séance n°10

Séance 10
Exercice 1
Quel est le plus petit nombre entier positif obtenu en poursuivant de la même manière cette suite de
soustractions ?
4937
4918
4899
19
19
- 19
etc…
4918
4899
4880
Exercice 2
Dans une division de reste nul:
a)Le diviseur est le quart du dividende. Trouver le quotient
b)Que devient le quotient lorsque le dividende et le diviseur sont multipliés par un même nombre?
Expliquer.
Que devient le quotient lorsque seul le diviseur est multiplié par un nombre n ?
Exercice 3
Aujourd’hui nous sommes vendredi. Quel jour serons nous dans 300 jours ?
Exercice 4
Dans l'ensemble de l'exercice, on considère les nombres entiers naturels D et q tels que: D < 4500 et
q = 82.
1. La division euclidienne du nombre D par le nombre d fournit le quotient q = 82 et le reste r = 45.
Rechercher, en justifiant la réponse, l'ensemble des couples (D, d) qui répondent à la question.
2. Même question avec r = 112
3. Discuter, selon les valeurs du reste r, l'existence de solutions.
4.Peut-on déterminer des naturels de deux chiffres qui, divisés par 37, donnent un quotient égal au
reste? Justifier votre réponse.
Exercice 5
Sachant que 3431 = 71 x 48 + 23,trouver sans poser la division ,le quotient et le reste des divisions
euclidiennes de :
3453 par 71 ; 3481 par 71 et 3376 par 71
Exercice 6
Effectuer les divisions euclidienne de 100,1000 et 10000 par 9 .que remarquez – vous ?
Quel est le reste de la division de 10n par 9, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 1 ?
Exercice 7
Un éditeur doit envoyer un stock de livres tous identiques à un libraire. Pour cela, il les groupe dans
des cartons contenant exactement 54 livres. Tous les cartons sont pleins et il ne reste pas de livre. Le
stock de livres contient au moins 1 500 livres mais pas plus de 1 800.
1) Quel est le nombre de livres composant le stock ?
2) Le nombre de cartons étant trop important, l’éditeur décide de ranger les livres dans des cartons de
taille plus grande. Il remplit alors 15 cartons avec le même nombre de livres et tous les livres sont
rangés. Quel est le nombre de livres que contient chaque carton ?
Multiples et diviseurs, critères de divisibilité, nombres premiers
Exercice 1
Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
1. Tout nombre multiple de 3 est multiple de 9.
2. Un nombre divisible par 4 est divisible par 2
3. Un nombre divisible par 2 est divisible par 4
4. Tout nombre multiple de 12 est divisible par 4.
5. Tous les nombres premiers sont impairs.
6. La somme de deux nombres premiers est un nombre premier.
Exercice 2
Existe-t-il un entier naturel qui soit multiple de 5 sans être multiple de 10 ? Existe-t-il un entier naturel
qui soit multiple de 10 sans être multiple de 5 ?
Pourquoi peut-on être sûr que 282828 est un multiple de 7 ?
Trouver tous les entiers naturels qui ont 56 pour multiple.
Existe-t-il un entier naturel qui soit diviseur de 48 sans être diviseur de 12 ? Existe-t-il un entier naturel
qui soit diviseur de 12 sans être diviseur de 48 ?
Exercice 3
A, B, C, D, sont des nombres entiers naturels écrits dans notre système de numération décimale (a
désigne donc un chiffre) :
A = 10a4 B = 31a C = a6324 D = a56aa
Pour chacun des nombres A, B, C, D remplacez le chiffre a par différentes valeurs quand cela est
possible de telle sorte que le nombre correspondant soit divisible par 9. Quelle hypothèse peut-on
alors faire sur la condition pour qu'un nombre soit divisible par 9.
Exercice 4
Dans un tableau des nombres naturels de trois chiffres (de 100 à 999), on a effacé tous les nombres
divisibles par 10, tous les nombres divisibles par 5 et tous les nombres divisibles par 11. Combien de
nombres reste-t-il dans le tableau?
