Série 8

Introduction à la théorie des nombres.
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 6
16 mars 2012
Série 8
Dans toute la série, A désigne un groupe abélien. Un tel groupe abélien A est
muni d’une loi de composition externe
Z × A −→ A
(n, a) 7−→ na
tel que pour tout (n, m) ∈ Z × Z et tout (a, b) ∈ A × A on ait
• n.(a + b) = n.a + n.b
• (m + n).a = n.a + m.a
• 1Z .a = a
• n.(m.a) = (nm).a
Exercice 1. (Groupes de torsion, groupes sans torsion)
Les éléments d’ordre fini d’un groupe G sont appelés éléments de torsion de G.
On dit qu’un groupe est de torsion (respectivement sans torsion) si tous ses
éléments sont de torsion (respectivement son seul élément de torsion est son
élément neutre).
(1) Vérifier que l’ensemble Ators des éléments d’ordre fini d’un groupe abélien
A est un sous-groupe de A. Que se passe t-il si A n’est pas abélien ?
Notation : le sous-groupe Ators est appelé sous-groupe de torsion de A.
(2) Quel est le sous-groupe de torsion de Z ? de Z/nZ ? de C∗ ?
Exercice 2. (Groupes de type fini)
Un groupe G est dit de type fini si G est engendré par une famille finie
d’éléments de G.
(1) Montrer qu’un groupe abélien A est de type fini si et seulement si il existe
un entier r et un homomorphisme surjectif φ : Zr −→ A.
(2) Donner une famille génératrice de Z ne contenant aucune sous-famille
engendrant Z.
(3) Soit H un sous-groupe distingué d’un groupe G.
(a) Montrer que si G est de type fini, alors G/H est de type fini.
(b) Montrer que si H et G/H sont de type fini, alors G est de type fini.
Remarque : le groupe G = ha, bi défini par deux générateurs sans
aucune relation est un groupe de type fini. Son sous-groupe dérivé
n’est pas type fini. Par contre tout sous-groupe d’un groupe abélien
de type fini est de type fini.
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Exercice 3. (Groupes abéliens libres de type fini)
Soit A un groupe abélien de type fini. Une famille (x1 , · · · xr ) d’éléments de A
r
X
est dite libre si
ni xi 6= 0 pour toute famille (x1 , · · · xr ) ∈ Zr non nulle. On dit
i=1
que A est abélien libre de type fini si A admet une base i.e. une famille libre et
génératrice.
(1) Donner une famille libre maximale de Z qui ne soit pas génératrice.
(2) Montrer que tout sous-groupe d’un groupe abélien libre de rang r est un
groupe abélien libre de rang au plus r.
Indication : la preuve se fait par récurrence sur r en utilisant la projection
π:
Zr
−→ Z .
(n1 , · · · , nr ) 7−→ nr
(3) Montrer que tout-sous-groupe d’un groupe abélien de type fini est de type
fini.
Exercice 4. (Classification des groupes abéliens de type fini)
(1) Montrer que Hom (Zn , Zm ) est isomorphe au groupe Mn×m (Z) des matrices de taille n × m à coefficient entiers.
(2) Soit φ : Zn −→ Zn un homomorphisme de groupe et M ∈ Mn (Z) la
matrice de φ dans la base canonique de Zn .
(a) Montrer que φ est injectif si et seulement si det(M ) 6= 0.
(b) Montrer que φ est surjectif si et seulement si det(M ) = ±1.
(3) Montrer par récurrence sur n que toute matrice M ∈ Mn (Z) s’écrit
M = U diag (d1 , · · · , dn ) V
avec U, V ∈ Mn (Z) inversibles dans Mn (Z) et diag (d1 , · · · , dn ) une matrice diagonale à coefficients d1 , · · · , dn ∈ Z tels que di |di+1 pour tout
indice i ∈ {1, · · · , n − 1}.
Indication : on pourra utiliser l’algorithme d’Euclide.
(4) En déduire que tout groupe abélien de type fini est isomorphe à un groupe
de la forme
s
Y
r
Z ×
Z/di Z
i=1
avec r ∈ N un entier, d1 , · · · , ds ∈ Z des entiers non nuls tels que di |di+1
pour tout indice i ∈ {1, · · · , s − 1}.