Sur l`algorithme matriciel de B. Roy
REVUE FRANÇAISE D’INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
IOAN TOMESCU
Sur l’algorithme matriciel de B. Roy
Revue française d’informatique et de recherche opérationnelle,
tome 2, noR1 (1968), p. 87-91
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R.I.R.O.
(2e
année, N°
7,
1968, p. 87-91)
SUR L'ALGORITHME MATRICIEL
DE B.
ROY
Ioan TOMESCU
0)
Résumé. — Le but de cet article est celui de généraliser Valgorithme matriciel de
B. Roy,
proposé dans [1], [2] pour
la
détermination
de la
pi-fermeture
d'un
graphe fini
au
cas des
matrices aux éléments dans un semi-groupe
à
ordre semi-réticulaire.
Dans
ce qui
suit
l'on
considère
un
semi-groupe
à
ordre semi-réticulaire,
c'est-à-dire
un
ensemble
S
muni
de
deux lois
de
composition
o et A
qui satis-
font aux axiomes
:
l)aob = boa.
2)ao(boc) = (aob)oc.
4)
a A b = b A a.
5)
a A (& A c) = (a A b) A c.
6)
a A a = a.
7)
a o
(b
A c) =
(âioi)A
(Ö
o
c).
8)
ö A (aob)
—
a
quels que soient
a, è, c € S et e
étant l'élément neutre
de semi-groupe.
Dans l'ensemble
S, on
introduit
une
relation d'ordre partiel
: a -< b si
a
A b = a, qui a les
propriétés suivantes :aAô<a;aA6-<6;siz-<a
et
z -< ô
alors
r
-< Û
A b; a = a A (aob) -<ao
b3
en
particulier
Théorème
i. Si a <, b et c <, d
alors
ah
c<èA
d et ao c
<>bo
d.
Démonstration.
On
obtient
a A b -<a -<c et a A b ^b ^d,
donc
A Z>
-<
c A rf.
(1) Université
de
Bucarest,
str.
Academiei,
14.
88 I. TOMESCU
Si
a -< c
alors
aob = boa = bo(aA c) = (boa) A (boc) = (aob) A (cob) -<cob
quel
que
soit
b €
S*.
En utilisant
ce
résultat
on
obtient dans
les
hypothèses
du
théorème
que
boc<doc
= cod.
C.Q.F.D.
On définit
la
multiplication
des
matrices carrées
A
= {
aafi
}Möl
p et B = { ba§
}afial
p
avec aa0, bap
€
&
par la
relation
:
{AxB}aJt
= /\ (aay o
by/f)={aaX oblfi)
A
(aa2ob2fi)
A ... A
(aapobpfi).
y=l,...,p
Dans [3]
on
obtient que cette loi de composition est associative et,
si aaa = e
on
a la
relation
Ap~x = Ap = ...
On introduit une relation d'ordre partiel dans l'ensemble
des
matrices
aux
éléments de
S
de
la
façon suivante :
À
-<
B
si
aœ>?
-<
ba$ pour tout
a? p
— 1,..., /?.
Si
A -< C et 5 -< D
alors, conformément
au
théorème
1 :
aay
o
byfi
< cay o dyp et /\ (aay o
byfi)
< /\ (cay o
dy/f)9
7
=
1,~.,p
y=is...,p
donc
A X B < C X D.
{
^2
}a/? ==
«^ A /\ (aay o
ayp)
< aa§
y
=
l,...,P
d'où
on
déduit
:
A
> ^2 >- ... > ^~1 -- ^p - ...
On introduit
les
opérateurs
TfJp) où
jx,
v, p € { 1,
2,...,;?
}
définis
sur
l'ensemble
des
matrices
A = { a^
}a^Œl(
p
avec
âfa^ € S et
0^^ ==e
de la
manière suivante
:
^
- B si ^ = «^ A (a^ o a^) et b^ = öa^
pour tout
(a, P) ^
(JJL,
v).
On
en
déduit
que A >
TfJp)(A)
>- A2,
donc
et
par
conséquent ÇTiJp\A)y'1
- ^p~\
On vérifie aisément
que :
T
'
(pi)/']-'
(P2Ï(JY\
— T
flWX
\Â
/12V2
K^/J l
/A
et
ALGORITHME MATRICIEL
DE
B.
ROY
89
p
On introduit les opérateurs Up
= TT
TjJp)
et
l'opérateur
Dans l'expression de l'opérateur
17
l'ordre des opérateurs Up n'importe pas
en vertu de
la
propriété suivante
:
UpiUp2(A)
=
Up2Upi(A).
