1.4 Classification des groupes commutatifs de type finis

20
1.4
1.4.1
CHAPITRE 1. GROUPES
Classification des groupes commutatifs de type
finis
Les groupes cycliques
Dans ce paragraphe, on donne la classification de tous les groupes abéliens avec
une partie génératrice finie. D’abord on donne quelques propriétés générales des
groupes cycliques, les démonstrations étant laissées comme exercices. Rappelezvous qu’un groupe cyclique est un groupe qui est engendré par un seul élément.
Théorème 1.45 (Classifications des groupes cycliques). Chaque groupe cyclique
infini est isomorphe à (C∞ , ·) ∼
= (Z, +).
Chaque groupe cyclique fini d’ordre n est isomorphe à (Cn , ·) ∼
= (Zn , +).
Par conséquent, deux groupes cycliques sont isomorphes si et seulement s’ils ont
le même ordre. Tous les groupes cycliques sont abéliens.
Proposition 1.46 (Sous-groupes des groupes cycliques).
(i) Chaque sous-groupe d’un groupe cyclique est un groupe cyclique.
(ii) Soit G = "g#, un groupe cyclique! d’ordre
n et soit k un nombre entier. Alors
"
n
k
l’ordre du sous-groupe cyclique g ⊂ G est PGCD(k,n)
.
(iii) Soit G un groupe cyclique engendré par g, alors G est aussi engendré par
chaque g k tel que PGCD(k, n) = 1.
(iv) Soit G un groupe cyclique d’ordre n. Si d est un diviseur
!
" de n. Alors G a
exactement un sous-groupe d’ordre d, c’est à dire g n/d . En outre, il y a
exactement d! solutions
à l’équation xd = eG et celles-ci sont exactement les
"
n/d
éléments de g
.
Remarquons que la proposition précédente implique que l’ordre d’un sousgroupe d’un groupe cyclique G est un diviseur de l’ordre de G, un fait qui suit
aussi du Théorème de Lagrange.
Proposition 1.47 (Groupes cycliques et des morphismes). Soit G un groupe arbitraire et φ : Cn → G un morphisme de groupes. Alors, Imφ est un groupe cyclique
isomorphe à Ck , avec k un diviseur de n.
L’intérêt des groupes cycliques est qu’ils apparaissent souvent, par exemple
comme le groupe additif d’un corps fini. Ils nous permettent aussi de construire
des structures plus complexes, comme des corps finis, qu’on va étudier plus tard.
Comme application on donne déjà la proposition suivante.
Proposition 1.48. Soit Cn un groupe cyclique. Alors
Aut (Cn ) ∼
= {g k ∈ Cn | PGCD(n, k) = 1}.
En particulier, si p est un nombre premier, Zp est un corps commutatif.
1.4. GROUPES COMMUTATIVES DE TYPE FINIS
21
Démonstration. Soit g ∈ Cn un générateur et considérons φ ∈ End(Cn ). Alors,
φ(g) = g a pour un certain a ∈ {1, . . . , n} qu’on dénote dans ce cas φ = φa .
Observons que φa est un automorphisme si et seulement si φa (g) est un générateur
de Cn , donc si et seulement si PGCD(a, n) = 1. Donc Aut (Cn ) ∼
= {x ∈ Cn | est un
a
générateur de Cn } = {g | PGCD(a, n) = 1}.
Supposons maintenant que p est un nombre premier. Alors, Aut (Cp ) = {g i | i =
1, . . . , p − 1} = {φi | i = 1 . . . , p − 1}.
φi ◦ φj (g) = g ji = φji (g) = φij (g).
De plus, puisque g a = g b si et seulement si a ≡ b(mod p), on trouve que la multiplication modulo p donne une structure de groupe commutatif sur l’ensemble
{1, . . . , p − 1}. Par ailleurs, faisons l’identification (Cp , ·) ∼
= (Zp , +) = ({0̄, 1̄, . . . ,
p − 1}, +), et Aut (Zp ) = {1, . . . , p − 1}. Ecrivons i · ā pour calculer l’image d’un
élement ā ∈ Zp sous l’automorphisme i ∈ Aut (Zp ). Alors, on trouve que φi ∈
Aut (Cp ) est un morphisme, c’est-à-dire,
φi (g a g b ) = φi (g a )φi (g b )
qui s’exprime comme
i · (ā + b̄) = i · ā + i · b̄,
ce qui signifie que · est distributive par rapport à + dans Zp . Donc si on identifie
i ∈ Aut (Zp ) avec ī ∈ Zp , on trouve que Zp est un corps commutatif.
