Sur l`algorithme matriciel de B. Roy

R EVUE FRANÇAISE D ’ INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
I OAN T OMESCU
Sur l’algorithme matriciel de B. Roy
Revue française d’informatique et de recherche opérationnelle,
tome 2, no R1 (1968), p. 87-91
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R.I.R.O.
(2e année, N° 7, 1968, p. 87-91)
SUR L'ALGORITHME MATRICIEL DE B. ROY
Ioan
TOMESCU
0)
Résumé. — Le but de cet article est celui de généraliser Valgorithme matriciel de B. Roy,
proposé dans [1], [2] pour la détermination de la pi-fermeture d'un graphe fini au cas des
matrices aux éléments dans un semi-groupe à ordre semi-réticulaire.
Dans ce qui suit l'on considère un semi-groupe à ordre semi-réticulaire,
c'est-à-dire un ensemble S muni de deux lois de composition o et A qui satisfont aux axiomes :
l)aob = boa.
2)ao(boc) = (aob)oc.
4) a A b = b A a.
5) a A (& A c) = (a A b) A c.
6) a A a = a.
7) a o (b A c) = ( â i o i ) A (Ö o c).
8) ö A (aob) — a quels que soient a, è, c € S et e étant l'élément neutre
de semi-groupe.
Dans l'ensemble S, on introduit une relation d'ordre partiel : a -< b si
a A b = a, qui a les propriétés suivantes : a A ô < a ; a A 6 - < 6 ; s i z - < a
et z -< ô alors r -< Û A b; a = a A (aob) -<ao b3 en particulier
Théorème i . Si a <, b et c <, d alors ah c < è A
Démonstration.
O n obtient
d et ao c <>bo d.
a A b -<a -<c et a A b ^ b ^d,
A Z> -< c A rf.
(1) Université de Bucarest, str. Academiei, 14.
donc
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I. TOMESCU
Si a -< c alors
aob = boa = bo(aA c) = (boa) A (boc) = (aob) A (cob) -<cob
quel que soit b € S*.
En utilisant ce résultat on obtient dans les hypothèses du théorème que
boc<doc = cod. C.Q.F.D.
On définit la multiplication des matrices carrées
A = { aafi } M ö l
et
p
B = { ba§ } a f i a l
p
avec aa0, bap € & par la relation :
{AxB}aJt
= / \
(aay o by/f)={aaX oblfi) A (aa2ob2fi) A ... A (aapobpfi).
y=l,...,p
Dans [3] on obtient que cette loi de composition est associative et, si aaa = e
on a la relation Ap~x = Ap = ...
On introduit une relation d'ordre partiel dans l'ensemble des matrices aux
éléments de S de la façon suivante : À -< B si aœ>? -< ba$ pour tout a? p — 1,..., /?.
Si A -< C et 5 -< D alors, conformément au théorème 1 :
aay o byfi < cay o dyp
et
/ \
(aay o byfi) < / \
7 = 1,~.,p
(cay o dy/f)9
y=is...,p
donc A X B < C X D.
{ ^ 2 }a/? == « ^ A / \ (aay o ayp) < aa§
y = l,...,P
d'où on déduit :
A > ^ 2 >- ... > ^ ~ 1 -- ^ p - ...
On introduit les opérateurs TfJp) où jx, v, p € { 1, 2,...,;? } définis sur
l'ensemble des matrices A = { a^ } a ^ Œl( p avec âfa^ € S et 0^^ ==e de la
manière suivante :
^
- B si ^ = «^ A ( a ^ o a^) et b^ = öa^
pour tout (a, P) ^ (JJL, v).
On en déduit que A > TfJp)(A) >- A2, donc
et par conséquent ÇTiJp\A)y'1
On vérifie aisément que :
- ^p~\
2
'
(pi)/']-'
(P Ï(JY\ — l T
T flWX
\Â /12V2
K^/J
/A
et
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p
On introduit les opérateurs Up =
TT
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TjJp) et l'opérateur
Dans l'expression de l'opérateur 17 l'ordre des opérateurs Up n'importe pas
en vertu de la propriété suivante : UpiUp2(A) = Up2Upi(A).
En effet :
= aafi A (a ap2 o ap^)
A (aapi
A (aap2 o ap2fil)) o (apifi A (apip2 o ap2^)
= aap A (aapi o a, 1/? ) A (aap2 o ^ 2 ^ ) A (a ai01 o apip2 o ap2fi)
A (aap2 o apQpi o apifi) = aap A (a a / î l o api/s) A (a a p 2 A (aa>C)1 o apip2))
o {ap2fi A (ap,pi
o a^^)) == { Up2Upx(A) }a/f
Compte tenu de la relation (T^XÂ))*'1
=Ap~l
1
1
1
tion que (UpiA))?- = A?' et (UiA))^ = A*'1.
on obtient par l'itéra-
Théorème 2. U(A) = Ap~x quelle que soit la matrice A = { aap, }et,0=xt...,p
avec aaj} € S et aaa = e.
Démonstration. En utilisant la commutativité et l'idempotence du produit
des opérateurs Upy induites par la commutativité et Tidempotence du produit
des opérateurs r/,p(/>), on obtient U2(A) = U(A) et par conséquent
U(A) - U\A) = ...
On démontre par induction par rapport à s que :
{ UksUkt^ ... Ukl(A) }aA < aafi A
/ \
y€{kiM
(a ay o aYfi)
k}\{aJ3}
et, par conséquent, U(A) < A2 d'où on déduit U\A) < A4; ...; U»{A) < A2"
pour tout n €
|
[[
|+
log 2
j
1 alors o n a
Ur(A)>(Ur(A)y-1=^(U(A)y-l=-A^1
yr^j ^ Ar
< AP-I
mais
et donc Ur(A) = A*-1, c'est-à-
dire C/(^) = U\A) = ... - C/r(^) = AP'K C.Q.F.D.
