Fonctions de plusieurs variables Notes du Cours LM 216 1 Notions

Fonctions de plusieurs variables
Notes du Cours LM 216
Albert Cohen
Dans ce cours, on s’int´eresse aux fonctions de plusieurs variables
(x1,···, xn)7→ f(x1,···, xn).
Celles-ci interviennent naturellement pour d´ecrire la d´ependance de grandeurs
en fonctions de plusieurs param`etres : par exemple la distribution de la
temp´erature ou de la pression atmosph´erique en fonction de la position dans
l’espace et du temps. Elles peuvent aussi ˆetre d´efinies par des expressions
similaires `a celles que l’on rencontre pour les fonctions d’une variable : par
exemple f(x, y, z) = sin(xy2+ 1) + √z4+ 3x2est une fonction des trois
variables x,yet z.
L’objectif principal de ce cours est de g´en´eraliser aux fonctions de plusieurs
variables les notions de d´erivation et d’int´egration qui ont ´et´e abord´ees dans
le cadre des fonctions d’une variable.
Ces notes contiennent la totalit´e des r´esultats du cours sous une forme
tr`es condens´ee. En particulier, la plupart des d´emonstrations d´etaill´ees en
amphi sont omises, et c’est un excellent exercice pour l’´etudiant que d’essayer
de les refaire uniquement `a partir des indications donn´ees dans les notes. La
pr´esentation est orient´ee sur les fonctions de nvariables, o`u nest un nombre
arbitraire, mais l’´etudiant est encourag´e `a traduire les r´esultats dans le cas
de fonctions de 2 ou 3 variables afin de s’en forger une intuition visuelle.
Avertissement : ces notes sont r´eguli`erement mises `a jour et corrig´ees.
Toutes les remarques permettant d’am´eliorer la r´edaction peuvent ˆetre en-
voy´ees `a l’adresse [email protected].
1 Notions de topologie dans IRn
1.1 Vecteurs et normes dans IRn
Rappelons qu’en dimension 2, on identifie un vecteur xde coordonn´ees
(x1, x2) avec un point du plan de coordonn´ees (x1, x2) une fois fix´ee une
origine. On g´en´eralisera ici cette identification en d´esignant le point ou le
vecteur de coordonn´ees (x1,···, xn) par x= (x1,···, xn)∈IRn.
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La norme euclidienne d’un vecteur x= (x1,···, xn)∈IRnest d´efinie par
kxk=qx2
1+··· +x2
n
Le produit scalaire de xavec y= (y1,···, yn) est d´efini par
x·y=x1y1+··· +xnyn.
on a en particulier kxk2=x·x.
In´egalit´e de Cauchy-Schwartz : pour tout xet ydans IRn
|x·y| ≤ kxkkyk,
avec ´egalit´e si et seulement si xet ysont proportionels.
In´egalit´e triangulaire : pour tout xet ydans IRn
kx+yk ≤ kxk+kyk.
On rappelle aussi que si θd´esigne l’angle entre deux vecteurs xet ynon-nuls,
on a
cos(θ) = x·y
kxkkyk.
D’un point de vue g´eom´etrique, la norme euclidienne kxkcorrespond `a
la longueur du vecteur x(ou encore `a la distance du point x`a l’origine). On
d´efinit ainsi la distance euclidienne entre deux points xet ypar
d(x, y) = kx−yk,
c’est `a dire la longeur du vecteur reliant le point xau point y.
La norme euclidienne n’est pas l’unique fa¸con de mesurer la taille d’un
vecteur x.
D´efinition 1.1 On appelle norme sur IRnune application Nde IRndans
IR+v´erifiant les trois propri´et´es suivantes
1. N(x) = 0 si et seulement si x= 0.
2. N(λx) = |λ|N(x)pour tout x∈IRnet λ∈IR.
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3. N(x+y)≤N(x) + N(y)pour tout x, y ∈IRn.
On v´erifie facilement que la norme euclidienne v´erifie ces trois propri´et´es.
Voici d’autres exemples de normes : la norme “sup” ou `∞d´efinie par
kxk∞:= sup
i=1,···,n |xi|,
la norme `pd´efinie pour 1 ≤p < +∞par
kxkp:= (|x1|p+··· +|xn|p)1/p.
On voit que le cas p= 2 correspond `a la norme euclidienne.
Etant donn´e une norme N, un point xet un nombre r≥0 on appelle
boule de centre xet de rayon rpour la norme Nl’ensemble des points `a
distance au plus rde x, c’est `a dire
B(x, r) = {y;N(y−x)≤r}.
On appelle boule unit´e la boule B(0,1) de centre 0 et de rayon 1. En
l’absence de pr´ecision sur N, il s’agira syst´ematiquement de la norme eucli-
dienne.
D´efinition 1.2 Deux normes N1et N2sont dites “´equivalentes” si et seule-
ment si il existe deux constantes c, C > 0telles que pour tout x∈IRn
cN1(x)≤N2(x)≤CN1(x).
