1 Séries Temporelles en temps continu

1 S´ eries Temporelles en temps continu
1.1 Mouvement Brownien
Une suite de processus en temps continu
•Un processus pken temps discret (k∈ {0,1,...}):
p0= 0, pk=pk−1+ǫk,
o`u
ǫk=(∆avec probabilit´e π
−∆avec probabilit´e (1 −π)
et ∆et πsont des param`etres.
•Une suite (n= 1,2,...) des processus `a temps continu (t∈[0, T ]) :
pn(t)≡p⌊nt/T ⌋=p⌊t/h⌋t∈[0, T ]
o`u ⌊x⌋est le plancher de xet h=T/n.
Illustration de pn(t)
−2∆
−∆
0
∆
T
n
2T
n
T
h=T/n
Limite de pn(t)
•On calcule
E[pn(T)] = n(π∆ + (1 −π)(−∆)) = n∆(2π−1)
var[pn(T)] = 4n∆2π(1 −π).

•Si on choisit ∆et πen termes de n(ou h) afin que
–E[pn(T)] = µT pour chaque n
–var[pn(T)] = σ2Tpour chaque n,
alors
π=1
2 1 + µ√h σ!∆ = σ√h.
•Avec ce choix de π(n)et ∆(n),p(t) = limn→∞ pn(t)est un MB avec d´erive µ
et diffusion σ.
Propri´ et´ es des Mouvements Brownien
•3 propri´et´es de p(t):
1. Pour 0≤t1< t2≤T
p(t2)−p(t1)∼N(µ(t2−t1), σ2(t2−t1)).
2. Pour 0≤t1< t2≤t3< t4≤T
p(t2)−p(t1)et p(t4)−p(t3)sont ind´ependants.
3. Tous les chemins ´echantillonaux (sample paths) sont continus.
•Elles peuvent servir de la d´efinition d’un MB.
•µ,σet p(0) sp´ecifie le processus.
•B(t)est un MB normalis´e (ou standard): µ= 0,σ= 1.
Propri´ et´ es d´ eriv´ es
•On peut d´eriver les propri´et´es suivantes `a partir des propri´et´es d´efinitionnelles.
E[p(t2)|p(t1)] = p(t1) + µ(t2−t1)
var[p(t2)|p(t1)] = σ2(t2−t1)
cov[p(t1), p(t2)|p(0) = 0] = σ2min(t1, t2).
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´
Equations diff´ erentielles stochastiques (EDS)
Le diff´ erentiel stochastique
•Le diff´erentiel stochastique dB =B(t+dt)−B(t)a la loi
dB ∼N(0, dt).
•R`egles de multiplication :
dB dt =dt dB = (dt)2= 0 dB dB =dt.
•Mouvement brownien p(t)avec drift µet diffusion σen forme diff´erentielle :
dp =dp(t) = µdt +σdB,
•Par exemple, calculer (dp)2:
(dp)2= (µdt +σdB)2
=µ2(dt)2+σ2(dB)2+ 2µ(dB)(dt)
=σ2dt.
Processus Itˆ os et lemme d’Itˆ o
Processus Itˆ os et la lemme d’Itˆ o
•La classe des processus Itˆos comprend le MB.
•Elle est ferm´e sous des transformations g´en´erales : si pest un processus Itˆo,
q=f(p, t)l’est aussi.
•La lemme de Itˆo donne l’EDS de f(p, t)`a partir de celui de p:
df =∂f
∂p dp +∂f ∂t dt +1 2
∂2f
∂p2(dp)2
Exemple
•Trouver l’EDS de P(t) = ep(t)o`u dp =µdt +σdB(t):
f(p, t) = ep∂f
∂p =ep∂2f ∂p2=ep∂f ∂t = 0
dP =epdp + 0 + 1
2ep(dp)2
=P(µdt +σdB) + 1
2P(σ2dt)
= (µ+1
2σ2)P dt +σ P dB
•On app`ele pun MB arithm´etique; P, un MB g´eom´etrique.
•Trouver les dynamiques d’une fonction non-lin´eaire d’un processus en temps
discret est d´esesp´er´e : un avantage r´elatif du temps continu.
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Valorisation des Options
Options
•Une option est un contrat entre un ´emetteur et un d´etenteur concernant un actif
sous-jacent.
•Une option d’achat (call option) donne l’option (pas l’obligation) au d´etenteur
d’acheter l’actif.
•Une option de vente (put option) donne l’option de vendre l’actif.
•Une partie du contrat est le prix d’exercise (strike price) X, le prix auquel l’achat
ou la vente a lieu.
•Une autre partie du contrat est la date d’´ech´eance (expiration date) T.
•L’option peut ˆetre europ´eenne, auquel cas le d´etenteur a l’option seulement `a T;
ou am´ericaine, auquel cas le d´etenteur a l’option jusqu’`a T.
Hypoth` eses Black Scholes
•On va calculer le prix G(t)de une option d’achat europ´eene `a partir du prix P(t)
de l’actif sous-jacent, sous les hypoth`eses suivantes tr`es fortes.
–L’´echange en temps continu, pas de friction (taxe, coˆut de transaction, con-
traint).
–P(t)est un MB g´eom´etrique :
dP =µP dt +σP dB
–Il y a un rendement constant rsans risque `a prix D(t):
dD =Drdt
–Pas d’arbitrage.
D´ erivation du formule Black Scholes pour G(t)
•La lemme d’Itˆo avec G(t) = G(P(t), t)donne (9.2.4 est fausse)
dG =∂G
∂P dP +∂G ∂t dt +1 2
∂2G
∂P 2(dP )2
=∂G
∂P [µP dt +σP dB] + ∂G ∂t dt +σ2 2P2∂2G ∂P 2dt
=µP ∂G
∂P +∂G ∂t +σ2 2P2∂2G ∂P 2dt +σP ∂G ∂P dB
≡Gµgdt +GσgdB,
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o`u
µg≡1
GµP ∂G ∂P +∂G ∂t +σ2 2P2∂2G ∂P 2,
σg≡1
GσP ∂G ∂P .
Un portefeuille autofinanceant
•On a les portefeuilles (Ip(t), Ig(t), Id(t)), o`u Ip(t)est la somme en dollars in-
vestie en l’actif sous-jacent, etc.
•On suppose que le portefeuille est autofinanceant :
Ip(t) + Id(t) + Ig(t) = 0.
•Si dI(t)est le rendement en dollars `a ce portefeuille,
dI =Ip
PdP +Id DdD +Ig GdG.
•Substituer dD,dP ,dG et ´eliminer Id(t)par autofinancement:
dI = [(µ−r)Ip+ (µg−r)Ig]dt + [σIp+σgIg]dB
Un portefeuille autofinanceant sans risque
•On rend dI non-al´eatoire avec Ip=I∗
pet Ig=I∗ gtel que
σI∗
p+σgI∗ g= 0 ∀t∈[0, T ].
•Le portefeuille (I∗
p, I∗ g,−I∗ p−I∗ g)est autofinanceant et sans risque.
•Par l’absence d’arbitrage, dI ≡0, et donc
(µ−r)I∗
p(t) + (µg(t)−r)I∗ g(t) = 0,
et I∗
p
I∗
g
=−σg
σ=P G
∂G
∂P .
Une ´ equation diff´ erentielle partielle
•C¸a donne l’´equation diff´erentielle partielle
σ2
2P2∂2G ∂P 2+rP ∂G ∂P +∂G ∂t −rG = 0.
•Deux conditions limites:
G(P(T), T ) = max[P(T)−X, 0]
G(0, t) = 0
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