Leçon. - maths.rollinat

Chapitre 10 : Trigonométrie dans le triangle rectangle.
I- Cosinus, sinus et tangente.
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu 
 donné, on définit trois rapports de longueurs :
 Le sinus de cet angle est égal au quotient : sin 
= 
 .
 Le cosinus de cet angle est égal au quotient : cos 
= 
 .
 La tangente de cet angle est égale au quotient : tan 
= 
 .
Moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA
Exemple : soit ABC un triangle rectangle en A.
sin 
= 
cos 
= 
tan 
= 
Remarque : angle aigu est un
nombre positif compris entre 0 et 1. On peut écrire : 0 < cos 
< 1 et 0 < sin  < 1
II- Applications.
a) EFG rectangle en E tel que 
= 35° et FG = 5 cm. Calculer EG.
F
E G
b) RST rectangle en R tel que RS = 10 cm et ST = 12 cm. Calculer
. Arrondir au dixième.
T
R S
c) Soit IJK rectangle en K tel que IJ = 8 cm et 
 = 50°. Calculer KJ. Arrondir au dixième.
J
K I
Dans le triangle IJK rectangle en K, on a :
sin 
= 
 soit   =   d’où KJ = 8×sin50° KJ ≈ 6,1 cm
Côté opposé à
l’angle 
.
Côté adjacent à
l’angle 
.
Dans le triangle EFG rectangle en E, on a :
cos 
= 
 donc   = 
d’où EG = 5×cos35° ≈ 4,1 cm
Dans le triangle RST rectangle en R, on a :
cos 
= 
 donc cos 
 = 
A l’aide de la calculatrice, on a : 
≈ 33,6°.
2nd cos ( 5 ÷ 6 )

d) Soit LMN rectangle en N tel que LN = 6,5 cm et NM = 3 cm. Calculer 
 puis  . Arrondir au dixième.
M
N L
e) Soit OPQ rectangle en O tel que OP = 5 cm et QP = 7 cm. Calculer 
. Arrondir au dixième.
P
O Q
III- Deux formules.
Le triangle ABC est rectangle en B. On note 
 x°
Propriété :
On note x  :
a) (cos x)2 + (sin x)2 = 1
b) tan x = 
Dans le triangle LMN rectangle en N, on a :
a) tan 
= 
 tan 
= 
A l’aide de la calculatrice, on obtient: 
≈ 65,2°.
2nd tan ( 6,5 ÷ 3 )
b) tan 
= 
 tan 
= 
 A l’aide de la calculatrice, on a : 
≈ 24,8°.
2nd tan ( 3 ÷ 6,5 )
Autre méthode : 180 – (90 + 65,2) = 24,8°
Dans le triangle OPQ rectangle en Q, on a :
sin 
= 
 donc sin 
= 
 A l’aide de la calculatrice, on a : 
≈ 45,6°.
2nd sin ( 5 ÷ 7 )
Le théorème de Pythagore permet d’écrire l’égalité : BC2 + AB2 = AC2
cos x = 
 ; sin x =   et tan x = 
(cos x)2 + (sin x)2 = 
= 
  tan x