1 Compléments d`optique géométrique

1 Compléments d’optique géométrique
1. Limite de l’optique géométrique
Examinons comment l’optique géométrique se déduit des équations de
Maxwell et comment les théorèmes classiques de l’optique géométrique
en découle.
Nous considérons un milieu transparent caractérisé par sa fonction diélectrique ǫ = ǫ(~r, ω) positive supposée dépendre de la position ~r ; c’est donc
un milieu linéaire, isotrope et pas nécessairement homogène, Les champs
sont supposés monochromatiques, ils varient dans le temps comme e−iωt
(c’est la convention la plus souvent adoptée en optique ondulatoire).
Dans ce milieu, les équations macroscopiques de Maxwell s’écrivent :
~ =0
div ǫE
~ =0
div B
(1)
(2)
Bien que les ondes planes en fassent partie, ces ondes ne sont pas nécessairement planes, elles contiennent aussi les ondes rayonnées par des sources
localisées (dont l’amplitude décroı̂t en 1/r). L’hypothèse essentielles faite
sur ces ondes, qui conduira à l’approximation de l’optique géométrique,
consiste à supposer que le terme de phase ϕ(~r) (fonction réelle) varie
~ 0 (~r) et que la fonc~ 0 (~r), B
beaucoup plus que les termes d’amplitude E
tion diélectrique ǫ(~r, ω). Ainsi, les dérivées de ces derniers termes pourront
être négligés devant les dérivées de la phase ϕ. Par exemple :
i
h
~ ϕ·E
~
~ ϕ·E
~ 0 ei[ϕ(~r)−ωt] ≈ iǫ ∇
~ 0 + iǫ ∇
~ = div ǫE
div ǫE
1
(3)
(4)
Ces équations coı̈ncident avec celles obtenues en faisant se propager des
OPPMs dans un milieu diélectrique homogène à ceci près que le vecteur
~ ce qui nous amène à introduire un vecteur
d’onde ~k est remplacé par ∇
d’onde local :
~k(~r) = ∇ϕ(~
~ r)
ϕ(~r) = Const.
Nous cherchons des solutions de la forme :
Dans cette limite, les équations de Maxwell deviennent :
~ ∧E
~ = ωB
~
∇ϕ
~ ∧B
~ = −ωµ0ǫE
~
∇ϕ
Les surfaces d’onde sont définies comme les surfaces où la phase ϕ(~r) reste
constante :
~ = iω B
~
~ E
rot
~ = −iωµ0 ǫE
~
~ B
rot
~ 0 (~r)ei[ϕ(~r)−ωt]
~ =E
E
~ =B
~ 0 (~r)ei[ϕ(~r)−ωt]
B
~ ·E
~ =0
∇ϕ
~ ·B
~ =0
∇ϕ
Si on désigne par phase de l’onde le terme complet Φ(~r, t) = ϕ(~r − ωt
figurant dans le terme de propagation, on dira dans ce cas qu’une surface
d’onde est une surface sur laquelle les champs vibrent en phase.
D’après une propriété connue du gradient ~k est donc perpendiculaire aux
surfaces d’onde.
On obtient aussi une relation de structure habituelle mais locale :
~
~
~ = k(~r) ∧ E
B
ω
Comme les composantes du vecteur d’onde sont réelles, la relation de structure pour les champs réels s’écrit :
~ = vϕ B
~ ∧ ~u
E
où ~u = ~k/k et vϕ la vitesse de phase :
vϕ =
2
ω
k
En procédant de manière habituelle on obtient la relation de dispersion :
ω2 ǫ
2
2
.
k = µ0 ǫω = 2
c
ǫ0
Le milieu étant supposé transparent, ǫ est partout positive et
vϕ =
c
c
ω
=
=p
k
n
ǫ/ǫ0
où, par analogie avec la formule d’optique géométrique v = c/n définissant
l’indice optique n comme le rapport entre la vitesse de la lumière c dans
le vide à sa vitesse v dans le milieu transparent, on définit l’indice de
réfraction par la formule :
n(~r, ω) =
s
ǫ(~r, ω)
ǫ0
(5)
La relation de dispersion locale prend la forme :
k = nk0
où k0 = ω/c est le vecteur d’onde de l’onde se propageant dans le vide
avec la même fréquence et de longueur d’onde λ0 :
2π
λ0 =
= cT,
k0
où T est la période.
Dans le milieu transparent la longueur d’onde λ devient aussi locale et
correspond à la périodicité spatiale locale de l’onde :
λ0
2π
=
= vϕ T.
k
n
Nous pouvons retenir la formule utile suivante :
λ=
k=
2π
2π
n=
λ0
λ
~
Comme par hypothèse, ϕ varie rapidement, k = k∇ϕk
est donc très grand
et la longueur d’onde très petite. L’approximation géométrique correspond
donc au cas limite λ → 0 ou, plus précisément, au cas où la longueur d’onde
locale reste partout très petite devant les longueurs typiques de variations
de l’indice n.
2. Rayon lumineux et chemin optique
Examinons l’énergie moyenne locale des champs pris dans la limite de
l’optique géométrique
~∗
~0·E
~ ·E
~ ∗0
ǫE 2
ǫE
ǫE
hwe i = h
i=
=
2
4
4
B2
E2
ǫE 2
hwm i = h
i=h 2 i=h
i = hwe i
2µ0
2vϕ µ0
2
pour les champs de l’optique géométrique il y a, comme pour les OPPM
se propageant dans le vide, équipartition de l’énergie moyenne électrique
et magnétique.
~ ∗0
~0·E
ǫE
hwi = hwe i + hwm i =
2
Pour le vecteur de Poynting moyen,
~ =h
hΠi
~ ∧B
~
B2
E
i = vϕ h i~u = hwivϕ~u
µ0
µ0
Cette expression montre que l’énergie lumineuse est transportée à la vitesse
de phase :
vE = vϕ = v =
3
(6)
4
c
n
le long les lignes de champ de ~k. Ce résultat justifie a posteriori le choix
de la vitesse de phase pour définir l’indice de réfraction par analogie avec
l’optique géométrique.
L’optique géométrique définit les rayon lumineux comme les trajectoires
suivies par l’énergie lumineuse. Nous sommes donc conduits à identifier les
rayons lumineux de l’optique géométrique aux lignes de champ du vecteur
d’onde local ~k.
Il en découle la propriété fondamentale :
Les rayons sont perpendiculaires aux surfaces d’onde.
~ perpendicuConsidérons sur un rayon lumineux, un élément de surface dS
laire au rayon. La puissance lumineuse moyenne qui traverse cette surface
est
~ · dS
~ = hΠidS
dP = hΠi
On appelle intensité ou éclairement en M la puissance par unité de surface :
1
dP
~ ·E
~∗ ∝ E
~∗
~ ·E
= hΠi = hwiv = ncǫ0 E
dS
2
En optique, on oublie vite le terme de proportionnalité.
En optique, on écrit simplement et sans se soucier du manque d’homogénéité :
~∗
~0 · E
~ ·E
~∗ = E
E =E
0
E=
Le chemin optique entre deux points A et B situés sur un même rayon est
défini par
Z B
(AB) =
ndℓ
A
Comme n = c/v et dℓ = vdt, on aussi
Z tB
(AB) = c
dt = c(tB − tA )
c’est au facteur multiplicatif c près, le temps mis à la lumière pour aller
du point A au point B dans le milieu transparent.
Considérons un chemin CAB quelconque joignant A à B et appelons RAB
le chemin particulier qui coı̈ncide avec la portion de rayon. La circulation
de ~k sur ces deux chemins est identique, elle correspond à la variation de
phase entre A et B :
Z
Z
2π
~k · d~ℓ =
ϕB − ϕA =
kdℓ =
(AB)
λ0
CAB
RAB
En adoptant la notation habituelle δAB = (AB) pour le chemin optique,
nous obtenons une formule d’optique fondamentale
ϕB − ϕA =
ainsi que l’énoncé suivant qui en découle :
Le chemin optique qui sépare deux surfaces d’onde reste constant.
3. Théorèmes d’optique géométrique
3.1. Théorème de Descartes
Des définitions de ~k et de ~u, nous avons
n~u =
λ0 ~
n~
∇ϕ =
∇ϕ
k
2π
d’où
~ u) = 0
rot(n~
Cela implique qu’à la traversée de deux milieux d’indice n1 et n2 différents,
la composante tangentielle de n~u reste continue. Pour le vérifier il suffit
d’utiliser le théorème de Stokes sur un contour fermé situé de part et
d’autre de la frontière (cf. aussi la démonstration de la continuité de la
~ en électrostatique).
composante tangentielle de E
tA
5
2πδAB
λ0
6
Soient ~u1 et ~u2 les vecteurs unitaires du rayon lumineux de part et d’autre
~ la normale à cette surface
de la surface séparant les deux milieux et N
au point I traversée par le rayon. Le vecteur n2~u2 − n1~u1 n’ayant pas de
~ . Les trois vecteurs n2~u2 , n1~u1
composante tangentielle, il est porté par N
~
et N sont donc dans un même plan (plan d’incidence).
