Seconde Mathématiques CHAPITRE III _ ÉQUATIONS

CHAPITRE III : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET
PROBLÈMES
R et ses sous-ensembles,
ensembles, intervalles sur R
« Le nombre entier vient de Dieu. Tout le reste est l’œuvre de l’Homme. » Kronecker (1823-1891).
Les entiers naturels ont été considérés à certaines époques comme une connaissance innée ou comme un don des dieux. Depuis,
d’autres familles de nombres ont été « construites » pour résoudre de nouveaux problèmes : nombres décimaux pour améliorer les
techniques opératoires, nombres relatifs pour tenir compte des échanges commerciaux, nombres rationels et irrationnels pour
mesurer des grandeurs, etc.
Les intervalles sont des sous-ensembles
ensembles particuliers, utiles pour noter l’ensemble des solutions d’une inéquation.
1. Comment déterminer à quel(s) ensemble(s) appartient un nombre ?
• On distingue plusieurs ensembles de nombres.
•
est l’ensemble des nombres entiers ou entiers naturels.
=
.
relatifs
est l’ensemble des nombres entiers relatifs.
•
=
•
.
est l’ensemble des nombres décimaux.
décimaux Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme
; ces nombres ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
Par exemple :
est un décimal, mais
et
sont des rationnels, mais
et
n’est pas un décimal.
•
est l’ensemble des nombres rationnels.
rationnels Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme
* (ce sont donc des quotients d’entiers).
Par exemple :
avec
avec
et
n’est pas un rationnel.
•
est l’ensemble des nombres réels.. C’est l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons ; on peut le représenter par une
droite graduée :
Chaque nombre réel est représenté par un point et chaque point représente un réel.
Cet ensemble comprend des nombres irrationnels,
irrationnels c’est-à-dire
dire des nombres réels qui ne sont pas rationnels.
• Ces ensembles de nombres vérifient les inclusions :
.
Ce qui signifie qu’un naturel est aussi un entier relatif, qu’un entier relatif est aussi un décimal, etc.
• Pour reconnaître la nature d’un nombre :
– on simplifie au maximum son écriture ;
– dans le cas d’un quotient irréductible
, on effectue la division. Si elle se termine (si le reste est nul),
est un décimal ; si elle
ne se termine pas, on obtient une écriture périodique et
est un rationnel qui n’est pas un décimal ;
– si on ne peut pas écrire le nombre comme un quotient d’entiers, alors c’est un irrationnel.
2. Comment déterminer une valeur approchée ?
• Lorsque l’on veut écrire un nombre réel dans le système décimal et que celui-ci
celui n’est pas un nombre décimal,
décimal on doit utiliser
une valeur approchée.
Par exemple,
. Il n’y a pas égalité car les « 3 » continuent à l’infini.
• Une valeur approchée peut être définie par défaut ou
o par excès. On parle de valeur approchée à
quand la différence entre le nombre et sa valeur approchée
ap
est inférieure à
.
près, où p est un entier,
• Pour déterminer la valeur approchée d’un
’un nombre réel positif à n décimales :
– par défaut, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les npremières
décimales) ;
– par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter
à la valeur
approchée par défaut) ;
• Pour déterminer la valeur approchée d’un nombre réel négatif à n décimales :
– par excès, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre ;
– par défaut, on prend la valeur approchée par excès et on ajoute 1 à la dernière décimale.
• Pour calculer l’arrondi d’un nombre réel à n décimales, on considère la troncature du nombre à ndécimales,
décimales, puis :
– si la
-ième
ième décimale est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors l’arrondi est la troncature ;
– si la
-ième
ième décimale du nombre réel est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on obtient l’arrondi en ajoutant 1 à la dernière décimale
décimal de la
troncature.
À retenir
•
.
• Pour comparer deux nombres a et b,, on étudie le signe de leur différence.
• L’intersection de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.
• La réunion de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois à l’un, à l’autre ou aux deux intervalles
interva
à la
fois.
3. Comment comparer deux nombres ?
• Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b − a est positive ou nulle. On écrit que
est équivalent
à
.
Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.
• Pour comparer :
– deux nombres a et b : on étudie le signe de leur différence ;
– deux fractions : on les réduit à un même dénominateur positif
positif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci-dessus
ci
;
– deux radicaux : on peut comparer leurs carrés.
• Quelques règles fondamentales à connaître.
• Deux nombres ont le même signe si et seulement si leur produit est positif.
• Si a > 1, alors :
.
• Si 0 < a < 1, alors :
.
• Pour tous réels a, b et c, si
et
, alors
.
4. Comment utiliser les intervalles ?
• Soient a et b deux réels tels que
L’intervalle fermé
.
est l’ensemble des réels x tels que
.
L’intervalle ouvert
est l’ensemble des réels x tels que a < x < b.
L’intervalle ouvert
est l’ensemble des réels x tels que x < a.
L’intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé)
On définit de même les intervalles
L’ensemble
est l’ensemble des réels x tels que
,
,
lui-même peut être noté :
.
,
.
.
• L’intersection de deux intervalles I et J est l’intervalle constitué des nombres qui appartiennent à la fois à Iet à J.
La réunion de deux intervalles I et J est l’ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (le « ou » est inclusif : on prend les
nombres qui appartiennent à I, à J ou aux deux intervalles). Si I et J ont un point en commun, alors
est un intervalle.
Exemple
Si
et
, alors :
et
.
5. Comment calculer avec les inégalités ?
Il s’agit de savoir comment « transformer » une inégalité à l’aide des opérations élémentaires.
Ici, a, b, c et d désignent des réels quelconques.
