Seconde Mathématiques CHAPITRE III _ ÉQUATIONS

CHAPITRE III : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET
PROBLÈMES
R et ses sous-
ensembles, intervalles sur R
«
Le nombre entier vient de Dieu. Tout le reste est l’œuvre de l’Homme.
Les entiers naturels ont été considérés à certaines époques comme une connaissance innée ou comme un don des dieux. Depuis,
d’autres familles de nombres ont été «
construites
techniques opératoires, nombres relatifs pour tenir compte des échanges commerciaux, nombres rationels et irrationnels pour
mesurer des grandeurs, etc.
Les intervalles sont des sous-
ensembles particuliers, utiles pour noter l’ensemble des solutions d’une inéquation.
1. Comment déterminer à quel(s) ensemble(s) appartient un nombre
• On distingue
plusieurs ensembles de nombres.
•
est l’ensemble des nombres entiers ou
= .
• est l’ensemble des nombres
entiers relatifs
=
• est l’ensemble des nombres
décimaux
; ces nombres ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
Par exemple :
• est l’ensemble des nombres
rationnels
* (ce sont donc des quotients d’entiers).
Par exemple : et
sont des rationnels, mais
• est l’ensemble des nombres réels
. C’est l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons
droite graduée :
Chaque nombre réel est représenté par un point et chaque point représente un réel.
Cet ensemble comprend des nombres
irrationnels
• Ces ensembles de nombres vérifient les
inclusions
Ce qui signifie qu’un naturel est aussi un entier relatif, qu’un entier relatif est aussi un décimal, etc.
• Pour
reconnaître la nature d’un nombre
– on simplifie au maximum son écriture ;
CHAPITRE III : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET
ensembles, intervalles sur R
Le nombre entier vient de Dieu. Tout le reste est l’œuvre de l’Homme.
» Kronecker (1823-1891).
Les entiers naturels ont été considérés à certaines époques comme une connaissance innée ou comme un don des dieux. Depuis,
construites
» pour résoudre de nouveaux problèmes
: nombres décimaux pour améliorer les
techniques opératoires, nombres relatifs pour tenir compte des échanges commerciaux, nombres rationels et irrationnels pour
ensembles particuliers, utiles pour noter l’ensemble des solutions d’une inéquation.
1. Comment déterminer à quel(s) ensemble(s) appartient un nombre
?
plusieurs ensembles de nombres.
est l’ensemble des nombres entiers ou
entiers naturels.
entiers relatifs
.
.
décimaux
. Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme
; ces nombres ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
est un décimal, mais n’est pas un décimal.
rationnels
. Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme
avec
sont des rationnels, mais
n’est pas un rationnel.
. C’est l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons
; on peut le représenter par une
Chaque nombre réel est représenté par un point et chaque point représente un réel.
irrationnels
, c’est-à-
dire des nombres réels qui ne sont pas rationnels.
inclusions
: .
Ce qui signifie qu’un naturel est aussi un entier relatif, qu’un entier relatif est aussi un décimal, etc.
reconnaître la nature d’un nombre
:
CHAPITRE III : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET
Les entiers naturels ont été considérés à certaines époques comme une connaissance innée ou comme un don des dieux. Depuis,
: nombres décimaux pour améliorer les
techniques opératoires, nombres relatifs pour tenir compte des échanges commerciaux, nombres rationels et irrationnels pour
ensembles particuliers, utiles pour noter l’ensemble des solutions d’une inéquation.
avec et
avec
et
; on peut le représenter par une
dire des nombres réels qui ne sont pas rationnels.

– dans le cas d’un quotient irréductible
ne se termine pas, on obtient une écriture périodique et
–
si on ne peut pas écrire le nombre comme un quotient d’entiers, alors c’est un irrationnel.
2. Comment déterminer une valeur approchée
•
Lorsque l’on veut écrire un nombre réel dans le système décimal et que celui
une valeur approchée.