En effet
:
=
aafi
A
(aap2
o ap^)
A (aapi
A
(aap2
o
ap2fil))
o
(apifi
A
(apip2
o ap2^)
=
aap A
(aapi
o
a,1/?)
A
(aap2
o
^2^)
A
(aai01
o
apip2
o
ap2fi)
A (aap2
o
apQpi
o
apifi)
= aap A
(aa/îl
o
api/s)
A
(aap2
A
(aa>C)1
o
apip2))
o {ap2fi
A
(ap,pi
o
a^^)) ==
{
Up2Upx(A)
}a/f
Compte tenu
de la
relation (T^XÂ))*'1
=Ap~l
on
obtient
par
l'itéra-
tion que (UpiA))?-1
= A?'1 et
(UiA))^1
= A*'1.
Théorème
2.
U(A)
= Ap~x
quelle que soit
la
matrice
A = {
aap,
}et,0=xt...,p
avec aaj}
€ S et aaa = e.
Démonstration.
En utilisant
la
commutativité
et
l'idempotence
du
produit
des opérateurs Upy induites par
la
commutativité
et
Tidempotence
du
produit
des opérateurs
r/,p(/>),
on
obtient U2(A)
=
U(A)
et
par conséquent
U(A)
-
U\A)
= ...
On démontre par induction par rapport
à s
que
:
{
UksUkt^
...
Ukl(A)
}aA
<
aafi
A
/\
(aay
o
aYfi)
y€{kiM k}\{aJ3}
et, par conséquent, U(A)
< A2
d'où
on
déduit
U\A) <
A4;
...;
U»{A)
<
A2"
pour tout
n €
[
|
| +1
alors
on a
yr^j
^ Ar <
AP-I mais
[ log 2
j
Ur(A)>(Ur(A)y-1=^(U(A)y-l=-A^1
et
donc Ur(A)
=
A*-1, c'est-à-
dire C/(^)
= U\A) = ... -
C/r(^)
=
AP'K C.Q.F.D.
Le problème du calcul de
la
matrice Ap~x est associé
à
quelques problèmes
de
la
théorie des graphes
et
des réseaux électriques.
90 I. TOMESCU
Soit S l'algèbre booléenne des fonctions booléennes définies sur { 0, 1 }n
avec les valeurs dans { 0, 1 }; les opérations (o, A) sont respectivement (•, U),
la relation d'ordre partiel -< est la relation ^ définie par ƒ > g si
f(xu ..., xn) ^ g(xu ..., xn)
et l'élément neutre est la fonction e(xu ..., xn) = 1.
Dans [4] on démontre que, si A est la matrice des conductibilités directes
entre les nœuds d'un circuit électrique, alors la matrice Ap~x représente la
matrice des conductibilités totales entre les nœuds de ce circuit.
Dans [5] on définit la fermeture transitive G = (X, F) d'un graphe fini
G = (X, F) où l'application F est définie par
TX = { x } U r* U FJC2 U ... U F^"1
A
pour tout x € X, Dans [6] on démontre que la matrice d'incidence du graphe G
est Ap~l, où A est la matrice unitaire d'incidence associée au graphe G. S est
l'algèbre booléenne { 0, 1 } et (o, A, -<, é) sont respectivement (•, U, >s 1).
Dans [7], [5], [8], [3] pour un réseau de transport on définit une applica-
tion l(u) et une application c(u) sur l'ensemble U des arcs du réseau avec les
valeurs dans l'ensemble { x \ x ^ 0 }.
On introduit la matrice A = {aa^
}a,£=i,...,p
où l'on a : aaa = 0;
aap = î(xa, xp) s'il y a un arc qui va de xa à x# et aap = oo en cas contraire.
En considérant le semi-groupe à ordre semi-réticulaire {xjx> 0}U{oo}
avec (o, A, <, e) donnés par (+, min, ^, 0), la matrice Ap~l représente la
matrice des plus petites distances entre les sommets du réseau :
{Ap-l}afi= min
On introduit la matrice A ~ { aa^
}a,jô=i)...)P
avec aaa = °o; a*fi = c(xa,
si (xa, Xfù e U et aafi = 0 si (xa, x^) $ U.
Le semi-groupe à ordre semi-réticulaire est l'ensemble {x|x^ 0}U{oo}
et (o, A,< e) sont (min, max, ^, oo). La matrice Ap~x représente la matrice
des capacités maximales de transport :
{Ap-x}K/f= max {mïn{c(u)}}
On définit une application p(u) sur l'ensemble U des arcs du réseau avec
les valeurs dans l'intervalle [0, 1],
Si on définit la matrice A par les relations :
a*a = 1 ; aajs = P(xa, xfi) si (xa, xfi) €Uetaa/} = Q si (xa9
6
1
/
6
100%