~ que font les
D’autre part, si θ1 et θ2 sont les angles comptés à partir de N
deux rayons, la conservation de la composante tangentielle de n~u conduit
immédiatement aux lois de Descartes :
n1 sin θ1 = n2 sin θ2 .
Les lois de la réflexion se déduisent de la même manière sachant que n2 =
n1 .
3.2. Théorème de Malus (Dupin-Gergonne)
Après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions, les rayons
lumineux émis d’une source ponctuelle sont normaux aux surfaces d’onde.
C’est un théorème qui nous semble évident, vu la définition des rayons et
des surfaces d’onde mais il faut savoir que ce théorème a été démontré sans
connaı̂tre la nature ondulatoire de la lumière mais seulement à partir des
lois de l’optique géométrique (lois de Descartes ou principe de Fermat) et
c’est ce qui en fait une prouesse mathématique.
Comme conséquence du théorème de Malus vient la définition rigoureuse
du stigmatisme d’un système optique S.
Un système optique est rigoureusement stigmatique pour le couple de points
conjugués (A, A′ ) si les chemins optiques joignant A à A′ sont tous identiques.
(AA′ ) = Const définition du stigmatisme
En effet, si A est une source ponctuelle (objet) et A′ son image ponctuelle,
les surfaces d’onde au voisinage de ces deux points seront des sphères. Le
chemin optique entre ces deux surfaces d’onde sphériques est le même pour
tour rayon émis de A et arrivant en A′ . En rapprochant les sphères de leurs
centres respectifs on en conclut que (AA′ ) est indépendant du rayon.
7
Remarque : le chemin optique situé sur un bout de rayon virtuel (cf.
figure) doit être compté négativement. En effet, comme ~k et d~ℓ sont opposés
Z
Z
Z
λ
λ0
0
~k · d~ℓ = −
(AB)virt =
kdℓ = −
ndℓ
2π RAB
2π RAB
RAB
3.3. Principe de Fermat
Considérons deux points A et B, R le rayon passant par ces deux points
et C un autre chemin passant aussi par ces points. Nous avons
Z
Z
~
~
ϕB − ϕA =
k · dℓ = ~k · d~ℓ
R
C
Sur le rayon ~k · d~ℓ = kdℓ = k0 ndℓ et sur le chemin quelconque ~k · d~ℓ =
kdℓ cos θ ≤ kdℓ, d’où
δR ≤ δC
Le chemin optique est minimum sur un rayon. Traduit en durée δ = c∆t
ce résultat conduit au principe de Fermat de l’optique géométrique :
La lumière emprunte le trajet de durée minimale pour aller d’un point à
un autre.
En particulier, si le milieu est homogène, l’indice de réfraction est une
constante, la lumière se propage donc en ligne droite.
Remarque : cet énoncé peut paraı̂tre curieux puisqu’il donne à la lumière
une sorte de prescience, capable de savoir à l’avance quel est le meilleur
chemin à emprunter. C’est à Feynmann qu’on doit une interprétation bien
plus raisonnable de ce principe et de tous les autres principes variationnels
semblables en mécanique : la lumière emprunte tous les chemins possibles
et imaginable pour aller de A en B mais avec des amplitudes de probabilité
différentes. La superposition de ces amplitudes conduit à des phénomènes
d’interférence qui donnent à la trajectoire de l’optique géométrique la probabilité la plus grande d’être suivie.
8
2 Interférences lumineuses
1
1. Valeurs moyennes et récepteurs
sinc x
En électromagnétisme comme en électrocinétique, les valeurs moyennes des
grandeurs harmoniques sont définies de la manière suivante :
Z
1 α+T
hf i =
f (t′ )dt′
T α
La définition est pratique mais un peu artificielle car elle ne prend pas
en compte les propriétés de l’appareil de mesure. En optique les champs
varient très rapidement ω ≃ 1015 rad/s pour le visible et les détecteurs
optiques actuels ne sont pas capables de suivre des variations aussi rapides.
Leurs temps de réponse τ dépassent largement la période des ondes dans
le visible.
−π
ωτ
2
ωτ
hsin ωtiτ = sin ωt sinc
2
hcos ωtiτ = cos ωt sinc
Table 1 – Temps de réponse de quelques photo-détecteurs.
La grandeur mesurée par un détecteur est alors une valeur moyennée non
pas sur la période de l’onde mais sur son temps de réponse τ :
hf (t)iτ =
1
τ
t+τ /2
f (t′ )dt′
iωt
(7)
t−τ /2
Par exemple,
iωt
he iτ = e
ωτ
sinc
2
où sinc est la fonction sinus cardinal :
sinc x =
9
sin x
x
x
Les valeurs moyennes sur τ des grandeurs réelles s’en déduisent :
œil humain
∼ 100 ms
photodiode
∼ 10 ns
photodiode ultra rapide 10 ps
Z
+π
Dans le domaine du visible, ωτ ≫ 1, ces valeurs moyennes deviennent
quasi nulles :
hcos ωtiτ ≫T = hsin ωtiτ ≫T ≈ 0
La plupart des détecteurs optiques sont sensibles à l’éclairement défini
par la puissance surfacique moyenne le long de ses rayons (norme du vecteur de Poynting). Pour un champ harmonique dans la limite de l’optique
géométrique se propageant dans un milieu transparent, on a :
E = hΠiτ = ǫvϕ hE 2 iτ
(8)
~ à partir de son expression complexe E
~ :
Exprimons le champ électrique E
~ = Re{E}
~ =1 E
~ +E
~∗ .
E
2
Il vient :
10
2
E =
et, d’après (8),
1
2
h
i
~ ·E
~ ∗ + Re{E
~ 2} =
E
hE 2 iτ =
1
2
h
1
2
2.2. Conditions d’observation
h
i
~0·E
~ ∗ + Re{E
~ 2}
E
0
~ 2 } sinc ωτ
~0·E
~ ∗ + Re{E
E
0
Cherchons d’abord à expliquer l’origine des interférences et, une fois le
terme d’interférence identifié, examinons les conditions qui font que ce
terme ne s’annule pas.
Considérons deux ondes de l’approximation de l’optique géométrique :
i
~ 1 (~r, t) = E
~ 01 (~r)ei[ϕ1 (~r)−ω1 t]
E
~ 2 (~r, t) = E
~ 02 (~r)ei[ϕ2 (~r)−ω2 t]
E
Compte tenu de l’hypothèse ωτ ≫ 1, la moyenne se simplifie en :
~ ·
hE 2 iτ ≫T = 12 E
0
~∗
E
0
La première condition pour observer des interférences c’est de se situer
dans la région de l’espace, dite zone d’interférence, où les deux ondes se
superposent. D’après les équations de Maxwell écrites dans un milieu linéaire transparent, le champ résultant est la somme des deux champs :
d’où :
~ ∗ = 1 ǫvφ E
~0·E
~ ·E
~∗
E = 12 ǫvφ E
0
2
On retrouve, dans cette limite, le résultat habituel.
Pour résumer : les valeurs moyennes telles qu’elles sont définies à partir du
temps de réponse τ du détecteur conservent leurs expressions habituelles
pourvu que celui-ci soit grand devant la période T du champ.
2. Interférences lumineuses à deux ondes
2.1. Considérations générales
Lorsque deux ondes, d’éclairement respectifs E1 et E2 , se superposent,
l’onde résultante a un éclairement E1+2 qui ne correspond pas à la somme
des éclairements de chacune des deux ondes :
E1+2 6= E1 + E2 .
(10)
(9)
~ 2 (~r, t)
~ r , t) = E
~ 1 (~r, t) + E
E(~
L’éclairement, mesuré par un détecteur dont le temps de réponse est τ ,
s’écrit :
~ ∗ + Re{E
~ 2 }iτ
~ ·E
E = KhE 2 iτ = 21 KhE
On a posé K = ǫvφ qui varie en fonction de ~r mais qui en un point donné
est commun aux deux ondes.
~ 2 contient des fonctions harmoniques de pulsations 2ω1 ou
La terme en E
2ω2 ou ω1 + ω2 . La valeur moyenne de ce terme sera quasi nulle car dans
le domaine visible le temps de réponse du détecteur τ ≫ T1 , T2 :
~ ·E
~ ∗ iτ
E = KhE 2 iτ = 12 KhE
C’est ce phénomène qui est appelé interférence. Le principe de conservation de l’énergie n’est pas remis en cause car si localement l’éclairement
résultant n’est pas la somme des éclairements, en revanche l’éclairement
moyenné sur un volume assez large correspond bien à la somme des éclairements moyens. Les interférences répartissent dans l’espace l’énergie lumineuse de manière non uniforme, certaines régions sont plus lumineuses,
d’autres plus sombres. Ce phénomène, lorsqu’il est observé, constitue une
preuve du caractère ondulatoire de la lumière.