Par exemple,
. Il n’y a pas égalité car les «
• Une valeur approchée peut être définie
par défaut o
quand la différence entre le nombre et sa valeur ap
• Pour déterminer la valeur approchée d
’un nombre réel
– par défaut, on effectue la troncature à n
décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les
décimales) ;
–
par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter
approchée par défaut) ;
• Pour déterminer la valeur approchée d’un nombre réel
– par excès, on effectue la troncature à n
décimales de ce nombre
–
par défaut, on prend la valeur approchée par excès et on ajoute
• Pour calculer l’arrondi
d’un nombre réel à
– si la -
ième décimale est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors l’arrondi est la troncature
– si la -
ième décimale du nombre réel est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on obtient l’arrondi en ajoutant
troncature.
À retenir
• .
• Pour comparer deux nombres a et b
, on étudie le signe de leur différence.
• L’intersection de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.
• La réunion de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois à l’un, à l’autre ou aux deux interva
fois.
3. Comment comparer deux nombres ?
• Dire que a est inférieur ou égal à b
signifie que la différence
à .
Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.
• Pour comparer :
– deux nombres a et b : on étudie le
signe de leur différence
– deux fractions
: on les réduit à un même dénominateur p
– deux radicaux
: on peut comparer leurs carrés.
• Quelques règles fondamentales
à connaître.
• Deux nombres ont le même signe si et seulement si leur produit est positif.
, on effectue la division. Si elle se termine (si le reste est nul),
ne se termine pas, on obtient une écriture périodique et
est un rationnel qui n’est pas un décimal ;
si on ne peut pas écrire le nombre comme un quotient d’entiers, alors c’est un irrationnel.
2. Comment déterminer une valeur approchée
?
Lorsque l’on veut écrire un nombre réel dans le système décimal et que celui
-ci
n’est pas un nombre décimal
. Il n’y a pas égalité car les «
3 » continuent à l’infini.
par défaut o
u par excès. On parle de valeur approchée à
quand la différence entre le nombre et sa valeur ap
prochée est inférieure à .
’un nombre réel
positif à n décimales :
décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les
par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter
• Pour déterminer la valeur approchée d’un nombre réel
négatif à n décimales :
décimales de ce nombre
;
par défaut, on prend la valeur approchée par excès et on ajoute
1 à la dernière décimale.
d’un nombre réel à
n décimales, on considère la troncature du nombre à n
décimales, puis
ième décimale est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors l’arrondi est la troncature
;
ième décimale du nombre réel est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on obtient l’arrondi en ajoutant
1 à la dernière décimal
, on étudie le signe de leur différence.
• L’intersection de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.
• La réunion de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois à l’un, à l’autre ou aux deux interva
signifie que la différence
b − a est positive ou nulle. On écrit que
Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.
signe de leur différence
;
: on les réduit à un même dénominateur p
ositif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci
: on peut comparer leurs carrés.
à connaître.
• Deux nombres ont le même signe si et seulement si leur produit est positif.
est un décimal ; si elle
n’est pas un nombre décimal
, on doit utiliser
près, où p est un entier,
décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les
npremières
par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter
à la valeur
décimales, puis
:
1 à la dernière décimal
e de la
• L’intersection de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois aux deux intervalles.
• La réunion de deux intervalles contient les nombres réels qui appartiennent à la fois à l’un, à l’autre ou aux deux interva
lles à la
est équivalent
ositif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci
-dessus ;

• Si a > 1, alors : .
• Si 0 < a < 1, alors : .
• Pour tous réels a, b et c, si et , alors .
4. Comment utiliser les intervalles ?
• Soient a et b deux réels tels que .
L’intervalle fermé est l’ensemble des réels x tels que .
L’intervalle ouvert est l’ensemble des réels x tels que a < x < b.
L’intervalle ouvert est l’ensemble des réels x tels que x < a.
L’intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé) est l’ensemble des réels x tels que .
On définit de même les intervalles , , , .
L’ensemble lui-même peut être noté : .
• L’intersection de deux intervalles I et J est l’intervalle constitué des nombres qui appartiennent à la fois à Iet à J.
