Suites numériques.

Université Toulouse 2 le Mirail
L2 MASS. Rattrapage analyse S3
Année universitaire 2006/2007
Suites numériques.
Exercice 1
1. Montrer que toute suite convergeante est bornée.
2. Montrer que toute suite croissante non majorée tend vers +∞
3. Montrer que si une suite converge, alors sa limite est unique.
4. (a) Soit (un ) une suite numérique telle que (u2n ) et (u2n+1 ) convergent et ont même
limite `. Montrer qu’alors (un ) converge également vers `.
(b) En déduire que la suite ((−1)n )n∈N n’a pas de limite.
5. Montrer que si (un ) est une suite positive qui ne tend pas vers +∞, alors (un ) admet une
sous suite convergente.
********************
Exercice 2 Soit (un ) une suite numérique. on suppose que les suites extraites (u2n ), (u2n+1 )
et (u3n ) convergent. Montrer qu la suite (un ) converge également et que toutes ces suite ont
même limite.
********************
Exercice 3
1. Soit (rn )n∈N une suite d’entiers relatifs qui converge et soit r sa limite.
(a) Montrer que (rn ) est stationnaire à partir d’un certain rang. (Rappel : la plus petite
distance entre deux entier distincts est 1...)
(b) En déduire que r est un entier relatif.
2. Soit x ∈ R\Q et soit (un ) une suite de nombres rationnels qui converge vers x. Pour tout
n ∈ N, on note
pn
un = , (pn , qn ) ∈ Z × N∗ .
qn
Montrer que (qn ) et (|pn |) tendent vers +∞.
********************
Exercice 4 Soit f : N → N une application injective. Montrer que la suite (f (n))n∈N tend
vers l’infini.
********************
Exercice 5 Calculer les limites des suites (un )n∈N dans les cas suivantes :
3n − 2n
a) un = n
,
3 + 2n
b) un =
√
n
1
n2 ,
c) un =
√
n+1−
√
n
********************
Exercice 6 Soient (un )n>2 et (vn )n>2 définies par
un =
n
Y
cos
k=2
π
2k
,
vn = un sin
1. Montrer que (un ) est monotone.
2. Montrer que (vn ) est une suite géométrique.
3. En déduire vn puis un en fonctions de n.
4. En déduire la limite de la suite (un ).
********************
Exercice 7 Soit (un )n∈N∗ définie par
√ n 2n
un = n
.
4
n
1. Montrer que (un ) est monotone.
2. Soit (vn ) définie par vn = ln un+1 − ln un .
(a) Montrer que pour tout x ∈ R+ , on ln(x + 1) 6 x.
n
X
1
vk 6 .
(b) En déduire que
8
k=1
3. En déduire que (un ) converge.
2
π
2n
.