Matrices 1 Matrices à éléments dans K

Chapitre 6–Matrices 1
BCPST 851 6 décembre 2011
Chapitre 6
Matrices
Dans tout le chapitre, Kdésignera Rou C.
1 Matrices à éléments dans K
1.1 Algèbre des matrices
D´ efinition 1
Soient n,p∈N∗. On appelle matrice de taille (n,p) à coefficients dans Kun
tableau d’éléments de Kà n lignes et p colonnes.
Si A est une matrice (n,p)et que l’on note (ai,j)16i6n
16j6p
ses coefficients, on a :
A=(ai,j)16i6n
16j6p
=Öa1,1··· a1,p
.
.
..
.
.
an,1··· an,pè
•ai,j(avec 16i6n et 16j6p) est appelé le coefficient (ou élément) en
i-ème ligne et j-ème colonne de A. C’est un élément de K.
•Deux matrices sont égales si elles ont même taille et mêmes coefficients.
•On note Mn,p(K)l’ensemble des matrices à coefficients dans Kde taille
(n,p).
•On note 0Mn,p(K)la matrice de taille (n,p)dont tous les coefficients sont
nuls.
•Les matrices de taille (n,1) sont appelées matrices colonnes.
•Les matrices de taille (1,p)sont appelées matrices lignes.
D´ efinition 2
Soient A =(ai,j)16i6n
16j6p
et B =(bi,j)16i6n
16j6p
deux matrices de Mn,p(K)et λ∈K.
On définit
•A+B=(ai,j+bi,j)16i6n
16j6p
•λA=(λai,j)16i6n
16j6p
Remarques
•L’addition de matrices se fait donc coefficient par coefficient. Pour additionner deux matrices, il faut
qu’elles soient de même taille (même nombre de colonnes et même nombre de lignes).
•On notera −Apour (−1)Aet A−Bpour A+(−B).
Propri´ et´ e1
Soient n,p∈N∗, A,B∈ Mn,p(K)et λ, µ ∈K.
•λ(A+B)=λA+λB
•λA+µA=(λ+µ)A
•A+B=B+A (l’addition est commutative)
•(A+B)+C=(A+B)+C (l’addition est associative)

Chapitre 6–Matrices 2
D´ efinition 3
Soient n,p,q∈N∗, A ∈ Mn,p(K)et B ∈ Mp,q(K).
On définit AB =(ci,l)16i6n
16j6q
avec ci,j=
p
P
k=1ai,kbk,j. AB est une matrice (n,q).
j
b1,1b1,jb1,q
k
//
bk,1bk,jbk,q
bp,1bp,j
bp,q
a1,1a1,ka1,pc1,1c1,jc1,q
i//
ai,1ai,kai,p// ci,1ci,jci,q
an,1an,kan,pcn,1cn,jcn,q
Remarques
•Le produit de deux matrices est donc défini si et seulement si le nombre de colonnes de la première
matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième.
•Le produit AB peut donc être défini sans que BA le soit.
•Même si AB et BA sont tous les deux définis, il n’y a aucune raison qu’ils soient égaux : la multipli-
cation matricielle n’est pas commutative.
•On peut très bien avoir AB =0avec A,0et B,0.
Exercice 1Effectuer les produits suivants :
1. Ç1 2
1−1å×Ç2 0 3 2 0 −1å;
2. Ç1 2 −2
0 0 0 å×Ö1
2
3è;
3. Ä1 2ä×Ç2 0 −3
1 1 2 å;
4. Ä123ä×Ö3
4
−1è.
Exemple 2
1. Soient A=Ç1 1
0 3ået B=Ç0 2 1 0å.AB et BA sont bien définis, mais AB ,BA.
2. Soient A=Ç0 2
0 0ået B=Ç4 7 0 0å. On a AB =0 alors que Aet Bsont non nulles.