La réunion de deux intervalles I et J est l’ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (le « ou » est inclusif : on prend les
nombres qui appartiennent à I, à J ou aux deux intervalles). Si I et J ont un point en commun, alors est un intervalle.
Exemple
Si et , alors : et .
5. Comment calculer avec les inégalités ?
Il s’agit de savoir comment « transformer » une inégalité à l’aide des opérations élémentaires.
Ici, a, b, c et d désignent des réels quelconques.
• Ajouter ou soustraire un nombre aux deux membres d’une inégalité conserve l’ordre. Si , alors .
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve l’ordre. Si et k > 0, alors .
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change l’ordre. Si et k < 0, alors .
• Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Si et ,
alors .
• Si les nombres sont positifs, multiplier membre à membre deux inégalités de même sens, donne une
inégalité de même sens. Si et , alors .
À retenir
• Pour comparer deux nombres a et b, on étudie le signe de leur différence.
• La valeur absolue d’un nombre positif est lui-même ; la valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé.
• La distance entre deux réels a et b est égale à la valeur absolue de leur différence, ce qui s’écrit .

Équations et inéquations
Pour résoudre une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue, on isole le terme inconnu dans un membre. On
s’intéresse à présent à la résolution conjointe de deux équations ou de deux inéquations. Cette situation se retrouve lorsque
cherche à résoudre un système d’équations ou d’inéquations, une équation ou une inéquation produit.
Après avoir étudié les f
onctions linéaires et affines au collège, on aborde en seconde les fonctions polynômes du second degré et les
fonctions homographiques. De nouveaux types d’équations et inéquations apparaissent, comportant l’inconnue au carré ou au
dénominateur.
1. Comment
résoudre un système d’inéquations du premier degré à une inconnue
Pour résoudre un système de deux inéquations du premier degré à une inconnue, on résout chacune des inéquations, on obtient a
deux intervalles de solutions. On cherche ensuite la
système.
Exemple
On veut résoudre le système :
Ce système est équivalent à :
L’ensemble des solutions du système est donc l’intersection de deux intervalles
intervalles pour déterminer l’intersection.)
2. Comment résoudre un système d’équations du premier degré à deux inconnues
Il y a deux méthodes
: par substitution ou par addition.
• Si l’une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou
Dans l’une des équations, on écrit l’inconnue dont le coefficient est 1 ou
l’inconnue de la seconde équation.
Exemple
Dans le système
le système équivalent :
On remplace ensuite x par
qui équivaut à
On obtient ainsi le couple solution
• Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de
la méthode par addition.
Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l’une des inconnues, en multipliant les équations par
facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transfo
inconnue que l’on peut résoudre. On utilise alors ce résultat pour résoudre l’autre équation.
Exemple
Équations et inéquations
Pour résoudre une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue, on isole le terme inconnu dans un membre. On
s’intéresse à présent à la résolution conjointe de deux équations ou de deux inéquations. Cette situation se retrouve lorsque
cherche à résoudre un système d’équations ou d’inéquations, une équation ou une inéquation produit.
onctions linéaires et affines au collège, on aborde en seconde les fonctions polynômes du second degré et les
fonctions homographiques. De nouveaux types d’équations et inéquations apparaissent, comportant l’inconnue au carré ou au
résoudre un système d’inéquations du premier degré à une inconnue
?
Pour résoudre un système de deux inéquations du premier degré à une inconnue, on résout chacune des inéquations, on obtient a
deux intervalles de solutions. On cherche ensuite la
partie commune aux deux intervalles
; si elle existe, c’est la solution du
.
.
L’ensemble des solutions du système est donc l’intersection de deux intervalles
:
. D’où :
. (Il peut être utile de dessiner les
intervalles pour déterminer l’intersection.)
2. Comment résoudre un système d’équations du premier degré à deux inconnues
?
: par substitution ou par addition.
