Leçon. - maths.rollinat

Chapitre 10 :
I-
Trigonométrie dans le triangle rectangle.
Cosinus, sinus et tangente.
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu
donné, on définit trois rapports de longueurs :

Le sinus de cet angle est égal au quotient :

Le cosinus de cet angle est égal au quotient :

La tangente de cet angle est égale au quotient :
Moyen mnémotechnique :
=
sin
.
=
cos
.
=
tan
.
SOH CAH TOA
Exemple : soit ABC un triangle rectangle en A.
Côté opposé à
sin
=
cos
=
tan
=
.
l’angle
Côté adjacent à
l’angle
.
Remarque : L’hypoténuse étant le côté le plus long d’un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d’un angle aigu est un
nombre positif compris entre 0 et 1. On peut écrire :
0 < cos
<1
et
0 < sin
<1
II-
Applications.
a) EFG rectangle en E tel que
F
= 35° et FG = 5 cm. Calculer EG.
Dans le triangle EFG rectangle en E, on a :
cos
E
=
donc
=
G
d’où EG = 5×cos35° ≈ 4,1 cm
b) RST rectangle en R tel que RS = 10 cm et ST = 12 cm. Calculer
. Arrondir au dixième.
Dans le triangle RST rectangle en R, on a :
cos
T
=
donc
cos
A l’aide de la calculatrice, on a :
R
2nd
S
cos
c) Soit IJK rectangle en K tel que IJ = 8 cm et
≈ 33,6°.
5
÷
6
)
= 50°. Calculer KJ. Arrondir au dixième.
Dans le triangle IJK rectangle en K, on a :
J
sin
K
(
=
I
=
soit
=
d’où KJ = 8×sin50°
KJ ≈ 6,1 cm
d) Soit LMN rectangle en N tel que LN = 6,5 cm et NM = 3 cm. Calculer
puis
. Arrondir au dixième.
Dans le triangle LMN rectangle en N, on a :
M
a) tan
N
L
=
tan
=
A l’aide de la calculatrice, on obtient:
2nd
tan
b) tan
2nd
(
=
tan
tan
≈ 65,2°.
6,5
=
(
÷
3
)
A l’aide de la calculatrice, on a :
3
÷
6,5
≈ 24,8°.
)
Autre méthode : 180 – (90 + 65,2) = 24,8°
e) Soit OPQ rectangle en O tel que OP = 5 cm et QP = 7 cm. Calculer
P
. Arrondir au dixième.
Dans le triangle OPQ rectangle en Q, on a :
sin
O
Q
III-
2nd
=
donc
sin
(
sin
5
÷
= A l’aide de la calculatrice, on a :
7
≈ 45,6°.
)
Deux formules.
Le triangle ABC est rectangle en B. On note
x°
Le théorème de Pythagore permet d’écrire l’égalité : BC2 + AB2 = AC2
cos x =
; sin x =
et tan x =
(cos x)2 + (sin x)2 =
=
tan x
Propriété :
On note x la mesure d’un angle en degré. On a :
a) (cos x)2 + (sin x)2 = 1
b) tan x =