BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques

BTS Electrotechnique
Cours de Math´ematiques
Franc¸ois THIRIOUX
[email protected]
Lyc´ ee Ren´ e Perrin, Ugine
8 octobre 2004

Table des mati`eres
Pr´esentation du programme v
1 Pr´eliminaires 1
1.1 D´efinitionspr´ealables................................. 1
1.1.1 Factorielle................................... 1
1.1.2 Sommations.................................. 1
1.1.3 Combinaisons................................. 2
1.2 Polynˆomes....................................... 3
1.2.1 Rappels .................................... 3
1.2.2 Factorisation ................................. 3
1.2.3 Formuledubinˆome.............................. 4
1.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Nombrescomplexes.............................. 5
1.3.2 Trigonom´etrie................................. 7
2 Int´egration 8
2.1 G´en´eralit´es ...................................... 8
2.1.1 D´efinition de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 In´egalit´es ................................... 10
2.2 M´ethodesd’int´egration................................ 11
2.2.1 Fonctions `a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 S´eries num´eriques 14
3.1 G´en´eralit´es ...................................... 14
3.1.1 D´efinition d’une s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i

TABLE DES MATI ` ERES ii
3.1.2 Convergence.................................. 14
3.1.3 Condition n´ecessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 S´eriesder´ef´erence .................................. 15
3.2.1 S´eries g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 S´eriesdeRiemann .............................. 15
3.3 Crit`eresdeconvergence................................ 15
3.3.1 S´eries `a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.2 S´eries `a termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 S´eries de Fourier 17
4.1 Introduction...................................... 17
4.1.1 JosephFourier ................................ 17
4.1.2 Premi`ereapproche .............................. 17
4.2 CoefficientsdeFourier ................................ 18
4.2.1 Formes exponentielle et r´eelle ; somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.2 Propri´et´es des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Th´eor`emes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1 Egalit´e de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.2 Convergence des s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Sommes de Fourier de signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4.1 Signalencr´eneau............................... 24
4.4.2 Signalentriangle............................... 25
5 Equations diff´erentielles 27
5.1 Pr´eliminaires ..................................... 27
5.1.1 Introduction.................................. 27
5.1.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.1 D´efinitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.2 R´esolution de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.3 Recherche d’une solution particuli`ere et solution g´en´erale . . . . . . . . . 30
5.2.4 Utilisation d’une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre `a coefficients constants . . . . 32
5.3.1 D´efinitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3.2 R´esolution de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3.3 Recherche d’une solution particuli`ere et solution g´en´erale . . . . . . . . . 35

TABLE DES MATI ` ERES iii
5.3.4 Utilisation d’une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 D´eveloppements limit´es 37
6.1 Introduction...................................... 37
6.1.1 D´eriv´ee .................................... 37
6.1.2 Compl´ements ................................. 37
6.2 FormulesdeTaylor .................................. 38
6.2.1 Formule de Taylor avec reste int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2.2 In´egalit´e de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Op´erations sur les d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.1 Somme..................................... 40
6.3.2 Produit .................................... 40
6.3.3 Quotient.................................... 40
6.3.4 Int´egration .................................. 41
6.3.5 Composition.................................. 41
6.4 D´eveloppements limit´es usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4.1 Exponentielle ................................. 41
6.4.2 Logarithme .................................. 41
6.4.3 Puissance ................................... 42
6.4.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 Transformation de Laplace 43
7.1 Introduction et compl´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.1.1 Pierre Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.1.2 Syst`emeslin´eaires............................... 43
7.1.3 Fonctions ................................... 44
7.1.4 Int´egrales g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.5 ImpulsiondeDirac .............................. 44
7.2 Transform´ee de Laplace d’une fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2.1 D´efinitions................................... 45
7.2.2 R´esultatsessentiels.............................. 46
7.2.3 Transform´ees fondamentales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.2.4 Th´eor`emes compl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.3 Applications `a l’analyse du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3.1 Transform´eeinverse.............................. 52

TABLE DES MATI ` ERES iv
7.3.2 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants . . . . . . . . . 52
7.3.3 CircuitRLC.................................. 53
7.3.4 Syst`emes diff´erentiels lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8 Transformation en z 55
8.1 Notiondes´erieenti`ere ................................ 55
8.1.1 D´efinitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.1.2 Propri´et´es et d´eveloppements usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.2 Transformationenz ................................. 56
8.2.1 Echantillonnage................................ 56
8.2.2 D´efinition et premi`eres remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2.3 Transformation inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3 Th´eor`emes classiques et tranform´ees usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3.1 Th´eor`emes................................... 58
8.3.2 Transform´ees usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.4 Application aux syst`emes ´echantillonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Bibliographie 63