Cette propri´et´e signifie intuitivement qu’un vecteur tr`es petit dans une
norme le sera aussi dans l’autre. On v´erifie par exemple ais´ement (en util-
isant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz) que
kxk2≤ kxk1≤n1/2kxk2.
On a aussi
n−1/2kxk2≤ kxk∞≤ kxk2.
On a en fait la propri´et´e fondamentale suivante.
Th´eor`eme 1.1 Toutes les normes sur IRnsont ´equivalentes entre elles.
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1.2 Quelques notions de topologie
Soit (pk)k>0une suite de points (ou de vecteurs) de IRn. On dit que cette
suite converge vers une limite p∈IRnsi et seulement si pour tout ε > 0, il
existe k0tel que
k≥k0⇒ kpk−pk ≤ ε.
On note alors limk→+∞pk=pou encore parfois pk→p. Dans le cas
contraire on dit que la suite diverge. Dans le cas n= 1, on a kpk−pk=
|pk−p|et on retrouve la d´efinition usuelle de la convergence des suites r´eelles.
On v´erifie ais´ement que la limite d’une suite si elle existe est unique.
Grˆace `a l’´equivalence des normes, il est possible de remplacer la norme
euclidienne par n’importe quelle autre norme Nsans alterer la d´efinition de
la convergence. Il en est de mˆeme pour toutes les notions que nous allons
introduire dans cette section.
En particulier en utilisant la norme sup, on voit que si pk= (xk,1,···, xk,n)
et p= (x1,···, xn), la convergence de la suite (pk)k≥0vers pest ´equivalente
`a la convergence pour tout i= 1,···, n de la suite des i-`eme coordonn´ees
(xk,i)k≥0vers la coordonn´ee xi.
Une suite (pk)k>0est dite “de Cauchy” si et seulement si pour tout ε > 0,
il existe k0tel que
k, l ≥k0⇒ kpk−plk ≤ ε.
On v´erifie ais´ement que toute suite convergente est de Cauchy. La r´eciproque
est aussi vraie : l’espace IRnest complet ce qui signifie que toute suite de
Cauchy est convergente. Cette propri´et´e se d´eduit ais´ement de la propri´et´e
analogue connue pour IR en utilisant la norme sup. L’int´erˆet pratique de
cette propri´et´e est qu’il n’est ainsi pas n´ecessaire de connaitre la limite d’une
suite pour pouvoir prouver sa convergence.
D´efinition 1.3 Un ensemble U⊂IRnest dit “ouvert” si et seulement si
pour tout x∈Uil existe r > 0tel que B(x, r)⊂U.
Par convention l’ensemble vide ∅est ouvert.
Pour un ensemble Equelconque on dit que xest un point int´erieur `a E
si il existe r > 0 tel que B(x, r)⊂E. L’ensemble des points int´erieur `a E
est appel´e l’int´erieur de Eet est not´e ◦
E. On v´erifie que ◦ Eest le plus grand
ouvert contenu dans Eet que Eest ouvert si et seulement si il est ´egal `a
son int´erieur.
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D´efinition 1.4 Un ensemble F⊂IRnest dit “ferm´e” si et seulement si son
compl´ementaire Fc= IRn\Fest ouvert.
Th´eor`eme 1.2 Fest ferm´e si et seulement toute suite de point de Fqui
converge a sa limite contenue dans F.
Pour un ensemble Equelconque on dit que xest une valeur d’adh´erence
de Esi il existe une suite (xk)k≥0de points de Equi converge vers x.
L’ensemble des valeurs d’adh´erence de Eest not´e Eet est appel´e l’adh´erence
(ou la fermeture) de E. On v´erifie que Eest le plus petit ferm´e contenant
Eet que Eest ferm´e si et seulement si E=E.
Quelques propri´et´es ´el´ementaires:
1. Toute union finie ou infinie d’ouverts est un ouvert.
2. Toute union finie de ferm´es est un ferm´e
3. Toute intersection finie ou infinie de ferm´es est un ferm´e.
4. Toute intersection finie de d’ouverts est un ouvert
5. Les seuls ensembles `a la fois ouverts et ferm´es sont ∅et IRN.
6. Un ensemble fini de points de IRnest ferm´e.
7. On a ◦
E⊂E⊂E.
D´efinition 1.5 On appelle frontiere d’un ensemble El’ensemble des points
de son adh´erence qui ne sont pas dans son int´erieur, c’est `a dire
∂E := E\◦
E=E∩◦ E
c.
D´efinition 1.6 Un ensemble E⊂IRnest dit born´e si et seulement si il
existe R > 0tel que E⊂B(0, R). Un ensemble ferm´e et born´e de IRnest
dit “compact”.
Th´eor`eme 1.3 Pour E⊂IRn, les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes
1. Eest compact
2. Propri´et´e de Bolzano-Weierstrass : toute suite (xk)k≥0de points de E
admet une sous-suite qui converge vers une limite x∈E.
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