1 Compléments d`optique géométrique

1 Compl´ements d’optique g´eom´etrique
1. Limite de l’optique g´eom´etrique
Examinons comment l’optique g´eom´etrique se d´eduit des ´equations de
Maxwell et comment les th´eor`emes classiques de l’optique g´eom´etrique
en d´ecoule.
Nous consid´erons un milieu transparent caract´eris´e par sa fonction di´elec-
trique ǫ=ǫ(~r, ω) positive suppos´ee d´ependre de la position ~r ; c’est donc
un milieu lin´eaire, isotrope et pas n´ecessairement homog`ene, Les champs
sont suppos´es monochromatiques, ils varient dans le temps comme e−iωt
(c’est la convention la plus souvent adopt´ee en optique ondulatoire).
Dans ce milieu, les ´equations macroscopiques de Maxwell s’´ecrivent :
div ǫ~ E= 0 ~
rot ~ E=iω ~ B
div ~ B= 0 ~ rot ~ B=−iωµ0ǫ~ E
Nous cherchons des solutions de la forme :
~
E=~
E0(~r)ei[ϕ(~r)−ωt](1)
~
B=~
B0(~r)ei[ϕ(~r)−ωt](2)
Bien que les ondes planes en fassent partie, ces ondes ne sont pas n´ecessai-
rement planes, elles contiennent aussi les ondes rayonn´ees par des sources
localis´ees (dont l’amplitude d´ecroˆıt en 1/r). L’hypoth`ese essentielles faite
sur ces ondes, qui conduira `a l’approximation de l’optique g´eom´etrique,
consiste `a supposer que le terme de phase ϕ(~r) (fonction r´eelle) varie
beaucoup plus que les termes d’amplitude ~ E0(~r), ~ B0(~r) et que la fonc-
tion di´electrique ǫ(~r, ω). Ainsi, les d´eriv´ees de ces derniers termes pourront
ˆetre n´eglig´es devant les d´eriv´ees de la phase ϕ. Par exemple :
div ǫ~ E=hdiv ǫ~
E0+iǫ ~
∇ϕ·~ E0iei[ϕ(~r)−ωt]≈iǫ ~
∇ϕ·~ E
Dans cette limite, les ´equations de Maxwell deviennent :
1
~
∇ϕ·~ E= 0 ~
∇ϕ∧~ E=ω~ B(3)
~
∇ϕ·~ B= 0 ~
∇ϕ∧~ B=−ωµ0ǫ~ E(4)
Ces ´equations co¨ ıncident avec celles obtenues en faisant se propager des
OPPMs dans un milieu di´electrique homog`ene `a ceci pr`es que le vecteur
d’onde ~ kest remplac´e par ~ ∇ce qui nous am`ene `a introduire un vecteur
d’onde local :
~
k(~r) = ~ ∇ϕ(~r)
Les surfaces d’onde sont d´efinies comme les surfaces o`u la phase ϕ(~r) reste
constante :
ϕ(~r) = Const.
Si on d´esigne par phase de l’onde le terme complet Φ(~r, t) = ϕ(~r −ωt
figurant dans le terme de propagation, on dira dans ce cas qu’une surface
d’onde est une surface sur laquelle les champs vibrent en phase.
D’apr`es une propri´et´e connue du gradient ~ kest donc perpendiculaire aux
surfaces d’onde.
On obtient aussi une relation de structure habituelle mais locale :
~
B=~
k(~r)
ω∧~
E
Comme les composantes du vecteur d’onde sont r´eelles, la relation de struc-
ture pour les champs r´eels s’´ecrit :
~
E=vϕ~ B∧~u
o`u ~u =~ k/k et vϕla vitesse de phase :
vϕ=ω
k
2

En proc´edant de mani`ere habituelle on obtient la relation de dispersion :
k2=µ0ǫω2=ω2
c2ǫ ǫ0.