Le problème du calcul de la matrice Ap~x est associé à quelques problèmes
de la théorie des graphes et des réseaux électriques.
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I. TOMESCU
Soit S l'algèbre booléenne des fonctions booléennes définies sur { 0, 1 }n
avec les valeurs dans { 0, 1 }; les opérations (o, A ) sont respectivement (•, U),
la relation d'ordre partiel -< est la relation ^ définie par ƒ > g si
f(xu
..., xn) ^ g(xu ..., xn)
et l'élément neutre est la fonction e(xu ..., xn) = 1.
Dans [4] on démontre que, si A est la matrice des conductibilités directes
entre les nœuds d'un circuit électrique, alors la matrice Ap~x représente la
matrice des conductibilités totales entre les nœuds de ce circuit.
Dans [5] on définit la fermeture transitive G = (X, F) d'un graphe fini
G = (X, F) où l'application F est définie par
TX
= { x } U r * U FJC2 U ... U
F^"1
A
pour tout x € X, Dans [6] on démontre que la matrice d'incidence du graphe G
est Ap~l, où A est la matrice unitaire d'incidence associée au graphe G. S est
l'algèbre booléenne { 0, 1 } et (o, A , -<, é) sont respectivement (•, U, > s 1).
Dans [7], [5], [8], [3] pour un réseau de transport on définit une application l(u) et une application c(u) sur l'ensemble U des arcs du réseau avec les
valeurs dans l'ensemble { x \ x ^ 0 }.
On introduit la matrice A = {aa^ }a,£=i,...,p où l'on a : aaa = 0;
aap = î(xa, xp) s'il y a un arc qui va de xa à x# et aap = oo en cas contraire.
En considérant le semi-groupe à ordre semi-réticulaire { x j x > 0 } U { o o }
avec (o, A , <, e) donnés par ( + , min, ^ , 0), la matrice Ap~l représente la
matrice des plus petites distances entre les sommets du réseau :
{Ap-l}afi=
min
On introduit la matrice A ~ { aa^ } a , jô =i ) ... )P avec aaa = °o; a*fi =
c(xa,
si (xa, Xfù e U et aafi = 0 si (xa, x^) $ U.
Le semi-groupe à ordre semi-réticulaire est l'ensemble { x | x ^ 0 } U { o o }
et (o, A , < e) sont (min, max, ^ , oo). La matrice Ap~x représente la matrice
des capacités maximales de transport :
{Ap-x}K/f=
max
{mïn{c(u)}}
On définit une application p(u) sur l'ensemble U des arcs du réseau avec
les valeurs dans l'intervalle [0, 1],
Si on définit la matrice A par les relations :
a*a = 1 ; aajs = P(xa, xfi) si (xa, xfi) €Uetaa/}
= Q si (xa9
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alors A?'1 représente la matrice des probabilités maximales de la réussite du
transport :
i Ap~i La =
max
si S = { x \ 0 ^ x ^ 1 } et (o, A , <> é) sont donnés par (•, max, ^ , 1).
D'autres méthodes matricielles de calcul de la matrice Ap~x sont exposées
dans [9]. Il faut remarquer que L. Nolin, en utilisant une structure algébrique
semblable, a proposé aussi ([10], p. 94) une généralisation de l'algorithme
matriciel de B. Roy (nommé ici l'algorithme de Warshall).
OUVRAGES CITÉS
[1] B. ROY, Transitivité et connexité, C. R. Ac. Se. Paris, t. 249, p. 216-218, 1959.
[2] B. ROY, Cheminement et connexité dans les graphes. Application aux problèmes
d'ordonnancement, Me tra, série spéciale, n° 1, 1962.
13] Gr. C. MOISIL, Asupra unor reprezentâri aie grafurilor ce intervin in problème
de economia transporturilor, Comunicârile Acad. R, P. R., t. X, n° 8, I960,
p. 647-652.
{4] A. G. LUNTS, Méthodes algébriques d'analyse et de synthèse des schémas à con-
tacts, Izv. Acad. Nauk SSSR, Série math., 1952, p. 405-427 (en russe).
[5] C. BERGE, Théorie des graphes et ses applications, Dunod, Paris, 1963.
[6] K. MAGHOUT, Applications de l'algèbre de Boole à la théorie des graphes et aux
programmes linéaires et quadratiques, Cahiers du Centre a^études de Rech. Opérationnelle, vol. 5, n° 1-2, 1963, Bruxelles.
17] A. SHIMBEL, Structure in Communication Nets, Proc. Symposium on Information Networks (April 1954), Polytechn. Inst. Brooklyn, N. Y., 1955, p. 199-203.
{8] G. N. POVAROV, Notions fondamentales de la théorie des réseaux cumulatifs,
Bul. Inst Politechnic lasi, t. VI (X), fasc. 1-2, 1960, p. 29-36 (en russe).
19] I. TOMESCU, Sur les méthodes matricielles dans la théorie des réseaux, C. R. Ac.
Se. Paris, t. 263, p. 826-829, 1966.
110] L. NOLIN, Traitement des données groupées, Publication de l'Institut BiaisePascal, Paris, mai 1964.
Le directeur de la Publication : Georges DUNOD. — Imprimé en France*
Dépôt légal : 2 e trimestre 1968. N<> 5740.
IMPRIMERIE NOUVELLE, ORLÉANS, — N° 5708.