Chapitre 10 : I- Trigonométrie dans le triangle rectangle. Cosinus, sinus et tangente. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, on définit trois rapports de longueurs : Le sinus de cet angle est égal au quotient : Le cosinus de cet angle est égal au quotient : La tangente de cet angle est égale au quotient : Moyen mnémotechnique : = sin . = cos . = tan . SOH CAH TOA Exemple : soit ABC un triangle rectangle en A. Côté opposé à sin = cos = tan = . l’angle Côté adjacent à l’angle . Remarque : L’hypoténuse étant le côté le plus long d’un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d’un angle aigu est un nombre positif compris entre 0 et 1. On peut écrire : 0 < cos <1 et 0 < sin <1 II- Applications. a) EFG rectangle en E tel que F = 35° et FG = 5 cm. Calculer EG. Dans le triangle EFG rectangle en E, on a : cos E = donc = G d’où EG = 5×cos35° ≈ 4,1 cm b) RST rectangle en R tel que RS = 10 cm et ST = 12 cm. Calculer . Arrondir au dixième. Dans le triangle RST rectangle en R, on a : cos T = donc cos A l’aide de la calculatrice, on a : R 2nd S cos c) Soit IJK rectangle en K tel que IJ = 8 cm et ≈ 33,6°. 5 ÷ 6 ) = 50°. Calculer KJ. Arrondir au dixième. Dans le triangle IJK rectangle en K, on a : J sin K ( = I = soit = d’où KJ = 8×sin50° KJ ≈ 6,1 cm d) Soit LMN rectangle en N tel que LN = 6,5 cm et NM = 3 cm. Calculer puis . Arrondir au dixième. Dans le triangle LMN rectangle en N, on a : M a) tan N L = tan = A l’aide de la calculatrice, on obtient: 2nd tan b) tan 2nd ( = tan tan ≈ 65,2°. 6,5 = ( ÷ 3 ) A l’aide de la calculatrice, on a : 3 ÷ 6,5 ≈ 24,8°. ) Autre méthode : 180 – (90 + 65,2) = 24,8° e) Soit OPQ rectangle en O tel que OP = 5 cm et QP = 7 cm. Calculer P . Arrondir au dixième. Dans le triangle OPQ rectangle en Q, on a : sin O Q III- 2nd = donc sin ( sin 5 ÷ = A l’aide de la calculatrice, on a : 7 ≈ 45,6°. ) Deux formules. Le triangle ABC est rectangle en B. On note x° Le théorème de Pythagore permet d’écrire l’égalité : BC2 + AB2 = AC2 cos x = ; sin x = et tan x = (cos x)2 + (sin x)2 = = tan x Propriété : On note x la mesure d’un angle en degré. On a : a) (cos x)2 + (sin x)2 = 1 b) tan x =