~ ·E
~ ·E
~ ∗ iτ et E2 = 1 KhE
~ ∗ iτ qui correspondent aux
avec E1 = 21 KhE
1
2
1
2
2
éclairements respectifs des deux ondes prises individuellement et :
11
12
~ = E
~ 2 , l’expression de l’éclairement se présente
~1 + E
Reportons alors E
alors sous trois termes :
E = E1 + E2 + E12
E12
~ ∗ }iτ
~1·E
= KhRe{E
2
Il s’agit du terme d’interférence qui, lorsqu’il est différent de zéro, explique
l’inégalité (9). Le phénomène d’interférence est une conséquence directe
du fait que l’éclairement soit une forme quadratique de l’amplitude des
champs.
Examinons à présent sous quelles conditions ce terme est non nul.
En utilisant les expressions (10) :
E12
où
ϕ(~r) = ϕ1 (~r) − ϕ2 (~r)
est la différence de phase au point M de la zone d’interférence. Ce terme
semble en principe ne pas dépendre du temps.
Les interférences sont observables si |ω2 − ω1 |τ ≪ 1. Il n’est donc pas
exclu d’observer des interférences avec des sources de fréquences différentes
pourvu qu’elles soient suffisamment voisines.
ω1 ≈ ω2
Dans la suite on supposera les deux fréquences égales.
Si on ne considère que des champs polarisés rectilignement, la formule se
~ et E
~ réels (le terme de phase commun
simplifie car on peut supposer E
01
02
étant inclus dans ϕ).
~ 01 · E
~ 02 cos ϕ
E12 = K E
ϕ1 (M) = ϕ1 (S1 ) +
S1
~k1 · d~ℓ = ϕ1 (S1 ) +
13
Z
M
S1
différence de chemin optique au point M comptée à partir des sources
respectives et
différence de phase des deux sources. Ce terme peut en principe dépendre
du temps. En effet, si les sources sont indépendantes, l’émission de la lumière, qui est un processus aléatoire, depuis S1 n’a aucune raison particulière d’être corrélée à l’émission de la lumière depuis S2 . Dans ce cas
la différence ∆ϕS varie aléatoirement dans le temps au gré des émissions
de photons des deux sources. Il devient donc nécessaire de moyenner à
nouveau le terme d’interférence sur le temps de réponse du détecteur :
2πδ
~ 01 · E
~ 02 hcos ∆ϕS (t) +
E12 = K E
iτ
λ0
Si ∆ϕS varie très lentement devant τ , les interférences sont observables.
La nouvelle condition d’observation impose donc d’utiliser des sources cohérentes ou synchrones pour lesquelles :
∆ϕS = ϕ1 (S1 ) − ϕ2 (S2 ) ≈ Const
Pour résumer : des interférences lumineuses sont observables lorsque :
Le terme d’interférence comporte donc deux termes : un terme vectoriel,
lié à la polarisation des ondes qui interfèrent et un terme de phase.
Si les deux champs sont émis par deux sources ponctuelles S1 et S2 , on a
M
δ = δS1 M − δS2 M
∆ϕS = ϕ1 (S1 ) − ϕ2 (S2 )
~ 01 · E
~ ∗ eiϕ(~r) hei(ω2 −ω1 )t iτ }
= K Re{E
02
Z
où ϕ1 (S1 ) est la phase de l’onde à la source S1 . On a une expression
similaire pour ϕ2 (M).
Désignons par :
k1 dℓ = ϕ1 (S1 ) +
1. le détecteur est situé dans le champ d’interférences ;
2. les deux sources possèdent même fréquence ;
3. les deux sources sont cohérentes.
2π
δS M
λ0 1
14
2.3. Méthodes d’obtention des interférences lumineuses
L’utilisation de lasers stabilisés a permis de mettre en évidence des interférences entre deux sources distinctes quasi monochromatiques (Magyar et
Mandel, 1963). En dehors de ces cas exceptionnels, il est en général impossible d’observer des interférences entre deux sources indépendantes 1 Les
interférences lumineuses que l’on peut observer dans la Nature ou que l’on
réalise en TP s’obtiennent dans des conditions biens particulières. Elles
sont réalisées à partir d’une même source primaire qui est dédoublée en
deux sources par un système optique. Les deux sources qui sont les images
de la même source primaire sont alors rigoureusement de même fréquence,
égale à celle de la source primaire, et rigoureusement synchrones.
Les dispositifs qui permettent de dédoubler une source se présentent sous
deux formes :
∗ par division du front d’onde : le faisceau (ensemble de rayons) est
spatialement divisé en deux. Les rayons issus des deux faisceaux parcourent ensuite des chemins optiques différents puis se recoupent et
interfèrent. Il s’agit par exemple des dispositifs des trous d’Young,
miroirs de Fresnel. Ils conviennent pour des sources de faibles dimensions.
∗ par division d’amplitude : ces types de dispositifs utilisent le phénomène de réflexion–réfraction à l’interface d’un dioptre pour diviser
l’amplitude d’un faisceau provenant d’une même source en deux faisceaux (interféromètres de Michelson, Mach-Zehnder).
3. Interférences à deux ondes dans le modèle scalaire de la
lumière
Il s’agit de montrer comment on peut passer d’une description vectorielle
de la lumière (champs électromagnétique) à une description scalaire.
1. P. A. M. Dirac avait d’ailleurs était très clair à ce sujet : “Each photon then
interferes only with itself. Interference between two photons never occurs.” En 1931, il
avait bien sûr raison, mais on ne peut plus tenir un tel propos depuis l’invention du
laser.
15
Les dispositifs qui utilisent un dédoublement de la source font interférer des
rayons qui proviennent d’une même source. Ils font donc interférer chacun
des photon émis avec lui-même. C’est, comme on l’a vu, la méthode la
plus simple pour observer des interférences. Dans ces conditions chacune
des deux ondes qui interfèrent possède le même type de polarisation si le
milieu transparent n’agit pas sur la polarisation.
D’autre part, dans les conditions expérimentales habituelles, les deux rayons
qui interfèrent font des angles très petits et l’onde résultante est elle aussi
une onde qui se propage dans la même direction. Pour observer les interférences il suffit alors d’interposer un écran perpendiculairement aux
rayons.
Comme le milieu ne fait pas tourner le plan de polarisation de l’onde, les
champs électriques qui interfèrent forment entre eux un angle très petit qui
ne dépasse pas celui formé par les rayons. Il s’ensuit que le terme vectoriel
qui figure dans le terme d’interférence devient scalaire :
p
~ 01 · E
~ 02 cos ϕ ≈ KE01 E02 cos ϕ = 2 E1 E2 cos ϕ
E12 = K E
et la formule donnant l’éclairement devient :
E = E1 + E2 + 2
p
E1 E2 cos ϕ
(11)
c’est la formule de Fresnel.
Cette formule fondamentale se retrouve très facilement en faisant l’hypothèse que la lumière est décrite par un champ scalaire complexe appelé
amplitude lumineuse.
s(~r, t) = s0 (~r)ei(ϕ(~r)−ωt)
l’éclairement étant donné par l’expression quadratique :
E = ss∗
Pour une superposition de deux ondes, d’amplitudes s1 et s2 , l’amplitude
lumineuse devient s = s1 + s2 et l’éclairement qui en résulte :
16
E = (s1 + s2 )(s∗1 + s∗2 ) = s201 + s202 + 2s01 s02 cos ϕ
p
= E1 + E2 + 2 E1 E2 cos ϕ
La démonstration peut aussi prendre un tour géométrique en représentant
les amplitudes dans le plan complexe.
~s
~s2
au temps moyen qui sépare l’émission de deux photons. Mais ce n’est pas
pour autant qu’il faut en conclure que la lumière se comporte comme une
grandeur scalaire dans une expérience d’interférences. En effet, imaginons
deux sources de lumière naturelles cohérentes, de même fréquence mais indépendantes. Même si toutes les conditions énoncées précédemment sont
réunies pour les observer, ces deux sources ne donneraient pas des interférences car les polarisations des photons varient aléatoirement d’une source
à l’autre. Pour justifier l’utilisation du modèle scalaire dans la formule
de Fresnel il est nécessaire de supposer des interférences du photon avec
lui-même et, comme on l’a vu, cette seule hypothèse suffit.
3.1. Interférences constructives et destructives
D’après (11), l’éclairement de deux rayons qui interfèrent au point M dépend du déphasage ϕ en ce point :
ϕ
ϕ
ϕ2
~s1
ϕ1
En prenant le module au carré,
s20 = s21 + s22 + 2~s1 · ~s2 = s21 + s22 + 2s1 s2 cos ϕ.