Chapitre 6–Matrices 3
Propri´ et´ e2
Soient n,p,q,r∈N∗.
•Soient A ∈ Mn,p(K), B ∈ Mp,q(K)et C ∈ Mp,q(K).
A(B+C)=AB +AC
•Soient A ∈ Mn,p(K), B ∈ Mn,p(K)et C ∈ Mp,q(K).
(A+B)C=AC +BC
•Soient A ∈ Mn,p(K), B ∈ Mp,q(K)et C ∈ Mq,r(K).
A(BC)=(AB)C
Propri´ et´ e3
Sous réserve que les multiplications soient bien définies, on a :
•ÖC1
···  Cnè×Öx1
.
.
.
xnè=Öx1C1+··· +xnCnè;
•Äx1··· xnä×ÜL1
.
.
.
Lnê=Äx1L1+··· +xnLnä;
•A×ÖC1
···  Cnè=ÖAC1 ···  ACnè;
•ÜL1
.
.
.
Lnê×A=ÜL1A
.
.
.
LnAê.
Remarque
On en déduit que :
•si Aa une ligne nulle, alors AB a une ligne nulle ;
•si Ba une colonne nulle, alors AB a une colonne nulle.
D´ efinition 4
Soient n,p∈N∗et (i,j)∈~1,n×~1,p.
On note Ei,j(n,p)(ou simplement Ei,js’il n’y a pas d’ambiguïté) la matrice de
Mn,p(K)dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d’indice (i,j)qui vaut 1.
Ces matrices Ei,jsont appelées matrices élémentaires.
Exemple 3E1,2(2,3) =Ç010
000å,E3,2(3,2) =Ö0 0
0 0
0 1è.
Propri´ et´ e4
Soit A =(ai,j)∈ Mn,p(K). On a A =P
16i6n
16j6p
ai,jEi,j.
Exemple 4Ç1−3
2 0 å=1Ç1 0 0 0å−3Ç0 1 0 0å+2Ç0 0 1 0å+0Ç0 0 0 1å=E1,1−3E1,2+2E2,1
Exercice 5Soient n,p,q∈N∗. Calculer suivant les valeurs de i,j,ket lle produit Ei,j(n,p)×Ek,l(p,q).

Chapitre 6–Matrices 4
1.2 Transposition
D´ efinition 5
Soient n,p∈N∗et A =(ai,j)∈ Mn,p(K). On appelle transposée de A, et l’on
note tA, la matrice (bi,j)16i6p
16j6n∈ Mp,n(K)vérifiant :
∀(i,j)∈~1,p×~1,n,bi,j=aj,i
Remarque
Les lignes de tAsont les colonnes de Aet inversement.
Exemple 6La transposée de Ç123
204åest Ö1 2
2 0
3 4è.
Propri´ et´ e5
Soient n,p,q∈N∗,λ∈K, A,B∈ Mn,p(K)et C ∈ Mp,q(K). On a
•t(tA)=A
•t(λA)=λtA
•t(A+B)=tA+tB
•t(AC)=tCtA
Remarque
Plus généralement, si les produits sont bien définis, on a t(A1× ··· × Ak)=tAk× ··· ×tA1.
1.3 Matrices carrées
D´ efinition 6
Pour n ∈N∗, on note Mn(K)l’ensemble des matrices à n lignes et n colonnes
à coefficients dans K, dites matrices carrées de taille n.
Remarque
Autrement dit, Mn(K) est simplement une abréviation pour Mn,n(K).
D´ efinition 7
Soit n ∈N∗. On appelle matrice identité (de taille n), et l’on note In, la matrice
de Mn(K)dont les coefficients ai,jvérifient :
ai,j=(0 si i,j
1 si i=j
Remarque
Autrement dit, la matrice identité est constituée de 1 sur la diagonale (principale) et de 0 ailleurs.

Chapitre 6–Matrices 5
Propri´ et´ e6
Soient n,p∈N∗et A ∈ Mn,p(K). On a
InA=AIp=A
D´ efinition 8
Soient n ∈N∗et A ∈ Mn(K). On définit par récurrence Appour p ∈Npar :
•A0=In
•Pour p ∈N, Ap+1=A×Ap=Ap×A
Propri´ et´ e7
Soient n ∈N∗, A ∈ Mn(K)et p,q∈N.
•Ap+q=ApAq
•(Ap)q=Apq
•t(Ak)=(tA)k.
Propri´ et´ e8
Soient n ∈N∗, A,B∈ Mn(K)et p ∈N.
On suppose que Aet Bcommutent,i.e. que AB =BA. On a alors
•(AB)p=ApBp
•(A+B)p=
p
P
k=0p
kAkBp−k(formule du binôme)
Exercice 7Soient J=Ç0 1
0 0ået A=Ç3 1 0 3å.
1. Calculer Jnpour n∈N.
2. En déduire Anpour n∈N.
1.4 Inverse d’une matrice carrée
D´ efinition 9
Soient n ∈N∗et A ∈ Mn(K).
On dit que A est inversible s’il existe B ∈ Mn(K)telle que AB =BA =In.
Dans ce cas, B est unique, appelée inverse de A et notée A−1.
On note GLn(K)l’ensemble des matrices inversibles de Mn(K).
Remarque
La propriété 3 montre que si une matrice a une ligne ou une colonne nulle, alors elle n’est pas inversible.