• Ajouter ou soustraire un nombre aux deux membres d’une inégalité conserve l’ordre. Si
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve l’ordre. Si
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change l’ordre. Si
, alors
et k > 0, alors
.
et k < 0, alors
• Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Si
alors
.
.
et
,
.
• Si les nombres sont positifs, multiplier membre à membre deux inégalités de même sens, donne une
inégalité de même sens. Si
et
, alors
.
À retenir
• Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de leur différence.
• La valeur absolue d’un nombre positif est lui-même ; la valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé.
• La distance entre deux réels a et b est égale à la valeur absolue de leur différence, ce qui s’écrit
.
Équations et inéquations
Pour résoudre une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue, on isole le terme inconnu dans un membre. On
s’intéresse à présent à la résolution conjointe de deux équations ou de deux inéquations. Cette situation se retrouve lorsque l’on
cherche à résoudre un système d’équations ou d’inéquations, une équation ou une inéquation produit.
Après avoir étudié les fonctions
onctions linéaires et affines au collège, on aborde en seconde les fonctions polynômes du second degré et les
fonctions homographiques. De nouveaux types d’équations et inéquations apparaissent, comportant l’inconnue au carré ou au
dénominateur.
1. Comment résoudre un système d’inéquations du premier degré à une inconnue ?
Pour résoudre un système de deux inéquations du premier degré à une inconnue, on résout chacune des inéquations, on obtient ainsi
a
deux intervalles de solutions. On cherche ensuite la partie commune aux deux intervalles ; si elle existe, c’est la solution du
système.
Exemple
On veut résoudre le système :
.
Ce système est équivalent à :
.
L’ensemble des solutions du système est donc l’intersection de deux intervalles :
. D’où :
. (Il peut être utile de dessiner les
intervalles pour déterminer l’intersection.)
2. Comment résoudre un système d’équations du premier degré à deux inconnues ?
Il y a deux méthodes : par substitution ou par addition.
• Si l’une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou −1, il est préférable d’utiliser la méthode par substitution.
substitution
Dans l’une des équations, on écrit l’inconnue dont le coefficient est 1 ou −1 en fonction de l’autre, puis on substitue cette écriture à
l’inconnue de la seconde équation.
Exemple
Dans le système
, on exprime x en fonction de y dans la première équation et on obtient
le système équivalent :
.
On remplace ensuite x par
dans la seconde équation, ce qui donne le système :
qui équivaut à
On obtient ainsi le couple solution :
, soit encore à
.
.
• Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de −1, pour éviter l’apparition d’écritures fractionnaires,
fractio
on utilise
la méthode par addition.
Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l’une des inconnues, en multipliant les équations par des
facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transformées,
transformées, on obtient une équation à une seule
inconnue que l’on peut résoudre. On utilise alors ce résultat pour résoudre l’autre équation.
Exemple
Dans le système
, on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la
seconde par 3 et on obtient le système équivalent :
.
On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par
le résultat ; on obtient le système équivalent :
ou
, soit encore
.
On en déduit le couple solution :
.
• Un système peut n’avoir aucune solution ou encore une infinité de solutions.
Soit le système :
. Si les coefficients de x et de y sont proportionnels, c’est-à-dire
dire si
système a une infinité de solutions ou pas de solution du tout :
– si de plus
– si
, ce
, alors le système n’a pas de solution ;
(les coefficients des deux équations sont
sont proportionnels), alors le système a une infinité de solutions.
• On trouvera au paragraphe 4 de la fiche « Lire ou compléter un algorithme », un algorithme permettant de résoudre tout système de
deux équations du premier degré à deux inconnues.
3. Quelless sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant des carrés ?
• Pour résoudre une équation comportant des carrés,
carrés on revient à une écriture de la forme
ont le même carré, donc :
équivaut à
ou
.
. Deux nombres opposés
Exemple
Résoudre
revient à écrire : x −1 = 3 ou x −1 = −3,
soit x = 4 ou x = −2, d’où S = {−2 ; 4}.
• Pour résoudre une inéquation comportant des carrés,
carrés, on transpose tous les termes dans un seul membre et on factorise, si
possible, en un produit de facteurs du premier degré.
On peut alors en déduire l’ensemble des solutions à l’aide d’un tableau de signes.
Exemple
Résoudre
revient à écrire :
.
On reconnaît alors la différence de deux
deu carrés :
D’où :
On conclut à l’aide d’un tableau de signes :
, ou encore :
.
.
Le produit est négatif sur l’intervalle [ – 2 ; 4], d’où : S = [- 2 ; 4].
4. Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant l’inconnue au dénominateur ?
• Dans le cas d’une équation,, on écrit l’égalité des « produits en croix » pour obtenir une égalité sans dénominateur.
Exemple
Pour
D’où :
, résoudre l’équation
équivaut à résoudre :
, ou encore
.
, soit x = 3.
L’ensemble des solutions est S = {3}.
• Dans le cas d’une inéquation,, on transpose tous les termes dans un seul membre et on fait apparaître si possible un quotient de
facteurs du premier degré. On peut alors déterminer l’ensemble des solutions à l’aide d’un
d’un tableau de signes.
Exemple
Pour
, résoudre l’équation
équivaut à résoudre
En réduisant au même dénominateur, on obtient :
.
, soit
.
On conclut à l’aide d’un tableau de signes :
Le quotient est négatif sur l’intervalle ]0 ; 3], donc
.
Sources :
http://www.assistancescolaire.com/eleve/2nde/maths/reviser
http://www.assistancescolaire.com/eleve/2nde/maths/reviser-le-cours/r-et-ses-sous-ensembles-intervalles-sur-r-2_m308
http://www.assistancescolaire.com/eleve/2nde/maths/reviser
http://www.assistancescolaire.com/eleve/2nde/maths/reviser-le-cours/equations-et-inequations-2_m207