(12)
C’est désormais le modèle scalaire de la lumière que nous adopterons pour
décrire les interférences.
Remarque :
Il est de coutume de justifier l’utilisation du modèle scalaire de la lumière
dès lors que les sources utilisées sont des sources dites de “lumière naturelle”. La “lumière naturelle” est par exemple celle que l’on reçoit du soleil ou
celle émise d’une lampe spectrale. C’est une lumière non polarisée ou, plus
précisément, la polarisation de l’onde émise varie de manière aléatoire au
gré des photons émis successivement (émission spontanée), à l’inverse de la
lumière cohérente du laser où les photons ont tous la même phase (cela est
rendu possible par le phénomène d’émission stimulée). Il devient donc impossible de mettre en évidence le caractère vectoriel de la lumière naturelle
à moins de posséder un détecteur dont le temps de réponse serait inférieur
17
∗ ϕ = 2pπ (p ∈ Z) les deux rayons sont en phase, il y a interférence
constructive et l’éclairement est à son maximum :
p
p
p 2
Emax = E1 + E2 + 2 E1 E2 =
E1 + E2
∗ ϕ = (2p + 1)π, les deux rayons sont en opposition de phase, il y a
interférence destructive, l’éclairement est à son minimum :
p
p
p 2
Emin = E1 + E2 − 2 E1 E2 =
E1 − E2
Le facteur de visibilité (ou de contraste) est défini par :
V =
Emax − Emin
Emax + Emin
(13)
Ce facteur est compris entre 0 et 1, valeurs qui correspondent respectivement aux cas :
∗ Emin = Emax les franges sont brouillées car l’éclairement est uniforme
E = Const.
18
∗ Emin = 0 les franges sont bien contrastées, les interférences destructives sont sombres.
Exprimé en fonction des éclairements E1 et E2 le facteur de visibilité s’écrit :
√
2 E1 E2
.
V =
E1 + E2
p
On peut l’étudier comme fonction du rapport x = E1 /E2 . Le graphe
V = V (x) passe par un maximum pour x = 1. Le contraste est donc
maximal lorsque E1 = E2 et prend la valeur V = 1.
Lorsque E1 = E2 = E0 , la formule de Fresnel devient :
ϕ
E = 2E0 (1 + cos ϕ) = 4E0 cos2
2
(14)
dans ce cas, l’interférence destructive conduit à l’annulation complète de
l’éclairement E du faisceau Emin = 0 et Emax = 4E0 .
E
il dépend en général de la fréquence du rayon). Les rayons deviennent des
droites et les expressions des chemins optiques et des phases :
δS1 M = nS1 M, δS2 M = nS2 M, δ = n [S1 M − S2 M]
2πδ
2πn
2π
ϕ=
=
[S1 M − S2 M] =
[S1 M − S2 M]
λ0
λ0
λ
où λ est la longueur d’onde dans le milieu d’indice n et où on a supposé
les sources en phase ∆ϕS = 0.
Les conditions d’interférences constructives et destructives peuvent alors
s’exprimer en terme de chemin optique :
∗ Interférences constructives :
ϕ = 2pπ ↔ δ = pλ0 ↔ S1 M − S2 M = pλ
Un multiple entier de longueurs d’onde sépare les distances parcourues par les deux rayons.
∗ Interférences destructives :
1
1
ϕ = (2p + 1)π ↔ δ = (p + )λ0 ↔ S1 M − S2 M = (p + )λ
2
2
E
Un nombre impair de demi-longueurs d’onde sépare les distances
parcourues par les deux rayons.
Ces conditions énoncées pour les longueurs d’onde ne sont vraies que dans
la mesure où nous avons fait l’hypothèse ∆ϕS = 0.
L’ordre d’interférence p d’un état vibratoire quelconque au point M est
défini par :
E
0
ϕ
δ = pλ0 .
Lorsque les ondes se propagent dans un milieu optiquement homogène
l’indice de réfraction est indépendant du point M considéré, n(~r) = n (mais
D’après ce qui précède (∆ϕS = 0), lorsque l’ordre p est entier les interférences sont constructives et lorsqu’il est demi entier les interférences sont
destructives.
L’ensemble des points de l’espace possédant le même état vibratoire forme
une surface d’équation :
19
20
4. Interférences dans un milieu optiquement homogène
Pour un point M de l’écran de coordonnées (x, y) telles que |y ±a/2| ≪ D,
nous avons
S1 M − S2 M = pλ.
C’est un hyperboloı̈de de révolution d’axe S1 S2 (figure ??)
+4
S2
+3
+2
M
+1
0
−1
S1
−2
−4
δ = n(S1 M − S2 M)
i
hp
p
x2 + D 2 + (y + a/2)2 − x2 + D 2 + (y − a/2)2
=n
2nay
p
=p
x2 + D 2 + (y + a/2)2 + x2 + D 2 + (y − a/2)2
nay
≈
D
Avec des sources synchrones (∆ϕS = 0), les franges brillantes apparaissent
pour δ = pλ0 (p ∈ Z) ; ce sont des droites parallèles équidistantes, d’équation yp = pλD/a, séparées de l’interfrange :
−3
i=
5. Interférences à l’infini
Examinons, dans un milieu optiquement homogène, l’allure des franges
sur un écran (E) placé très loin des sources et parallèlement à l’axe S1 S2 .
Posons a = S1 S2 et D distance entre les sources et l’écran (D ≫ a).
D
y
(15)
λD
a
(16)
D’après la formule de Fresnel, l’éclairement observé dans le cas de deux
sources de mêmes éclairements est
2πδ
2πy
E = 2E0 1 + cos
= 2E0 1 + cos
λ0
i
(17)
La variation est périodique, de période λ0 en fonction δ, ou bien de période
M (x, y)
x
S1
a
O
S2
Soit xOy le plan de l’écran, l’axe Oy étant parallèle à S1 S2 .
21
22
i, en fonction de la coordonnée y à l’écran.
Les rayons étant quasi parallèles, on a
E
δ = na sin θ ≈ naθ ≈
2E0
nay
D
• Plutôt que de placer un écran D très loin des sources, on peut observer des
franges d’interférences à l’infini en plaçant l’écran dans le plan focal image
d’une lentille convergente.Cette fois, ce sont deux rayons rigoureusement
parallèles qui, issus de S1 et S2 , traversent la lentille et interfèrent en M.
y
S2
δ
0
a
M (Y )
θ
F′
θ
S1 H
Remarques :
• Les franges sont observables partout dans le champ d’interférence. On
dit qu’elles sont non localisées. C’est une caractéristique des interférences
obtenues avec des sources ponctuelles.
• Le motif d’interférence n’est pas modifié si les sources sont translatées
dans le sens des franges. On peut donc remplacer les sources ponctuelles
par des fentes parallèles aux franges (suivant Ox) – l’avantage étant une
meilleure luminosité.
• L’expression de la différence de chemin optique ne dépend pas de x pour
D ≫ a, on peut la calculer plus simplement en posant x = 0.
y
M (y)
S2
a
θ
θ
S1
23
Abaissons, la perpendiculaire passant par S1 au rayon issu de S2 ; elle coupe
celui-ci en H et la différence de chemin optique s’écrit :
δ = nS1 H = na sin θ.
(18)
La simplicité de cette formule peut paraı̂tre suspecte étant donné que les
rayons suivent des chemins compliqués avant de se croiser en M : ils traversent des épaisseurs différentes dans la lentille, prennent des inclinaisons
différentes, etc. Mais, si δ a une expression aussi simple, c’est parce que
(S2 M) = (HM).
En effet, retirons sur la figure les deux sources situées aux points S1 et S2
et imaginons que les deux rayons parallèles passant par les points S1 et S2
proviennent d’une seule et même source à l’infini.
L’image de cette source dans le PFI de la lentille sera située en M. D’après
le théorème de Malus le plan passant par S2 H, perpendiculaire aux rayons,
est un plan d’onde et la sphère de rayon ǫ → 0 entourant M est une
surface d’onde. Par conséquent (S2 M) = (HM) et la formule (18). Une
24
autre manière de prouver l’égalité (S2 M) = (HM) consiste à remplacer le
point M sur l’écran par une source lumineuse fictive. Celle-ci étant située
dans le plan focal objet, les rayons qu’elle émet ressortent parallèles entre
eux et la droite S1 H appartient au même plan d’onde.
Si f ′ est la distance focale de la lentille, alors
tan θ =
Écran
P
S2
S
y
f′
S1
et pour des angles θ petits,
δ ≈ naθ ≈
nay
f′
On en déduit la nouvelle expression de l’interfrange :
i=
λf ′
a
6.2. Miroirs de Fresnel
Les trous d’Young ont l’inconvénient de faire intervenir la diffraction pour
observer des interférences à deux ondes. Des dispositifs différents ont été
imaginés qui s’affranchissent de ce phénomène. Dans les miroirs de Fresnel,
une source S éclaire deux miroirs M1 et M2 ayant une arête commune et
inclinés d’un petit angle α.