Le milieu ´etant suppos´e transparent, ǫest partout positive et
vϕ=ω
k=c
pǫ/ǫ0
=c
n
o`u, par analogie avec la formule d’optique g´eom´etrique v=c/n d´efinissant
l’indice optique ncomme le rapport entre la vitesse de la lumi`ere cdans
le vide `a sa vitesse vdans le milieu transparent, on d´efinit l’indice de
r´efraction par la formule :
n(~r, ω) = sǫ(~r, ω)
ǫ0
(5)
La relation de dispersion locale prend la forme :
k=nk0
o`u k0=ω/c est le vecteur d’onde de l’onde se propageant dans le vide
avec la mˆeme fr´equence et de longueur d’onde λ0:
λ0=2π
k0
=cT,
o`u Test la p´eriode.
Dans le milieu transparent la longueur d’onde λdevient aussi locale et
correspond `a la p´eriodicit´e spatiale locale de l’onde :
λ=2π
k=λ0 n=vϕT.
Nous pouvons retenir la formule utile suivante :
3
k=2π
λ0
n=2π
λ(6)
Comme par hypoth`ese, ϕvarie rapidement, k=k~ ∇ϕkest donc tr`es grand
et la longueur d’onde tr`es petite. L’approximation g´eom´etrique correspond
donc au cas limite λ→0 ou, plus pr´ecis´ement, au cas o`u la longueur d’onde
locale reste partout tr`es petite devant les longueurs typiques de variations
de l’indice n.
2. Rayon lumineux et chemin optique
Examinons l’´energie moyenne locale des champs pris dans la limite de
l’optique g´eom´etrique
hwei=hǫE2
2i=ǫ~
E0·~
E∗
0
4=ǫ~
E·~
E∗
4
hwmi=hB2
2µ0i=hE2 2v2
ϕµ0i=hǫE2
2i=hwei
pour les champs de l’optique g´eom´etrique il y a, comme pour les OPPM
se propageant dans le vide, ´equipartition de l’´energie moyenne ´electrique
et magn´etique.
hwi=hwei+hwmi=ǫ~
E0·~
E∗
0
2
Pour le vecteur de Poynting moyen,
h~ Πi=h~
E∧~ B
µ0i=vϕhB2 µ0i~u =hwivϕ~u
Cette expression montre que l’´energie lumineuse est transport´ee `a la vitesse
de phase :
vE=vϕ=v=c
n
4

le long les lignes de champ de ~ k. Ce r´esultat justifie a posteriori le choix
de la vitesse de phase pour d´efinir l’indice de r´efraction par analogie avec
l’optique g´eom´etrique.
L’optique g´eom´etrique d´efinit les rayon lumineux comme les trajectoires
suivies par l’´energie lumineuse. Nous sommes donc conduits `a identifier les
rayons lumineux de l’optique g´eom´etrique aux lignes de champ du vecteur
d’onde local ~ k.
Il en d´ecoule la propri´et´e fondamentale :
Les rayons sont perpendiculaires aux surfaces d’onde.
Consid´erons sur un rayon lumineux, un ´el´ement de surface d~ Sperpendicu-
laire au rayon. La puissance lumineuse moyenne qui traverse cette surface
est
dP=h~ Πi · d~ S=hΠidS
On appelle intensit´e ou ´eclairement en Mla puissance par unit´e de sur-
face :
E=dP
dS =hΠi=hwiv=1 2ncǫ0~
E·~
E∗∝~
E·~
E∗
En optique, on oublie vite le terme de proportionnalit´e.
En optique, on ´ecrit simplement et sans se soucier du manque d’homog´e-
n´eit´e :
E=~ E·~ E∗=~ E0·~
E∗
0
Le chemin optique entre deux points Aet Bsitu´es sur un mˆeme rayon est
d´efini par
(AB) = ZB
A
ndℓ
Comme n=c/v et dℓ =vdt, on aussi
(AB) = cZtB
tA
dt =c(tB−tA)
5
c’est au facteur multiplicatif cpr`es, le temps mis `a la lumi`ere pour aller
du point Aau point Bdans le milieu transparent.