Exercice 5
Trouver un nombre s'écrivant avec six chiffres tel que:
- il soit divisible par 3 ;
- si on le lit de gauche à droite, chaque chiffre est plus grand que celui qui le
précède;
- les deux premiers chiffres, le troisième et le quatrième, le cinquième et le sixième forment trois nombres
premiers.
Exercice 6
Une colonie de vacances qui accueille un nombre d'enfants inférieur ou égal à cent enfants, organise une
course d'orientation par équipe. Chaque équipe est constituée d'au moins deux enfants.
Il doit y avoir le même nombre d'enfants par équipe.
Si on les groupe par trois, il en restera deux.
Si on les groupe par quatre, il en restera un.
Si on les groupe par cinq, il en restera encore deux.
Finalement, après quelques essais, les moniteurs réussissent à constituer les équipes.
1. Quel est le nombre d'enfants accueillis dans cette colonie de vacances?
2. Combien d'équipes sont-elles ainsi formées?
Exercice 7
Un marchand de jouets a 1 820 billes qu'il veut répartir en nombre égal dans des sacs. Chaque sac doit
contenir au moins 20 billes et au plus 150 billes. Quelles sont les différentes possibilités
Exercice 8
Étant donné un entier n supérieur ou égal à 10, on appelle associé de n l'entier obtenu en intercalant le chiffre
0 entre le chiffre des dizaines et celui des unités de n. Par exemple, l'associé de 5467 et 54607.
1.Quel est l'associé de 768492 ?
2.L'entier 2005 est-il associé à un nombre? Si oui, lequel?
3.a. Démontrer la propriété suivante: si n est un entier divisible par 9, alors son associé l'est également.
3.b. Formuler la réciproque de la propriété précédente.
3.c. Cette réciproque est-elle vraie? Justifier.
4. Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur l'entier n1 pour que son associé soit divisible par 4.
La démontrer.
5. Démontrer que les restes de la division euclidienne de n et de son associé par 5 sont les mêmes.
PPCM, PGCD - Nombres premiers entre eux
Exercice 1
Le PGCD de deux nombres est 18. Leur PPCM est 648. Quels sont ces deux nombres?
Exercice 2
3
2
2
3
Trouver le PPCM et le PGCD des nombres 5 x 3 x 11 et 2 x 5 x 3 .
Calculer le produit des deux nombres et le produit du PGCD et du PPCM.
Que constate-t-on?
Exercice 3
1. Montrer que 825 et 686 sont premiers entre eux. Montrer que leur somme et leur produit sont premiers entre eux.
2. Peut-on généraliser la propriété à tous les nombres premiers entre eux?
Exercice 4
Une caisse à paroi rectangulaire a pour dimensions en cm 180,150 et 90. On veut fabriquer des boîtes cubiques aussi
grandes que possible dont l'arête est mesurée par un nombre entier de centimètres et avec lesquelles on se propose
de remplir la caisse.
Calculer le nombre de ces boîtes.
Exercice 5
Un boulanger décide de faire des paquets contenant le même nombre de friandises sans qu’il reste de
paquet incomplet. Mais cela s’avère impossible sauf à mettre une seule friandise dans chaque paquet.
Trouvez le nombre de friandises, sachant qu’il est compris entre 830 et 840.
Exercice 6
Avec 476 pièces carrées toutes identiques, quels sont les différents rectangles que l’on peut
construire ?
Exercice 7
On veut paver un rectangle avec des dalles carrées toutes exactement superposables, les plus
grandes possibles, et de dimensions entières (en cm). Combien devra mesurer la longueur du côté de
chaque dalle ?
1) Dans le cas où le rectangle a pour dimensions 175 cm sur 315 cm
2) Dans le cas où le rectangle a pour dimensions 176 cm sur 315 cm
Exercice 8
Bruno a plusieurs cubes de 72 mm d'arêtes. Léo en a d'autres de 90 mm d'arêtes. Chacun veut, en
superposant ses cubes, réaliser une tour exactement aussi haute que l'autre, mais la moins haute
possible.
Quelle est la hauteur de cette tour ?