
1 2 −2
=
−1 6 −5
5 6 −5
4 2 −3
è
Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas échéant, calculer leur inverse :
Ö
1. A =
0 −1
1 2
1 1
0 −1 0
1
1 −1
−2 −1 0
è
Ö
2. B =
−2 −2 2
−1 2 2
1 −2 3
è
Ö
3. C =
2 1
3
1 3 −1
3 −1 7
è
Matrices particulières
Dans toute cette partie, n désigne un entier strictement positif.
3.1 Matrices diagonales
Définition 13
Une matrice A = (ai, j ) ∈ Mn (K) est dite diagonale si
∀i, j ∈ ~1, n, i , j ⇒ ai, j = 0
Remarques
• Autrement dit, une matrice est diagonale si tous ses coefficients, sauf éventuellement ceux situés sur la
diagonale principale, son nuls.
• On notera Diag(λ1 , . . . , λn ) la matrice diagonale telle que a1,1 = λ1 , . . . , an,n = λn :
è
Ö
λ1
(0)
..
.
Diag(λ1 , . . . , λn ) =
.
(0)
λn
Propriété 18
Soient λ1 , . . . , λn , µ1 , . . . , µn ∈ K.
• Diag(λ1 , . . . , λn ) × Diag(µ1 , . . . , µn ) = Diag(λ1 µ1 , . . . , λn µn )
• Si P ∈ K[X], P(Diag(λ1 , . . . , λn )) = Diag(P(λ1 ), . . . , P(λn )).
• En particulier, si k ∈ N, Diag(λ1 , . . . , λn )k = Diag(λk1 , . . . , λkn ).
Propriété 19
Soient λ1 , . . . , λn ∈ K et A = Diag(λ1 , . . . , λn ) une matrice diagonale.
• A est inversible ssi ∀k ∈ ~1, n,Ä λk , 0. ä
• Dans ce cas, on a A−1 = Diag λ11 , . . . , λ1n .
Chapitre 6 – Matrices
12
3.2 Matrices triangulaires
Définition 14
Soit A = (ai, j ) ∈ Mn (K).
A est dite :
• triangulaire supérieure si ∀i, j ∈ ~1, n, i > j ⇒ ai, j = 0
â
A=
a1,1
. . . . . . a1,n
..
..
.
.
..
..
.
(0)
.
an,n
ì
• triangulaire inférieure si ∀i, j ∈ ~1, n, i < j ⇒ ai, j = 0
â
A=
a1,1
..
..
. (0)
.
..
..
.
.
an,1 . . . . . . an,n
ì
Propriété 20
• Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice
triangulaire supérieure.
• Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure.
• Dans les deux cas, les coefficients diagonaux du produit sont égaux au
produit des coefficients diagonaux.
Propriété 21
• Une matrice triangulaire A est inversible ssi ses coefficients diagonaux
sont non nuls.
• Dans ce cas, son inverse est triangulaire supérieure si A est triangulaire supérieure, triangulaire inférieure si A est triangulaire inférieure.
De plus, les coefficients diagonaux de l’inverse sont les inverses des coefficients diagonaux de A.
3.3 Matrices symétriques
Définition 15
Une matrice A ∈ Mn (K) est dite
• symétrique si t A = A.
• antisymétrique si t A = −A.
• On note Sn (K) l’ensemble des matrices symétriques de Mn (K) et
An (K) l’ensemble des matrices antisymétriques de Mn (K).
Chapitre 6 – Matrices
13
Remarques
•
•
•
•
A est symétrique ssi ∀i, j ∈ ~1, n, ai, j = a j,i .
A est antisymétrique ssi ∀i, j ∈ ~1, n, ai, j = −a j,i .
A est symétrique si elle est «symétrique par rapport à sa diagonale».
Les coefficients diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nécessairement nuls.
Exemple 15
• Les
sont symétriques.
è
è
Ö
Ö matrices diagonales
0
2 0
1 2 −1
2 0 3
est symétrique, −2 0 3 antisymétrique.
•
0 −3 0
−1 3 5
Exercice 16
Montrer que ∀M ∈ Mn (K) ∃!(S , A) ∈ Sn (K) × An (K), M = S + A.
Exercice 17
Soient A, B ∈ Sn (K). Montrer que AB est symétrique ssi A et B commutent.
4
Systèmes linéaires
4.1 Forme matricielle d’un système linéaire
Soit (S ) un système linéaires à n équations et p inconnues x1 , . . . , x p dans K :
(S )


 a1,1 x1
..
.