Consid´erons un chemin CAB quelconque joignant A`a Bet appelons RAB
le chemin particulier qui co¨ ıncide avec la portion de rayon. La circulation
de ~ ksur ces deux chemins est identique, elle correspond `a la variation de
phase entre Aet B:
ϕB−ϕA=ZCAB
~
k·d~ ℓ=ZRAB
kdℓ =2π
λ0
(AB)
En adoptant la notation habituelle δAB = (AB) pour le chemin optique,
nous obtenons une formule d’optique fondamentale
ϕB−ϕA=2πδAB
λ0
ainsi que l’´enonc´e suivant qui en d´ecoule :
Le chemin optique qui s´epare deux surfaces d’onde reste constant.
3. Th´eor`emes d’optique g´eom´etrique
3.1. Th´eor`eme de Descartes
Des d´efinitions de ~ ket de ~u, nous avons
n~u =n
k~
∇ϕ=λ0
2π~
∇ϕ
d’o`u
~
rot(n~u) = 0
Cela implique qu’`a la travers´ee de deux milieux d’indice n1et n2diff´erents,
la composante tangentielle de n~u reste continue. Pour le v´erifier il suffit
d’utiliser le th´eor`eme de Stokes sur un contour ferm´e situ´e de part et
d’autre de la fronti`ere (cf. aussi la d´emonstration de la continuit´e de la
composante tangentielle de ~ Een ´electrostatique).
6

Soient ~u1et ~u2les vecteurs unitaires du rayon lumineux de part et d’autre
de la surface s´eparant les deux milieux et ~ Nla normale `a cette surface
au point Itravers´ee par le rayon. Le vecteur n2~u2−n1~u1n’ayant pas de
composante tangentielle, il est port´e par ~ N. Les trois vecteurs n2~u2,n1~u1
et ~ Nsont donc dans un mˆeme plan (plan d’incidence).
D’autre part, si θ1et θ2sont les angles compt´es `a partir de ~ Nque font les
deux rayons, la conservation de la composante tangentielle de n~u conduit
imm´ediatement aux lois de Descartes :
n1sin θ1=n2sin θ2.
Les lois de la r´eflexion se d´eduisent de la mˆeme mani`ere sachant que n2=
n1.
3.2. Th´eor`eme de Malus (Dupin-Gergonne)
Apr`es un nombre quelconque de r´eflexions et de r´efractions, les rayons
lumineux ´emis d’une source ponctuelle sont normaux aux surfaces d’onde.
C’est un th´eor`eme qui nous semble ´evident, vu la d´efinition des rayons et
des surfaces d’onde mais il faut savoir que ce th´eor`eme a ´et´e d´emontr´e sans
connaˆıtre la nature ondulatoire de la lumi`ere mais seulement `a partir des
lois de l’optique g´eom´etrique (lois de Descartes ou principe de Fermat) et
c’est ce qui en fait une prouesse math´ematique.
Comme cons´equence du th´eor`eme de Malus vient la d´efinition rigoureuse
du stigmatisme d’un syst`eme optique S.
Un syst`eme optique est rigoureusement stigmatique pour le couple de points
conjugu´es (A, A′)si les chemins optiques joignant A`a A′sont tous iden-
tiques.
(AA′) = Const d´efinition du stigmatisme
En effet, si Aest une source ponctuelle (objet) et A′son image ponctuelle,
les surfaces d’onde au voisinage de ces deux points seront des sph`eres. Le
chemin optique entre ces deux surfaces d’onde sph´eriques est le mˆeme pour
tour rayon ´emis de Aet arrivant en A′. En rapprochant les sph`eres de leurs
centres respectifs on en conclut que (AA′) est ind´ependant du rayon.