Lemme 1.49. Soient G et H deux groupes finis tels que |G| = |H|. Alors un
morphisme de groupes f : G → H est un monomorphisme si et seulement si f est
un épimorphisme (si et seulement si f est un isomorphisme).
Démonstration. En vertu du premier théorème d’isomorphisme, on obtient que
|G| = |Ker f ||Im f |.
Alors le résultat suit facilement de la Proposition 1.27.
Proposition 1.50.
(i) Soit PGCD(n, k) = 1. Alors Cn × Ck ∼
= Cnk .
(ii) Soit n ∈ N∗ et n = pn1 1 pn2 2 · · · pnk k la décomposition en produit de facteurs
premiers de n. Alors
Cn ∼
= Cpn1 1 × Cpn2 2 × · · · × Cpnk k .
Démonstration. On démontre seulement (i), la deuxième partie suit par répétition.
Comme les deux groupes contiennent le même nombre d’éléments, il suffit de
démontrer qu’il existe un monomorphisme θ : Cnk → Cn × Ck (en utilisant
22
CHAPITRE 1. GROUPES
Lemme 1.49). Alors, soit a (respectivement b et c) un générateur de Cn (resp.
Ck et Cnk ) et définissons
θ(ci ) = (ai , bi ),
pour i ∈ N. Il est clair que θ est un morphisme de groupes. En outre, ai = e
et bi = e est équivalent à i ≡ 0(mod n) et i ≡ 0(mod k). Comme n et k sont
relativement premiers, il suit que i ≡ 0(mod nk), et θ est injective.
1.4.2
Le théorème fondamental des groupes abéliens finis
Notation 1.51. Soit G un groupe de type fini. On dénote par d(G) le nombre
cardinal minimal d’un ensemble générateur de G. Remarquons que d(G) existe et
est fini.
Théorème 1.52 (théorème fondamental - première version). Soit (G, +) un groupe
commutatif fini. Alors il existe une unique suite (d1 , d2 , . . . , dd(G) ), telle que dj+1
divise dj pour tout j entier entre 1 et d(G) − 1, pour laquelle on a l’isomorphisme,
G∼
= (Z/d1 Z) × (Z/d2 Z) × · · · × (Z/dd(G) Z)
Démonstration. Si d(G) = 1, l’assertion est évidente. Pour la suite, raisonnons par
induction. Supposons dès lors que d(G) = s ≥ 2 et que le théorème est satisfait
pour tout G# avec d(G# ) < s.
On commence par construire un groupe Cm et un morphisme G ∼
= Cm × G# .
Soit m le plus petit nombre entier strictement positif, tel qu’il existe s générateurs
g1 , . . . , gs qui satisfont la relation (remarquez qu’on utilise la notation additive
pour G)
mg1 + a2 g2 + . . . + as gs = 0,
ai ∈ Z.
(1.3)
Remarque : m est bien défini : si on prend comme coéfficient de chaque générateur
son ordre, il est toujours possible de trouver une relation de ce type pour chaque
collection de générateurs. Donc, en particulier, m est au maximum l’ordre d’un
élément (un générateur) de G. On prouvera qu’il existe toujours un élément (un
générateur) de G qui a comme ordre exactement m.
Divisons ai par m pour i = 2, . . . , s, c’est-à-dire, ai = mqi + ri , ou 0 ≥ ri < m.
Définissons
h1 = g1 + q2 g2 + . . . qs gs .