S
Exercice 2.1 Déterminer l’allure des franges d’interférence observées sur
un écran placé perpendiculairement à l’axe S1 S2 et situé à une distance
D ≫ a du milieu [S1 S2 ].
6. Exemples d’interférences par division du front d’onde
M2
L
M1
α
Les images S1 et S2 de S par les deux miroirs se comportent comme deux
sources cohérentes séparées de :
6.1. Trous d’Young
a = 2L sin α
Les trous S1 et S2 de petites dimensions (∼ λ) diffractent la lumière incidente provenant de la source ponctuelle S. Les deux trous se comportent
alors comme des sources secondaires cohérentes entre elles. Loin des sources
(D ≫ a) on observe des franges rectilignes.
où L est la distance de S à l’arête. On se ramène ainsi au cas général de
deux sources ponctuelles en interférence.
25
26
aη ay
+
d
D
Remarque : Le déphasage ϕ = 2πδ/λ0 entre les deux rayons qui interfèrent est calculé ici à partir de la source S(η). Il n’y a pas de ∆ϕS
puisqu’on part de la même surface d’onde sphérique infinitésimale entourant S(η). C’est la manière la plus naturelle de procéder mais on aurait pu
tout aussi bien partir des sources fictives S1 et S2 avec un δ = S1 P − S2 P
à condition de tenir compte du déphasage ∆ϕS entre ces deux sources qui
ne se trouvent pas sur la même surface d’onde issue de S(η). Ce déphasage
correspond précisément à 2π[S(η)S1 − S(η)S2 ]/λ0 .
δ = [S(η)S1 + S1 P ] − [S(η)S2 + S2 P ] ≈
M
S
M2
M1
α
2α
S1
S2
6.3. Influence de la largeur de la fente source
Le cas d’une source monochromatique étendue se traite en décomposant
sa surface en sources élémentaires ponctuelles incohérentes.
Examinons par exemple les conséquences de l’élargissement de la fente
source sur le motif d’interférence observé avec le dispositif des fentes d’Young.
Considérons une source étendue dans la direction y (ou η) de largeur 2b.
On suppose toujours a petit devant D mais aussi devant la distance d de
la source aux fentes (D, d ≫ a).
η
y
S2
M
S(η)
2b
S1
La source étendue primaire qui éclaire les deux trous S1 et S2 à un éclairement total E0 que l’on suppose réparti uniformément sur toute sa largeur
2b. Il s’ensuit qu’un élément de largeur dη de source a un éclairement
dη
.
2b
En appliquant la formule de Fresnel, l’éclairement dE(η, y) au point M de
l’écran qui résulte des interférences des rayons issus des sources fictives S1
et S2 éclairées par l’élément de source dη s’exprime par :
2πδ dη
dE(η, y) = 2dE0(η) [1 + cos ϕ] = 2E0 1 + cos
λ0 2b
dE0 = E0
Tous les éléments dη de source formant la source élargie sont des sources
incohérentes entre elles. Il ne peut donc y avoir d’interférences entre des
rayons provenant d’éléments de sources différents. L’éclairement résultant
est donc la somme – ici continue – des éclairements :
D
d
Considérons la source quasi ponctuelle S(η) de largeur infinitésimale dη
située à la hauteur η au dessus de l’axe optique. La différence de marche
entre les deux rayons qui interfèrent en P à l’écran à la hauteur y vaut :
Z +b 2
2πδ
E(y) =
dE(η, y) = E0
dη
1 + cos
2b
λ0
−b
−b
2πay
2πab
cos
= 2E0 1 + sinc
λd
λD
27
28
Z
+b
On s’assure que dans la limite b → 0, on retrouve la formule habituelle des
l’éclairement des trous d’Young éclairés par une source ponctuelle située
sur l’axe.
Pour b fixé, l’éclairement à l’écran varie entre Emax et Emin :
Emax
2πab
,
= 2E0 1 + sinc
λd Emin = 2E0
2πab
1 − sinc
λd Le facteur de visibilité (ou de contraste) des franges est défini par :
Emax − Emin 2πab V =
= sinc
Emax + Emin λd 1
δB − δA = λ0
2
il est maximal et vaut 1 lorsque b = 0.
Si on élargit la fente source, le contraste diminue, il s’annule pour la première fois lorsque :
2b =
λd
.
a
ab ay
ay
, δB =
+ .
D
d
D
Imposons à ces deux différences de marche de différer d’une demie longueur
d’onde pour faire en sorte, qu’à l’écran, le motif d’interférence observé
corresponde à la superposition des deux motifs provenant de chacune des
sources mais décalés d’un demi interfrange (on parle alors d’anticoı̈ncidence
et cela ne signifie en aucun cas que les deux sources soient cohérentes).
Dans ces conditions, on s’attend à ne plus voir les franges. En effet,
δA =
(19)
où il y a brouillage des franges.
L’apparition du brouillage s’interprète facilement si on examine seulement
deux sources ponctuelles l’une A, située au centre et l’autre B, à une
hauteur b au dessus.
(20)
conduit à immédiatement à 19).
Remarques :
∗ Ceci nous amène à considérer une source étendue comme quasi ponctuelle si la différence de marche entre deux rayons issus de deux de ses
extrémités reste inférieure à λ0 /4 c’est le critère de Verdet.
∗ Les interférences lumineuses sont utilisées en astronomie pour mesurer
par exemple l’écart angulaire α séparant deux étoiles (cf TD). On observera
un brouillage des figures d’interférence si le motif d’interférence provenant
d’une étoile est décalé d’un demi interfrange par rapport à celui provenant
de l’autre étoile. D’après (20), cela revient à écrire
Les différences de chemin optique entre les rayons qui issus de A interfèrent
en M et ceux issus de B interfèrent au même point sont respectivement :
αa
1
a
=
= λ0
2d
2
2
En faisant varier a, on observe un brouillage des franges avec une périodicité
2λ0
∆a =
α
ce qui permet d’en tirer α.
∗ L’idée de réaliser des interférences avec de la lumière pour mettre en
évidence son caractère ondulatoire remonte à Grimaldi en 1665. Il éclaira
deux trous d’épingle par la lumière du Soleil mais n’observa pas les franges
d’interférences attendues. Son expérience échoua parce que le Soleil est une
29
30
Y
S2
B
M
b
A
S1
D
d
δ = 2bθ = 2b
source trop étendue (son diamètre apparent est de 32’). L’idée de Young
en 1801, fut de faire passer la lumière du Soleil d’abord dans un premier
trou d’épingle pour servir de source primaire spatialement cohérente.
6.4. Observation d’un doublet
E = Eλ0,1 + Eλ0,2
Si on suppose que les trous d’Young ont même diamètre et que les deux
sources ont même éclairement, on aura donc :
E = 2E0 (1 + cos ϕ1 ) + 2E0 (1 + cos ϕ2 )
avec :
2πδ
,
λ0,1
#
"
#!
1
2πδ
1 + cos π∆ δ cos
λ0
λ0
E = 4E0
Supposons que les deux longueurs soient très voisines :
Considérons une source ponctuelle de lumière constituée de deux longueurs
d’onde différentes λ0,1 et λ0,2 (doublet) et éclairant deux trous d’Young. Le
motif d’interférence qui en résulte se détermine en superposant les motifs
de chacune des sources car ces sources sont incohérentes entre elles :
ϕ1 =
"
ϕ2 =
2πδ
,
λ0,2
δ=
nay
.
D
∆λ0 = λ0,2 − λ0,1 ≪ λ0
alors ∆(1/λ0 ) ≈ ∆λ0 /λ20 et l’éclairement devient :
"
#
"
#!
π∆λ0 δ
2πδ
E = 4E0 1 + cos
cos
λ20
λ0
La période en δ du premier cosinus est 2λ20 /∆λ0 tandis que celle du second
est λ0 . Il s’ensuit que le premier terme variant beaucoup plus lentement
module le second. C’est un phénomène de battement optique qui se produit
chaque fois qu’on additionne deux signaux sinusoı̈daux de fréquences très
voisines : le signal résultant est un signal de même fréquence mais dont
l’amplitude varie d’autant plus lentement que la différence |f2 − f1 | → 0
(un moyen par exemple d’accorder une guitare).
λ20
∆λ0
En utilisant les formules trigonométriques :
cos p + cos q = 2 cos
λ0
E
p+q
p−q
cos
2
2
on obtient :
E = 4E0
ϕ1 − ϕ2
ϕ1 + ϕ2
1 + cos
cos
2
2
#
Supposons λ0,2 > λ0,1 et posons :
∆
1
1
1
=
−
λ0
λ0,1 λ0,2
1
1
2
=
+
λ0
λ0,1 λ0,2
λ2
− ∆λ00
0
alors :
31
32
λ2
+ ∆λ00
δ
Le facteur de visibilité ici prend un caractère local. Au voisinage d’un δ
donné il existe de part et d’autre un maximum et minimum d’éclairement.
