Série 8

Introduction ` a la th´ eorie des nombres. Bachelor Semestre 6
Prof. E. Bayer Fluckiger 16 mars 2012
S´erie 8
Dans toute la s´erie, Ad´esigne un groupe ab´elien. Un tel groupe ab´elien Aest
muni d’une loi de composition externe
Z×A−→ A
(n, a)7−→ na
tel que pour tout (n, m)∈Z×Zet tout (a, b)∈A×Aon ait
•n.(a+b) = n.a +n.b
•(m+n).a =n.a +m.a
•1Z.a =a
•n.(m.a)=(nm).a
Exercice 1. (Groupes de torsion, groupes sans torsion)
Les ´el´ements d’ordre fini d’un groupe Gsont appel´es ´el´ements de torsion de G.
On dit qu’un groupe est de torsion (respectivement sans torsion) si tous ses
´el´ements sont de torsion (respectivement son seul ´el´ement de torsion est son
´el´ement neutre).
(1) V´erifier que l’ensemble Ators des ´el´ements d’ordre fini d’un groupe ab´elien
Aest un sous-groupe de A. Que se passe t-il si An’est pas ab´elien ?
Notation : le sous-groupe Ators est appel´e sous-groupe de torsion de A.
(2) Quel est le sous-groupe de torsion de Z? de Z/nZ? de C∗?
Exercice 2. (Groupes de type fini)
Un groupe Gest dit de type fini si Gest engendr´e par une famille finie
d’´el´ements de G.
(1) Montrer qu’un groupe ab´elien Aest de type fini si et seulement si il existe
un entier ret un homomorphisme surjectif φ:Zr−→ A.
(2) Donner une famille g´en´eratrice de Zne contenant aucune sous-famille
engendrant Z.
(3) Soit Hun sous-groupe distingu´e d’un groupe G.
(a) Montrer que si Gest de type fini, alors G/H est de type fini.
(b) Montrer que si Het G/H sont de type fini, alors Gest de type fini.
Remarque : le groupe G=ha, bid´efini par deux g´en´erateurs sans
aucune relation est un groupe de type fini. Son sous-groupe d´eriv´e
n’est pas type fini. Par contre tout sous-groupe d’un groupe ab´elien
de type fini est de type fini.

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Exercice 3. (Groupes ab´eliens libres de type fini)
Soit Aun groupe ab´elien de type fini. Une famille (x1,· · · xr) d’´el´ements de A
est dite libre si
r
X
i=1
nixi6= 0 pour toute famille (x1,· · · xr)∈Zrnon nulle. On dit
que Aest ab´elien libre de type fini si Aadmet une base i.e. une famille libre et
g´en´eratrice.
(1) Donner une famille libre maximale de Zqui ne soit pas g´en´eratrice.
(2) Montrer que tout sous-groupe d’un groupe ab´elien libre de rang rest un
groupe ab´elien libre de rang au plus r.
Indication : la preuve se fait par r´ecurrence sur ren utilisant la projection
π:Zr−→ Z
(n1,· · · , nr)7−→ nr
.
(3) Montrer que tout-sous-groupe d’un groupe ab´elien de type fini est de type
fini.
Exercice 4. (Classification des groupes ab´eliens de type fini)
(1) Montrer que Hom (Zn,Zm) est isomorphe au groupe Mn×m(Z) des matri-
ces de taille n×m`a coefficient entiers.
(2) Soit φ:Zn−→ Znun homomorphisme de groupe et M∈Mn(Z) la
matrice de φdans la base canonique de Zn.
(a) Montrer que φest injectif si et seulement si det(M)6= 0.
(b) Montrer que φest surjectif si et seulement si det(M) = ±1.
(3) Montrer par r´ecurrence sur nque toute matrice M∈Mn(Z) s’´ecrit
M=Udiag (d1,· · · , dn)V
avec U, V ∈Mn(Z) inversibles dans Mn(Z) et diag (d1,· · · , dn) une ma-
trice diagonale `a coefficients d1,· · · , dn∈Ztels que di|di+1 pour tout
indice i∈ {1,· · · , n −1}.
Indication : on pourra utiliser l’algorithme d’Euclide.
(4) En d´eduire que tout groupe ab´elien de type fini est isomorphe `a un groupe
de la forme
Zr×
s
Y
i=1
Z/diZ
avec r∈Nun entier, d1,· · · , ds∈Zdes entiers non nuls tels que di|di+1
pour tout indice i∈ {1,· · · , s −1}.