an,1 x1
+ a1,2 x2 + . . . + a1,p x p = b1
..
..
.. ..
.
.
. .
+ an,2 x2 + . . . + an,p x p = bn
Ö
On peut associer à ce système les matrices A = (ai, j ) ∈ Mn,p (K), X =
x1
..
.
è
Ö è
et B =
b1
..
.
.
xp
bn
Le système (S ) est alors équivalent à l’équation matricielle AX = B d’inconnue X ∈ M p,1 (K).
Définition 16
Soit (S ) : AX = B un système linéaire.
• On appelle système homogène associé à (S ), et l’on note (S H ), le système
(S H ) : AX = 0Mn,1 (K) .
• (S ) est dit homogène si (S ) = (S H ) (i.e. si B = 0).
Propriété 22
Soient (S ) un système linéaire, (S H ) le système homogène associé et X0 ∈
M p,1 (K) une solution de (S ).
Pour tout X ∈ M p,1 (K), X est solution de (S ) ssi X − X0 est solution de (S H ).
Chapitre 6 – Matrices
14
4.2 Méthode de résolution
Si P ∈ GLn (K), on a
AX = B ⇔ PAX = PB
On peut donc utiliser des opérations élémentaires sur les lignes (simultanément sur A et sur B) pour résoudre
un système. Pour faciliter cela, on travaillera sur la matrice (A | B) obtenue en concaténant A et B.
• On échelonne A via des opérations sur les lignes. On obtient (A0 | B0 ) avec A0 échelonnée.
• Le système a des solutions ssi les lignes nulles de A0 sont les lignes nulles de (A0 | B0 ).
• Dans ce cas, on appelle inconnues principales les inconnues qui correspondent à un pivot de A0 , inconnues
secondaires les autres.
• On continue à opérer sur les lignes de A0 de manière à rendre les pivots égaux à 1 et à mettre des 0 au
dessus des pivots.
• S’il n’y a pas d’inconnues secondaires, le système a une unique solution que l’on peut lire directement.
Sinon, on donne l’ensemble des solutions en exprimant les inconnues secondaires en fonction des inconnues principales.
Exemple 18
On considère le système suivant, d’inconnues x, y, z ∈ K :


 2x
+ 3y + z = 5
3x − y + 2z = 2

 x − 4y + z = 1
On met sous forme matricielle et on échelonne :
Ö
Ö
Ö
è
2
3
1
3 1 5
−1 2 2
−4 1 1
2
0
0
3
-11
−11
1
5
1 −11
1 −3
2
0
0
3
-11
0
1
5
1 −11
0
8
L2 ← 2L2 − 3L1
L3 ← 2L3 − L1
è
L3 ← L3 − L2
è
La dernière ligne s’interprète 0x + 0y + 0z = 8, ce qui est impossible : le système n’a pas de solution.
Exemple 19
On considère le système suivant, d’inconnues x, y, z, t ∈ K :





x
x

−x



2x
á
á
2
1 1
1
1
3
3 0
−1 −2 −1 1
2
4
2 2
1
0
0
0
2
1
0
0
1 3
4 −1
3 1
2 6
1 1 1 3
2 −1 3 −4
0 2 4 4
0 0 0 0
+2y +z +t +u = 3 ;
+3y +3z
+4u = −1 ;
−2y −z +t +3u = 1 ;
+4y +2z +2t +2u = 6.
ë
L2 ← L2 − L1
L3 ← L3 + L1
L4 ← L4 − 2L1
ë
L3 ← 21 L3
Chapitre 6 – Matrices
15
Le système a des solutions (la seule ligne nulle de A0 correspond bien à un 0 dans B).
On a 3 inconnues principales x, y, t et 2 inconnues secondaires z, u : on passe à l’étape suivante.
á
á
á
ë
1
0
0
0
2
1
0
0
1 1 1 3
2 −1 3 −4
0 1 2 2
0 0 0 0
1
0
0
0
0
1
0
0
−3 3 −5 11
2 −1 3 −4
0
1
2
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
−3
2
0
0
0
0
1
0
L1 ← L1 − 2L2
ë
−11 5
5
−2
2
2
0
0
L1 ← L1 − 3L3
L2 ← L2 + L3
ë
On exprime alors les inconnues principales en fonction des inconnues secondaires :