En tenant compte que le terme modulant garde une valeur pratiquement
constante sur ce voisinage, on a :
Emax (δ) = 4E0
"
#!
π∆λ
δ
0
1 + cos
,
λ20
Emin(δ) = 4E0
d’où le facteur de visibilité local :
"
#!
π∆λ
δ
0
1 − cos
λ20
"
#
π∆λ0 δ Emax − Emin = cos
V =
Emax + Emin λ20
λ20
(p + 21 )
∆λ0
p∈Z
(21)
Il s’agit en effet d’anticoı̈ncidences entre les interférences constructives produites par une des sources et celles destructives de l’autre. Supposons par
exemple
ϕ1 = (2p1 + 1)π
ϕ2 = 2p2 π
en posant p = p1 − p2 , on a :
ϕ1 − ϕ2 = (2p + 1)π = 2πδ
1
1
−
λ0,1 λ0,2
Jλ (λ)
∆λ
Le contraste des franges s’annule périodiquement en particulier pour
δ=
1
(22)
2
Une source purement monochromatique devrait alors émettre en continu
une onde pendant une durée infinie, or on sait que l’émission de la lumière
par la matière est un processus discontinu.
Considérons une source lumineuse dont le spectre est décrit par Jλ (λ).
∆t∆ω ≥
qui conduit à la même relation (21).
6.5. Interférences en lumière quasi-monochromatique
λ0
λ
La source est dite quasi monochromatique si, comme sur la figure, le spectre
présente un pic étroit autour d’une longueur d’onde λ0 . L’élargissement
spectral ∆λ de la raie doit alors vérifier la condition :
∆λ
≪1
λ0
Le motif d’interférence obtenu avec une source de spectre Jλ se détermine
en décomposant la source en une infinité de sources monochromatiques
incohérentes de longueur d’onde λ, de largeur dλ et d’éclairement 2 :
Les sources lumineuses considérées jusqu’à présent étaient strictement monochromatiques. Rappelons que de telles sources ne sont qu’une vue de
l’esprit car dans tout phénomène ondulatoire, la durée du train d’onde
2∆t et l’élargissement fréquentiel sont liés par l’inégalité :
2. L’argument utilisé ici peut paraı̂tre très artificiel (une seule source est présente).
Il faudrait plutôt justifier ce procédé en se rappelant que si le temps de réponse τ du
détecteur vérifie ∆ωτ ≫ 1, c’est à dire τ ≫ ∆t, il n’y a alors d’interférences que pour
des fréquences égales à dω près.
33
34
où
dE0 = J(λ)dλ
L’éclairement – analysé par exemple avec le dispositif des trous d’Young en
un point de l’écran qui correspond à une différence de marche δ = nay/D
entre les deux rayons – se déduit de la formule de Fresnel :
Z ∞
2πδ
dλ.
E(δ) = 2
J(λ) 1 + cos
λ
0
Il est plus pratique de développer les calculs en utilisant le nombre d’onde
σ=
E0 =
Z
La présence des valeurs absolues est nécessaire car les densités spectrales
sont des grandeurs positives alors que λ et σ varient en sens opposé.
Plus précisément :
dλ Jλ (1/σ)
Jσ (σ) = Jλ (λ) =
dσ
σ2
Si la source est quasi monochromatique sa densité spectrale Jσ présente,
comme Jλ , un pic très prononcé centré en σ0 = 1/λ0 . On peut même écrire
avec une bonne approximation :
est l’éclairement émis par chacun des deux trous d’Young éclairés par la
source quasi monochromatique.
Remarque : toute fonction de carré sommable f (x) admet une transformée de Fourier fˆ(y) donnée par :
Z +∞
ˆ
f (y) =
f (x)e−2iπyx dx.
f (x) =
Jσ (σ) [1 + cos 2πσδ] dσ = 2E0 + 2
Z
+∞
fˆ(y)e2iπyx dy.
−∞
En particulier, si la fonction f (x) est paire, on obtient
Z +∞
ˆ
f (y) = 2
f (x) cos(2πyx)dx.
−∞
appelée aussi transformée de Fourier en cosinus.
On constate donc que l’éclairement relatif E(δ) − 2E0 observé à l’écran est
la transformée de Fourier en cosinus du spectre de la source utilisée pour
réaliser les interférences.
En prenant la transformée de Fourier inverse du motif d’interférence on a
ainsi accès au spectre de la source.
L’expression de l’éclairement devient :
0
Z
∞
Jσ (σ) cos 2πσδdσ
et de hauteur J0 telle que
∆λ
∆σ = ∆λ−1 = 2
λ0
0
35
Jλ (λ)dλ
0
Pour simplifier les calculs, on modélise le profil spectral de la source par
un rectangle centré sur σ0 = 1/λ0 et de largeur ∆σ0 tel que
Jλ (1/σ)
Jσ (σ) ≈
σ02
E(δ) = 2
0
∞
et inversement
dE0 = Jλ (λ)|dλ| = Jσ (σ)|dσ|
∞
Jσ (σ)dσ =
Z
−∞
1
λ
qui est la fréquence spatiale associée à la longueur d’onde.
La densité spectrale associée est notée Jσ , elle est reliée à Jλ par
Z
∞
36
E
2J0 ∆σ = E0
de sorte que l’éclairement total soit conservé.
Jσ (σ)
J0
∆σ
1
+ ∆σ
1
− ∆σ
σ0
σ
Le calcul de E donne :
E(δ) = E0 + J0
Z
On définit le contraste local des franges :
V (δ) =
σ0 +∆σ
cos 2πσδdσ = 2E0 [1 + sinc(2π∆σδ) cos(2πσ0 δ)]
δ
Emax − Emin
= | sinc 2π∆σδ|
Emax + Ey min
Ce contraste diminue dès que δ augmente. En pratique, les franges se
brouillent losrque δ dépasse le premier zéro du sinus cardinal :
σ0 −∆σ
La source étant supposée quasi monochromatique, ∆σ ≪ σ0 et, dans l’expression de E, c’est le terme en sinc qui module celui en cos.
1
↔ brouillage
(23)
2∆σ
Cela signifie que l’on ne peut pas observer des interférences entre deux
rayons dont la différence de chemin optique devient trop importante.
La qualité de la lumière a donc une une grande importance pour observer
des interférences (∆λ/λ0 ≪ 1).
δ>
Nous pouvons donner une interprétation plus intuitive de cette inégalité en
terme de longueur de cohérence. Comme on l’a vu, l’élargissement spectral
est lié à la durée d’émission 2∆t du train d’onde par l’inégalité 22. Dans
le meilleur des cas l’inégalité devient une égalité. Si la lumière se propage
à la vitesse c la longueur du train d’onde ou longueur de cohérence est :
37
38
6.6. Spectre large
ℓc = 2c∆t
est la longueur du train d’onde. En tenant compte de la relation de dispersion ω = ck = 2πcσ, l’inégalité 22 devient :
2πℓc ∆σ ≥ 1.
Pour observer des interférences avec des trains d’onde de longueur finie
provenant du même photon il faut que ceux-ci se recouvrent au point
où les rayons se croisent. Pour un milieu d’indice n = 1 la condition de
brouillage s’écrit
δ > ℓc ≥
1
2π∆σ
Au facteur π c’est la même condition que (23).
En résumé : pour observer des interférences en lumière quasi monochromatique il faut en plus des trois conditions énumérées au paragraphe ??
remplir une troisième condition :
La longueur de cohérence de la lumière utilisée doit être supérieure à la
différence de marche des rayons qui interférent .
ℓc > δ
Voici quelques caractéristiques de différentes sources lumineuses.
IR thermique
lumière blanche
lampe Hg
laser He-Ne
λ0 (nm)
10 000
550
546,1
39
∆λ (nm)
4 000
300
1
ℓc
2,5λ0
1 µm ≈ 1,5λ0
≤ mm
≤ 400 m
Lorsque la lumière n’est pas quasi monochromatique ce qui est observé dépend pour beaucoup du détecteur utilisé. Considérons le cas de la lumière
blanche (soleil, lampe à incandescence) avec une observation à l’œil nu.
L’intervalle des longueurs d’onde s’étalant entre 400 nm et 700 nm nous
avons ∆λ/λ ≈ 1/2.