On peut vérifier (exercice !) que (h1 , g2 , . . . , gs ) est de nouveau une partie génératrice
pour G. Alors, on trouve
(1.3) = mg1 + (mq2 + r2 )g2 + . . . + (mqs + rs )gs
= m(g1 + q2 g2 + . . . + qs gs ) + r2 g2 + . . . + rs qs
= mh1 + r2 g2 + . . . + rs qs
1.4. GROUPES COMMUTATIVES DE TYPE FINIS
23
Comme m > 0 était minimal dans (1.3), on trouve que ri = 0 pour i = 2, . . . s, et
alors, mh1 = 0, c’est-à-dire, ord(h1 ) = m.
On définit l’application
θ : "h1 # × "g2 , . . . , g2 # → G,
(a, b) ,→ θ(a, b) = a + b.
Il est clair que θ est un morphisme de groupes. De plus, θ est surjective car G est
engendré
Supposons que (a, b) ∈ Ker θ, avec a = lh1 , 0 ≤ l < m
# par h1 , g2 , . . . , gs .#
et b = i bi gi . Alors lh1 + i bi gi = 0. La minimalité de m nous donne que l = 0,
donc a = 0 et aussi b = 0, donc Ker θ est trivial et θ est aussi injective, donc un
isomorphisme.
A ce stade, on a démontré que
G∼
= (Z/mZ) × G# .
L’argument d’induction implique que
G∼
= (Z/mZ) × (Z/d2 Z) × · · · × (Z/dd(G! ) Z)
ou di |di+1 pour 2 ≤ i < d(G# ). Par construction, on sait que d(G# ) = d(G) − 1.
Démontrons que m est un diviseur de d2 . Soit h2 en générateur de Cd2 ≤ G. Alors
mh1 + d2 h2 = 0. Si on divise d2 par m, c’est à dire, d2 = e2 m + f2 , 0 ≤ f2 < m, on
obtient
m(h1 + e2 h2 ) + f2 h2 + (0g3 + . . . + 0gs ) = 0,
et ceci est en contradiction avec la minimalité de m si f2 .= 0.
On finit cette preuve en contrôlant l’unicité. Le nombre m dans la construction
ci-dessus est unique, étant donnés le groupe G et G ∼
= Cm × G# , pour un certain
#
#
groupe G . Ce groupe G est de nouveau unique à isomorphisme près, car G# ∼
=
G/Cm (voir Exemple 1.31(5)). Donc par induction, toute la suite (m, d2 , . . . , ds )
est unique.
Remarque 1.53. Par construction, le nombre d1 est le “plus petit ordre” d’un
générateur de G. Il peut exister des éléments avec un plus petit ordre dans G. Par
d!
exemple, si d1 est paire, d1 = 2d#1 et Cd1 = "g1 #, alors ord(g1 1 ) = 2 < d1 .
Le nombre dd(G) a un interprétation plus exacte. C’est l’ordre le plus grand d’un
générateur de G, qui l’ordre le plus grand parmi tous les ordres d’éléments de G.
De plus, cet ordre est un multiple de l’ordre de chaque élément dans G. On appelle
ce nombre l’exposant de G. En général, on definit l’exposant d’un groupe G comme
le plus petit nombre n ∈ N0 , s’il existe, tel que
g n = eG ,
∀g ∈ G.
De manière équivalente, l’exposant est le plus petit commun multiple des ordres
des éléments si tous ces ordres sont finis et admettent un majorant commun, et
l’infini sinon.
24
CHAPITRE 1. GROUPES
L’exposant d’un groupe fini est nécessairement fini : c’est même un diviseur de
l’ordre du groupe. En effet, dans un groupe fini, l’ordre de chaque élément divise
l’ordre du groupe d’après le théorème de Lagrange.
Tout groupe abélien d’exposant fini contient au moins un élément dont l’ordre
est égal à l’exposant du groupe. En effet, dans un groupe abélien, l’ensemble des
ordres des éléments est stable par PPCM, donc si cet ensemble possède un maximum, cet ordre est multiple de tous les autres.
Corollaire 1.54 (theorème fondamental - deuxième version). Chaque groupe abélien
fini G est isomorphe à un produit direct des groupes cyclique d’ordre un puissance
d’un nombre premier.
G∼
= Cq1 × Cq2 × · · · × Cqk ,
ou qi = pni i et pi est un nombre premier pour i = 1, . . . , k.