 x
= 5 + 3z + 11u
y = −2 − 2z − 5u


t = 2 − 2u
À chaque choix de valeurs pour les inconnues secondaires u et z correspondent donc d’uniques valeurs de x, y
et t telles que (x, y, z, t, u) soit solution du système. On peut alors donner l’ensemble des solutions sous forme
paramétrique :
¶
©
(5 + 3z + 11u, −2 − 2z − 5u, z, 2 − 2u, u), (z, u) ∈ K2
4.3 Systèmes de Cramer
Définition 17
Un système linéaire (S ) : AX = B est dit de Cramer s’il admet une unique
solution.
Propriété 23
Soit (S ) : AX = B un système linéaire.
• (S ) est de Cramer ssi A est inversible. Dans ce cas, l’unique solution est
donnée par X = A−1 B.
• (S ) est de Cramer ssi le système homogène (S H ) associé est de Cramer.
Chapitre 6 – Matrices
16
Travaux dirigés
Exercice 20
Ç
Pour θ ∈ R, on pose Rθ =
å
cos θ − sin θ
.
sin θ cos θ
1. Montrer que pour tous θ, θ0 ∈ R, Rθ Rθ0 = Rθ+θ0 .
√
3
2
1
2
1
2√
2. En déduire la valeur de
−
3
2
!2011
.
Exercice 21
Une matrice de Mn (R) est dite stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et que la somme de chacune
de ses lignes vaut 1.
Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est stochastique.
ExerciceÇ22
å
1 −1
.
−1 1
1. Déterminer An pour n ∈ N.
Soit A =
2. Soient x0 , y0 ∈ R. On définit deux suites (xn )n∈N et (yn )n∈N par
xn+1 = xn − yn
yn+1 = −xn + yn
(
∀n ∈ N
Ç å
xn
.
yn
(a) Pour n ∈ N, exprimer Xn+1 en fonction de A et de Xn .
Pour n ∈ N, on pose Xn =
(b) En déduire les expressions de xn et yn en fonction de x0 , y0 et de n ∈ N.
Exercice 23
Ö
Soient A =
4
2
2
0
0
0
−4 −2 −2
è
Ö
,
B=
è
0
0
0
3
4
3
−3 −4 −3
Ö
et C =
−4 −2 −2
3
4
3
1 −2 −1
1. Calculer AB et BA.
2. Calculer A2 et en déduire la valeur de An pour n ∈ N∗ .
3. Calculer B2 et en déduire la valeur de Bn pour n ∈ N∗ .
4. Déduire de ce qui précède la valeur de C n pour n ∈ N∗ .
Exercice 24
Ö
On considère un réel a et les matrices J =
1. Calculer Bn et J n pour n ∈ N.
2. En déduire la valeur de An pour n ∈ N.
è
0 1 1
0 0 1
0 0 0
, B = aI3 et A = J + B.
è
.
Chapitre 6 – Matrices
17
Exercice 25
Ö
On considère les matrices A =
3 1 1
1 3 1
1 1 3
è
Ö
et B =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
è
.
1. Calculer Bn pour n ∈ N∗ .
2. En déduire que pour n ∈ N∗ , An = 2n I3 +
5n −2n
3 B.
Exercice 26
Déterminer si c’est possible l’inverse des matrices suivantes.
Ö
1.
1
2 −1
2
4 −1
−2 −5 3
Exercice 27 Ö
1. Soit A =
è
Ö
2.
è
á
2 −3 −1
1
1 −3
−3 −1 7
3.
−1
0
1
2
0
1
2
3
1
2
3
4
ë
2
3
4
5
á
4.
1 −2 1
0
1 −2 2 −3
0
1 −1 1
−2 3 −2 3
è
1 0
2
1 2 −2
1 −1 1
.
(a) Calculer A3 − 4A2 + A + 6I3 .
(b) En déduire que A est inversible et exprimer son inverse en fonction de A.
2. Généralisation : Soit A ∈ Mn (K) et P =
n
P
k=0
ck X k ∈ K[X] tel que P(A) = 0 (on dit que P est un polynôme
annulateur de A).
Montrer que si c0 , 0, alors A est inversible.
Exercice 28
Soit A = (ai, j ) ∈ Mn (K). On appelle trace de A, et l’on note Tr A le scalaire
Tr A =
n
X
ak,k
k=0
Autrement dit, la trace d’une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux.
1. Montrer que pour tous A, B ∈ Mn (K) et λ ∈ K, Tr(A + λB) = Tr(A) + λ Tr(B).
2. Montrer que pour tous A, B ∈ Mn (K), on a Tr(AB) = Tr(BA).
3. En déduire que deux matrices semblables ont la même trace.
Exercice 29
Soit (un )n∈N laÖsuite définie è
par u0 = 0,Öu1
0 1 0
1
On pose A = 0 0 1 et P = 1
6 −11 6
1
= 1, u2è= 2 et ∀n ∈ N, un+3 = 6un+2 − 11un+1 + 6un .
1 1
2 3 .
4 9
1. Montrer que P est inversible et calculer P−1 AP.
2. En déduire la valeur de An pour n ∈ N.
3. Calculer un pour n ∈ N.
ë
Chapitre 6 – Matrices
18
Exercice 30
On cherche à déterminer les matrices A ∈ Mn (K) telles que ∀B ∈ Mn (K), AB = BA.
1. Soit A ∈ Mn (K). Calculer AEk,l et Ek,l A pour l, k ∈ ~1, n.
2. Conclure.
Exercice 31
Résoudre les systèmes linéaires suivants :


3x − y + z = 5


 2x + y − z = 1
1.

x−y+z=2



3.
4x + y + z = 3
4.
2.


 2x + y − z = 1
3x + 3y − z = 2
=2

 2x + 4y
5.


 2x + y + z = 1
x−y−z=2

 4x − y − z = 5


 x+y+z−t=1
x−y−z+t=2

 x−y−z−t=3


 2x + y − iz = 1
ix − y + z = 2

 4x + y + z = 3
Exercice 32
Discuter suivant les valeurs des paramètres réels λ et m les solutions dans R des systèmes suivants.


 x
− y + z = λx
−x + y + z = λy
1.

 x + y + z = λz


 x
− my + m2 z = 2m
mx − m2 y + mz = 2m
2.

 mx +
y − m2 z = 1 − m