Les franges brillantes observées, dans un dispositif de trous d’Young, apparaissent à l’écran aux points d’ordonnées y pour des longueurs d’onde λ
telles que
λD
,
k = 0, ±1, . . .
y=k
a
On observe au centre une frange brillante qui correspond à la frange d’ordre
zéro. Elle apparaı̂t blanche car sa position est indépendante de la longueur
d’onde. Au-delà les franges les plus brillantes correspondent aux radiations
vert-jaune où se situe le maximum de sensibilité de l’œil (550 nm). On ne
peut observer que des franges d’ordre relativement faible car la lumière
blanche possède une longueur de cohérence faible (∼ 1 µm)
Supposons par exemple qu’on observe au point où la différence de chemin
optique entre les rayons qui interfèrent soit de δ = 6 µm
Aux extrémités du spectre les ordres sont kmax = 15 et kmin = 8,5. Par
conséquent il y aura 7 longueurs d’onde en interférence constructive. Leur
superposition donne à l’œil une impression de blanc appelé « blanc d’ordre
supérieur ». Au même point 7 radiations sont en interférence destructives.
Si on analyse la lumière à l’aide d’un spectroscope, on observe un spectre
comportant des bandes sombres qu’on appelle « spectre cannelé ».
7. Interférences à l’infini de N sources ponctuelles
Considérons des interférences à N sources ponctuelles régulièrement espacées de a.
Cette situation se rencontre par exemple lorsqu’on éclaire N trous d’Young
régulièrement espacés par une source ponctuelle située à l’infini (réseau par
transmission).
40
S0
M
F
′
θ′
K
S1
H
S2
S3
S
S4
Lorsque la distance entre les sources et l’écran est infinie, les interférences
se font entre rayons parallèles. On y parvient approximativement en plaçant un écran à une distance grande des sources ou, rigoureusement, en
observant dans le PFI d’une lentille convergente.
On a montré que pour des interférences à l’infini la différence de chemin
optique entre deux rayons qui interfèrent ne dépendait pas de x, il suffit
alors pour la calculer, de se placer dans le plan x = 0.
Numérotons les différentes sources ponctuelles Si de 0 à N − 1.
θ
Les trous d’Young sont uniformément éclairés sous un angle θ′ de sorte
que chaque trou diffracte la lumière de la même manière et se comporte
comme une source secondaire. Examinons les rayons qui sont diffractés
dans la direction θ et qui interfèrent au point M à l’infini ou dans le PFI
en y = f ′ θ.
Nous prenons comme origine des phases, le plan d’onde perpendiculaire aux
rayons incidents et passant par S0 (c’est un plan d’onde que l’on pourrait
qualifier de virtuel puisque les rayons ne l’atteignent pas).
Le plan perpendiculaire aux rayons diffractés sous l’angle θ et passant par
S0 n’est pas un plan de phase. Cependant d’après le théorème de Malus
si ces rayons provenaient d’une même source, ce plan serait alors un plan
de phase ce qui permet d’affirmer que les chemins optiques qui séparent ce
plan du point M sont indépendants des rayons.
Il s’ensuit que la différence de chemin optique entre deux rayons parallèles
issus des deux sources voisines S0 et S1 s’écrit :
δ = (HS1 M) − (S0 M) = (HS1 ) + (S1 K) = na(sin θ − sin θ′ ).
car (KM) = (S0 M) d’après le théorème de Malus.
41
42
Plus généralement la différence de chemin optique entre deux rayons parallèles issus des sources S0 et Sm :
δ0,m = n(ma) sin θ = mδ.
La condition pour que tous les rayons émergents du réseau sous l’angle θ
soient en interférences constructives impose en particulier des interférences
constructives entre le rayon provenenant de S0 et celui de S1 :
δ = pλ0
2πa(sin θ − sin θ′ )
2πδ
=
λ0
λ
et le déphasage au même point entre les rayons issus de S0 et de Sm :
ϕ=
2πδ0,m
2πmδ
=
= mϕ.
λ0
λ0
La phase au point M de l’onde issue de Sm s’exprime à partir de la phase
au même point de l’onde provenant de S0 par :
ϕm =
et cette condition est suffisante car si elle est vérifiée, la différence de
chemin optique entre le rayon issu de Sm et celui issu de S0 est telle que
L’amplitude complexe en M de la vibration lumineuse de l’onde scalaire
issue de Sm s’écrit :
δ0,m = mδ = pmλ0 .
On en déduit la relation fondamentale des réseaux :
a(sin θ − sin θ′ ) = pλ
ϕm = ϕ0 + mϕ
sm (M, t) = s0,m ei(ϕm −ωt) = s0,m ei(ϕ0 −ωt) eimϕ = s0 (M, t)eimϕ
(24)
qui impose des interférences constructives entres tous les rayons. Cette
condition étant réalisée, tous les rayons vibrent en phase, d’où la construction de Fresnel
avec s0,m = s0,0 car les sources sont supposées de même éclairement.
L’amplitude complexe résultante des interférences en M s’écrit :
stot (M, t) =
N
−1
X
sm (M, t) = s0 (M, t)
m=0
stot
= s0 (M, t)
ϕ0
l’amplitude résultante est alors maximale, c’est la somme Ns0 des amplitudes individuelles et l’éclairement atteint son maximum :
43
eimϕ
m=0
1 − eiN ϕ
1 − eiϕ
En représentation de Fresnel :
Nϕ
sin
2
iN ϕ/2
ϕ
= s0 (M, t)e
sin
2
Emax = (Ns0 )2 = N 2 E0
où E0 est l’éclairement d’une source.
Pour obtenir une expression de l’éclairement qui généralisera la formule de
Fresnel à deux sources, introduisons le déphasage au point M de l’écran
entre deux rayons issus de sources voisines :
N
−1
X
stot
44
Lorsqu’on fait varier θ′ chaque raie située dans un ordre p donné se déplace
en vérifiant la relation :
La formule donnant l’éclairement s’en déduit :
Nϕ
2
sin
2
∗
ϕ
E = stot stot = E0
sin2
2
a(sin θ − sin θ) = pλ
Pour N = 2 nous retrouvons la formule de Fresnel (14) à deux ondes.
L’éclairement E est une fonction de ϕ périodique de période 2π.
E
La déviation est alors une fonction de θ′ uniquement qui s’écrit :
pλ
′
− θ′
D = arcsin sin θ +
a
Cette courbe de déviation passe par un minimum. En effet dD = 0 conduit
à dθ = dθ′ et en différenciant la relation des réseaux :
cos θ = cos θ′
La solution à retenir étant θ = −θ′ , on a au minimum de déviation Dm :
2a sin
Dm
= pλ
2
7.2. Dispersion angulaire
−2π
0
+2π
ϕ
Les maxima E0 N 2 sont atteints en ϕ = 2pπ, ou δ = pλ0 , ce qui nous
ramène à la formule des réseaux (24) qui correspond à des interférences
constructives entre toutes les ondes.
La première valeur qui annule E est obtenue pour Nϕ = 2π d’où la demie
largeur associée aux pics d’éclairement :
∆ϕ =
2π
N
7.1. Minimum de déviation
On définit la déviation du réseau par ;
(25)
L’intérêt d’un réseau est de disperser la lumière pour pouvoir l’analyser
longueur d’onde par longueur d’onde (principe des spectromètre et monochromateur).
Supposons θ′ = 0 (incidence normale).
Dans l’ordre p la raie associée à la longueur d’onde λ est dévié sous l’angle
θ tel que :
sin θ = pλ.
La dispersion angulaire du réseau dans un ordre p est définie par :
dθ
dλ
=
disp
D = θ − θ′
45
46
p
a cos θ
7.3. Élargissement instrumental
8. L’interféromètre de Michelson
L’inconvénient d’un réseau c’est qu’il élargit les raies par diffraction. Lorsq’une onde plane est diffractée par le réseau on n’observe pas un point
dans le PFI de la lentille mais une tâche dont la demie largeur exprimée
en ϕ est donnée par (25). On en déduit par différentiation la demie largeur
angulaire ∆θdiff due à la diffraction
∆ϕ =
L’interféromètre de Michelson appartient à la famille des systèmes optiques
qui fournissent des interférences par division d’amplitude.
M2
2πa cos θ
2π
∆θdiff =
λ
N
(C)
soit :
∆θdiff =
M1
λ
Na cos θ
7.4. Pouvoir de résolution
(S)
S
On fixe comme critère que deux longueurs d’ondes seront séparées si l’écart
angulaire dû à la dispersion est supérieur à la demie largeur angulaire de
la tâche de diffraction :
∆θdisp > ∆θdiff
autrement dit :
λ
p
∆λ >
a cos θ
Na cos θ
Le pouvoir de résolution R est la plus grande valeur atteinte par ∆λ/λ :
∆λ
= pN
R=
λ max
Il faut donc se placer à un ordre non nul, le plus grand possible et disposer
d’un très grand nombre de traits N.
Exercice : On considère un réseau de largeur L = 15 cm de 6000 traits/mm
calculer pour λ = 540 nm le pouvoir de résolution du réseau dans l’ordre
2.
(réponse : R = 1,8 × 105 ).