Démonstration. Suit du Théorème 1.52 et Proposition 1.50.
Corollaire 1.55. Soient K un corps commutatif et G un sous-groupe fini du groupe
multiplicatif de K ∗ . Alors G est cyclique.
En particulier, Z∗p , · ∼
= Cp−1 .
Démonstration. Par le théorème fundamental et pas la Remarque 1.53, on sait que
g dd(G) = 1 pour tout g ∈ G. Mais l’equation xdd(G) = 1 a au plus dd(G) solutions en
K. Donc la décomposition de G consiste en un groupe cyclique CdG .
Le dernier resultat n’est plus valable pour les corps non-commutatifs. Par
exemple, le groupe multiplicatif du corps des quaternions H, noté par Q8 , n’est
pas cyclique.
1.4.3
Groupes abéliens de type fini
Définition 1.56. Soit G un groupe et g ∈ G. On dit que g est de torsion si l’ordre
de g est fini. La torsion T de G est le sous-ensemble de tous les éléments de torsion.
On dit que G est sans torsion si la torsion de G ne contient que l’élément neutre.
Un groupe G est appelé un groupe de torsion si G est égal à sa torsion.
Par example, (Q/Z, +) est un groupe de torsion, et (Z, +) est un groupe sans
torsion.
Proposition 1.57. Soit G un groupe abélien, alors la torsion T de G est un sousgroupe de G.
Démonstration. Clairement, eG ∈ T . Considère deux éléments de torsion, g, h ∈ G,
avec o(g) = n et o(h) = m. Soit k = PPCM(n, m). Alors,
(gh−1 )k = g k (hk )−1 = eG ,
et alors T est un sous-groupe par la Proposition 1.14.
1.4. GROUPES COMMUTATIVES DE TYPE FINIS
25
Définition 1.58. On dit qu’un groupe G est de type fini si G possède une partie
génératrice finie.
Théorème 1.59. Soit (G, +) un groupe abélien sans torsion de type fini. Alors,
il existe un isomorphisme
G∼
= Zd(G)
Démonstration. Soit d(G) = s et considérons une partie génératice {g1 , . . . , gs }
pour G. On construit un morphisme de groupes
θ : Zs → G,
θ(a1 , . . . , as ) = a1 g1 + . . . as gs .
Alors, θ est surjective parce que les gi sont générateurs pour G. Soit (0, . . . , 0) .=
(a1 , . . . , as ) ∈ Ker θ. Alors,
a1 g1 + . . . as gs = 0.
Comme G est sans torsion, il existe au moins deux indices i = 1, . . . , s tels que
ai .= 0. Sans perte de généralité, on peut supposer que a1 .= 0, a1 .= 0 et |a1 | ≥| a2 |.
Il y a deux cas à discerner,
– Si |a1 − a2 | < |a2 |, on considère les générateurs g1 , g1 + g2 , g3 , . . . , gs , et on a
la relation,
(a1 − a2 )g1 + a2 (g1 + g2 ) + a3 g3 + . . . as gs = 0,
et
|a1 − a2 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |as | < |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |as |.
– Si |a1 − a2 | ≥| a2 |, alors nécessairement |a1 + a2 | < |a1 |. Dans ce cas,
considérons les générateurs g1 , g2 − g1 , g3 , . . . , gs , et faisons un calcul similaire :
(a1 + a2 )g1 + a2 (g2 − g1 ) + a3 g3 + . . . as gs = 0,
et
|a1 + a2 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |as | < |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |as |.
En continuant de diminuer les valeurs absolues des coéfficients des générateurs de
cette manière, on arrive après un nombre fini d’étapes à une relation qui contient
seulement un coéfficient non-nul. C’est à dire, on obtient un générateur g ∈ G tel
que ag = 0. Puisque G est sans torsion, il suit que g = 0 et on peut éliminer ce
g de la partie génératrice. Alors G est engendré par s − 1 éléments, ce qui est en
contradiction avec la définition de s = d(G).
Lemme 1.60. Chaque groupe (G, +) abélien de type fini est isomorphe au produit
direct d’un groupe abélien fini et un groupe abélien sans torsion de type fini.