• Si l’une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou
−1, il est préférable d’utiliser la
méthode par substitution
Dans l’une des équations, on écrit l’inconnue dont le coefficient est 1 ou
−1 en fonction de l’autre, puis on substitue cette
, on exprime x en fonction de y
dans la première équation et on obtient
.
dans la seconde équation, ce qui donne le système
qui équivaut à
, soit encore à
: .
• Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de
−1, pour éviter l’apparition d’écritures fractio
Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l’une des inconnues, en multipliant les équations par
facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transfo
rmées, on obtient une équation à une seule
inconnue que l’on peut résoudre. On utilise alors ce résultat pour résoudre l’autre équation.
Pour résoudre une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue, on isole le terme inconnu dans un membre. On
s’intéresse à présent à la résolution conjointe de deux équations ou de deux inéquations. Cette situation se retrouve lorsque
l’on
onctions linéaires et affines au collège, on aborde en seconde les fonctions polynômes du second degré et les
fonctions homographiques. De nouveaux types d’équations et inéquations apparaissent, comportant l’inconnue au carré ou au
Pour résoudre un système de deux inéquations du premier degré à une inconnue, on résout chacune des inéquations, on obtient a
insi
; si elle existe, c’est la solution du
. (Il peut être utile de dessiner les
méthode par substitution
.
−1 en fonction de l’autre, puis on substitue cette
écriture à
dans la première équation et on obtient
dans la seconde équation, ce qui donne le système
:
.
−1, pour éviter l’apparition d’écritures fractio
nnaires, on utilise
Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l’une des inconnues, en multipliant les équations par
des
rmées, on obtient une équation à une seule

Dans le système
seconde par 3 et on obtient le système équivalent
On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par
le résultat
; on obtient le système équivalent
ou
.
On en déduit le couple solution :
• Un système peut n’avoir aucune solution ou encore une infinité de solutions.
Soit le système :
système a une infinité de solutions
ou pas de solution du tout
– si de plus
, alors le système n’a pas de solution
– si
(les coefficients des deux équations son
• On trouvera au paragraphe
4 de la fiche «
deux équations du premier degré à deux inconnues.
3. Quelle
s sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant des carrés
• Pour résoudre une
équation comportant des carrés
ont le même carré, donc :
équivaut à ou
Exemple
Résoudre
revient à écrire
soit x = 4 ou x = −2, d’où S = {−2 ;
• Pour résoudre une
inéquation comportant des carrés
possible, en un produit de facteurs du premier degré.
On peut alors en déduire l’ensemble des solutions à l’aide d’un tableau de signes.
Exemple
Résoudre
revient à écrire
On reconnaît alors la différence de deu
D’où :
On conclut à l’aide d’un tableau de signes
, on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la
seconde par 3 et on obtient le système équivalent
: .
On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par
; on obtient le système équivalent
: , soit encore
.
.
• Un système peut n’avoir aucune solution ou encore une infinité de solutions.
. Si les coefficients de x et de y sont proportionnels, c’est-à-
dire si
ou pas de solution du tout
:
, alors le système n’a pas de solution
;
(les coefficients des deux équations son
t proportionnels), alors le système a une infinité de solutions.
4 de la fiche «
Lire ou compléter un algorithme
», un algorithme permettant de résoudre tout système de
deux équations du premier degré à deux inconnues.
s sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant des carrés
?
équation comportant des carrés
, on revient à une écriture de la forme
.
revient à écrire
: x −1 = 3 ou x −1 = −3,
4}.
inéquation comportant des carrés
, on transpose tous les termes dans un seul membre et on factorise, si
possible, en un produit de facteurs du premier degré.
On peut alors en déduire l’ensemble des solutions à l’aide d’un tableau de signes.
revient à écrire
: .
On reconnaît alors la différence de deu
x carrés : .
, ou encore : .
On conclut à l’aide d’un tableau de signes
:
, on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la
On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par
dire si
, ce
t proportionnels), alors le système a une infinité de solutions.
», un algorithme permettant de résoudre tout système de
?
. Deux nombres opposés
, on transpose tous les termes dans un seul membre et on factorise, si