47
P
Le faisceau incident est divisé en amplitudes égales grâce à une lame semiréfléchissante (S) appelée séparatrice. Les deux rayons sont ensuite réfléchis
par les miroirs M1 et M2 . En retournant sur la séparatrice, ils sont à nouveau divisés et conduisent à des interférences. Un des deux rayons traverse
une fois la séparatrice tandis que l’autre la traverse trois fois. En lumière
blanche cette dissymétrie devient gênante à cause de la dispersion par le
verre de la séparatrice et, pour la corriger, on interpose sur le chemin du
premier rayon une lame (C) parallèle à la séparatrice en tout point identique à celle-ci mais démunie de surface semi-réfléchissante qu’on appelle
compensatrice.
48
On remarque aussi qu’il y a une réflexion air/verre pour le premier rayon
alors que pour le second rayon elle est du type verre/air. Cela introduit
un déphasage systématique de π entre les deux rayons. Ce déphasage est
souvent ignoré ou corrigé. Nous n’en tiendrons pas compte dans la suite.
P
S1′
8.1. Schémas équivalents
Pour aboutir aux deux schémas équivalents du Michelson, on commence
par considérer une séparatrice d’épaisseur nulle ce qui permet de supprimer
la compensatrice.
Nous pouvons ensuite éliminer la séparatrice si, d’une part,
au lieu de considérer la source S, on suppose que les rayons M1′
proviennent de la source fictive S ′ image de S par la sépara- M2
trice et si, d’autre part, à la place du miroir M1 on considère
le miroir fictif M1′ image de M1 par la séparatrice.
On se ramène au système fictif constitué d’une source placée
au devant d’un coin d’air formé par les surfaces des deux
S′
P
miroirs M1′ et M2 . C’est le premier schéma équivalent.
Poussons plus loin la simplification en remplaçant S ′ par
ses images S1′ et S2′ par M1′ et M2 . Finalement, les interférences observées
peuvent se décrire comme des interférences à deux ondes provenant de
deux sources cohérentes.
S2′
M1′ e M2
On remarque que ces interférences relèvent aussi d’une division du front
d’onde. Ainsi, lorsque la source devient étendue, différents ordres d’interférence se superposent au même point P ce qui conduit au brouillage des
franges.
Il existe une situation où des interférences restent observables avec une
source étendue, c’est lorsque l’observation se fait à l’infini. Il faudra placer
un écran très loin des miroirs ou bien effectuer l’observation dans le plan
focal image d’une lentille.
(L)
M1′
δ=
M2
i
2e c o s
i
P
S′
S1′
i
i
S2′
S
′
P
O
2e
e
S1′
S′
S2′
M1′
M2
8.2. Michelson en lame d’air
Le Michelson est dit en lame d’air lorsque les miroirs M1 et M2′ sont
rigoureusement parallèles et espacés de e.
Avec une source ponctuelle S ′ on observe un motif d’interférence donnant
des anneaux brillants centrés sur l’axe S1′ S2′ .
49
La différence de chemin optique entre deux rayons qui interfèrent à l’infini
ne dépend plus de la position du point source mais seulement de leur
inclinaison :
δ = 2e cos i
La figure d’interférence observée avec le Michelson en configuration lame
d’air éclairé avec une source étendue sont des anneaux d’égale inclinaison
50
localisés à l’infini. On les appelle aussi anneaux de Haidinger.
2e
λ
En général q n’est pas entier. En augmentant i, on s’éloigne du centre et
δ diminue, appelons kmax l’entier immédiatement inférieur au égal à q :
2e
.
kmax =
λ
q=
Il correspond à cet ordre maximal le premier anneau brillant compté à
partir du centre. Si on s’éloigne à nouveau on verra le deuxième anneau,
etc. Les angles ik des anneaux brillants sont donnés par :
ik = arccos
k
q
avec : k = kmax , kmax − 1, · · · , 0
Si p est le pième anneau compté à partir du centre, l’ordre d’interférence
est :
Le calcul de δ peut aussi se faire directement en considérant la différence
de marche introduite par la lame d’air :
kp = kmax − p + 1.
Ne confondons pas numérotation des anneaux et ordre d’interférence !
Les rayons de ces anneaux s’écrivent :
i
e
rk = f tan ik
I
H
J
δ = IJ + JH = IJ(1 + cos 2i) =
e
(1 + cos 2i) = 2e cos i
cos i
Rayons des anneaux brillants
Les franges brillantes apparaissent pour :
Pour des angles petits (k voisins de kmax ), écrivons rk ≈ f ik et cos ik ≈
1 − i2k /2, d’où l’expression approchée des rayons au voisinage du centre :
s k
rk = f 2 1 −
k = kmax , · · · , 0
q
C’est donc au centre (i = 0) que l’ordre d’interférence est le plus élevé.
Posons q ordre au centre :
Faisons varier l’épaisseur e à présent. L’ordre au centre q étant proportionnel à e, si on augmente e , on augmente l’ordre au centre et par conséquent
kmax augmente : on fait apparaı̂tre donc de nouveaux anneaux. Sur l’écran
on observe des anneaux qui sortent du centre. Inversement, si e diminue
les anneaux rentrent.
51
52
δ = 2e cos i = kλ
k∈N
Lorsque e = 0, on dit qu’on a atteint le contact optique. On a δ = 0, pour
toute incidence i l’ordre d’interférence est k = 0. L’écran devient donc
uniformément éclairé, c’est la teinte plate.
8.3. Michelson en coin d’air
Lorsque les miroirs sont proches du contact optique et légèrement inclinés
on a formé un “coin d’air”.
Les franges que l’on observe sont liées aux variations d’épaisseur entre les
deux surfaces. Ce sont des franges d’égale épaisseur.
S
M
On observe ce type de franges avec une fine couche d’huile déposée sur une
flaque d’eau éclairée par le Soleil sur fond sombre ou bien encore sur les
bulles de savon.
Avec une source ponctuelle, ces franges sont non localisées.
Avec une source étendue ces franges vont se brouiller sauf en des lieux
particuliers obtenus en appliquant le théorème suivant :
La localisation des franges avec une source étendue se détermine en
examinant des interférences entre rayons provenant de la division d’un
même rayon source.
franges réelles
franges virtuelles
La différence de chemin optique est alors voisine du
double de l’épaisseur locale de la couche d’air emprisonnée. C’est même rigoureusement exact dans le cas particulier où la surface inférieure du coin d’air est éclairée
normalement. Les franges sont réelles et localisées sur le
surface supérieure du coin. Pour un point d’incidence situé à la distance x de l’arête, nous avons :
x
α
δ = 2x tan α ≈ 2αx
Les franges sont rectilignes, parallèles à l’arête du coin d’air, la valeur de
l’interfrange vaut :
∆x =
λ
.
2α
8.4. Dispositif expérimental d’observation
Nous admettons ce résultat sans démonstration en notant qu’il est en accord avec le cas précédent du Michelson en lame d’air.
Dans le cas du coin d’air d’angle α petit et éclairé sous une incidence
quasi normale, les franges déterminées à partir de ce principe, se trouvent
localisées au voisinage du coin d’air. Nous pouvons observer des franges
réelles ou virtuelles.
En résumé : le Michelson éclairé avec une source ponctuelle donne des
interférences à deux sources ponctuelles fictives et cohérentes qui sont non
localisées dans le champ d’interférence.
Eclairé avec une source étendue, le Michelson donne des franges localisées
là où les interférences résultent d’une division d’amplitude pure du rayon
source.
Pour une configuration en lame d’air, les franges sont localisées à
l’infini, ce sont des anneaux d’égale inclinaison et δ = 2e cos i.
Pour une configuration en coin d’air de faible angle α, éclairé sous
une incidence quasi-normale, les franges sont localisées au voisinage
53
54
du coin d’air, ce sont des franges d’égale épaisseur rectilignes et δ ≈
2αx.
Les deux figures suivantes donnent le schéma du dispositif à utiliser pour
observer les deux types de franges avec le Michelson.
M2
e
M1′
P
S
M1
(L)
f′
i
PFI
P′
P
franges d’égale inclinaison
franges d’égale épaisseur
Pour observer les franges d’égale inclinaison nous devons éclairer les miroirs
à l’aide d’un faisceau divergent de rayons (i doit varier, la source est placée
au-devant du foyer objet de la lentille L1 ). Les anneaux d’égale inclinaison
étant localisés à l’infini, on observe dans le plan focal de la lentille L2 .
Pour observer les franges d’égale épaisseur, nous devons éclairer les miroirs
en incidence quasi normale. La source doit être de faible étendue située au
foyer objet de la lentille L1 (on utilise souvent un diaphragme placé au foyer
objet). Les franges d’égale épaisseur sont positionnées dans le voisinage du
coin d’air, la lentille L2 permet de les observer (l’écran et les miroirs M1 ,
M2′ sont conjugués par la lentille).
55