7
Remarque : le chemin optique situ´e sur un bout de rayon virtuel (cf.
figure) doit ˆetre compt´e n´egativement. En effet, comme ~ ket d~ ℓsont oppos´es
(AB)virt =λ0
2πZRAB
~
k·d~ ℓ=−λ0
2πZRAB
kdℓ =−ZRAB
ndℓ
3.3. Principe de Fermat
Consid´erons deux points Aet B,Rle rayon passant par ces deux points
et Cun autre chemin passant aussi par ces points. Nous avons
ϕB−ϕA=ZR
~
k·d~ ℓ=ZC
~
k·d~ ℓ
Sur le rayon ~ k·d~ ℓ=kdℓ =k0ndℓ et sur le chemin quelconque ~ k·d~ ℓ=
kdℓ cos θ≤kdℓ, d’o`u
δR≤δC
Le chemin optique est minimum sur un rayon. Traduit en dur´ee δ=c∆t
ce r´esultat conduit au principe de Fermat de l’optique g´eom´etrique :
La lumi`ere emprunte le trajet de dur´ee minimale pour aller d’un point `a
un autre.
En particulier, si le milieu est homog`ene, l’indice de r´efraction est une
constante, la lumi`ere se propage donc en ligne droite.
Remarque : cet ´enonc´e peut paraˆıtre curieux puisqu’il donne `a la lumi`ere
une sorte de prescience, capable de savoir `a l’avance quel est le meilleur
chemin `a emprunter. C’est `a Feynmann qu’on doit une interpr´etation bien
plus raisonnable de ce principe et de tous les autres principes variationnels
semblables en m´ecanique : la lumi`ere emprunte tous les chemins possibles
et imaginable pour aller de Aen Bmais avec des amplitudes de probabilit´e
diff´erentes. La superposition de ces amplitudes conduit `a des ph´enom`enes
d’interf´erence qui donnent `a la trajectoire de l’optique g´eom´etrique la pro-
babilit´e la plus grande d’ˆetre suivie.
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2 Interf´erences lumineuses
1. Valeurs moyennes et r´ecepteurs
En ´electromagn´etisme comme en ´electrocin´etique, les valeurs moyennes des
grandeurs harmoniques sont d´efinies de la mani`ere suivante :
hfi=1
TZα+T
α
f(t′)dt′
La d´efinition est pratique mais un peu artificielle car elle ne prend pas
en compte les propri´et´es de l’appareil de mesure. En optique les champs
varient tr`es rapidement ω≃1015 rad/s pour le visible et les d´etecteurs
optiques actuels ne sont pas capables de suivre des variations aussi rapides.
Leurs temps de r´eponse τd´epassent largement la p´eriode des ondes dans
le visible.
œil humain ∼100 ms
photodiode ∼10 ns
photodiode ultra rapide 10 ps
Table 1 – Temps de r´eponse de quelques photo-d´etecteurs.
La grandeur mesur´ee par un d´etecteur est alors une valeur moyenn´ee non
pas sur la p´eriode de l’onde mais sur son temps de r´eponse τ:
hf(t)iτ=1
τZt+τ/2
t−τ/2
f(t′)dt′(7)
Par exemple,
heiωtiτ=eiωt sinc ωτ
2(8)
o`u sinc est la fonction sinus cardinal :
sinc x=sin x
x
9
sinc x
1
x
+π−π
Les valeurs moyennes sur τdes grandeurs r´eelles s’en d´eduisent :
hcos ωtiτ= cos ωt sinc ωτ
2
hsin ωtiτ= sin ωt sinc ωτ
2
Dans le domaine du visible, ωτ ≫1, ces valeurs moyennes deviennent
quasi nulles :
hcos ωtiτ≫T=hsin ωtiτ≫T≈0
La plupart des d´etecteurs optiques sont sensibles `a l’´eclairement d´efini
par la puissance surfacique moyenne le long de ses rayons (norme du vec-
teur de Poynting). Pour un champ harmonique dans la limite de l’optique
g´eom´etrique se propageant dans un milieu transparent, on a :
E=hΠiτ=ǫvϕhE2iτ
Exprimons le champ ´electrique ~ E`a partir de son expression complexe ~ E:
~
E= Re{~ E}=1
2~
E+~ E∗.
Il vient :
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