26
CHAPITRE 1. GROUPES
Démonstration. Soit T la torsion de G. En utilisant Proposition 1.57, on sait que T
est un sous-groupe, donc aussi un sous-groupe normal de G. Considérons le quotient
G/T . Ce quotient est un groupe sans torsion. En effet, considérons g + T ∈ G/T
et supposons que ng + T = T , c’est-à-dire ng ∈ T . Alors ng a un ordre fini, donc
g aussi a un ordre fini, g ∈ T et g + T = T .
Grâce au Théorème 1.59, on sait maintenant que G/T est isomorphe à Z! , pour
# = d(G/T ). Prenons un nombre minimal de générateurs de G/T , g1 +T, .#
. . , g! +T ,
avec gi #
∈ G. Alors, il existe un morphisme f : G/T → G, donné par f ( i (ai gi +
T )) =
i ai gi . Remarquons que f satisfait la propriété que π ◦ f = idG/T , où
π : G → G/T est la projection canonique. En particulier, f est injective.
Considérons le morphisme
θ : T × G/T → G,
θ(t, x) = t + f (x).
Pour vérifier que θ est surjective, considérons un élément g ∈ G. Alors, g−f ◦π(g) ∈
T . En effet, T = Ker π et π(g − f ◦ π(g)) = π(g) − π ◦ f ◦ π(g) = π(g) − π(g) = 0.
Donc g = θ(g − π(g), π(g)) et θ est surjective. On a aussi que θ est injective.
Supposons que θ(t, x) = t + f (x) = 0. Alors, t = −f (x) et f (x) a un ordre fini.
Comme f est injective, x a un ordre fini. Alors x = 0, et donc f (x) = t = 0 et θ
est injective. Ceci finalise la démonstration.
Maintenant on arrive au théorème principal de ce paragraphe.
Théorème 1.61. Soit G un groupe abélien de type fini, alors
(i) il existe un # ≥ 0 et une suite (q1 , q2 , . . . , qt ) de puissances de nombres premiers, unique à réordonnancement près, pour lesquels on a l’isomorphisme,
G∼
= (Z/q1 Z) × (Z/q2 Z) × · · · × (Z/qt Z) × Z!
(ii) il existe un # ≥ 0 et une unique suite (a1 , a2 , . . . , ak ), telle que aj+1 divise aj
pour tout j entier entre 1 et k − 1, pour lesquels on a l’isomorphisme,
G∼
= (Z/a1 Z) × (Z/a2 Z) × · · · × (Z/ak Z) × Z!
Démonstration. On déduit directement le résultat du Lemme 1.60, du Théorème 1.52
et du Théorème 1.59.
Définition 1.62. Un sous-ensemble d’un groupe abélien (G, +) est dit linérairement
indépendant si et seulement si la seule combinaison linéaire avec coefficients dans
Z de ces éléments qui est égale à zéro est la combinaison trivial. C’est-à-dire,
{ai }i∈I ⊂ G est linéairement indépendant ssi
$
ni ai = 0, ni ∈ Z
i
1.4. GROUPES COMMUTATIVES DE TYPE FINIS
27
implique que ni = 0 pour tout i.
Le rang d’un groupe abélien est le nombre cardinal d’un sous-ensemble linéairement
indépendent maximal. Par le Théorème 1.61, on voit que le rang d’un groupe
G est exactement le nombre # (utilisant la notation du théorème), et au vu du
Lemme 1.60 et du Théorème 1.59, on déduit que # = d(G/T ).
Remarque 1.63. Les groupes non-commutatifs ont une structure plus compliquée.
Pour étudier leur structure, on utilise la notion de groupe simple, c’est-à-dire, un
groupe sans sous-groupe normal non-trivial. Les groupes cycliques d’ordre premier
sont simples. Le théorème de Jordan-Hölder décrit un groupe G un termes d’une
suite de sous-groupes normaux G = G0 ⊇ G1 ⊇ . . . ⊇ Gn = {e}, telle que chaque
quotient Gi /Gi+1 est simple.
La classification des groupes simples finis était un projet monumental qui contient
plus de 10.000 pages publiées en majorité entre 1955 et 1985.