Les suites Les parties sont indépendantes

EXERCICE 1
Les suites
t 5 points
Les parties sont indépendantes.
Partie A
On considère l’algorithme suivant.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
VARIABLES
U EST_DU_TYPE RÉEL
k EST_DU_TYPE ENTIER
N EST_DU_TYPE ENTIER NON NUL
DEBUT_ALGORITHME
LIRE N
U PREND_LA_VALEUR 0
POUR k ALLANT_DE 0 A N-1
DEBUT_POUR
U PREND_LA_VALEUR 3U-2k+3
FIN_POUR
AFFICHER U
FIN_ALGORITHME
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
(on indiquera les valeurs successives prises par la variable U )
Partie B
On considère la suite (uN ) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel
n, uN+1 = 3uN − 2n + 3.
1 ) Calculer u1 et u2.
2 ) a ) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, uN > n.
b ) En déduire la limite de la suite (uN ).
3 ) Démontrer que la suite (uN) est croissante.
4 ) Soit la suite (vN ) définie, pour tout entier naturel n, par
vN = uN − n + 1
a ) Démontrer que la suite (vN ) est une suite géométrique.
b ) En déduire que, pour tout entier naturel n,
uN = 3 N + n − 1
EXERCICE 2
Fonctions
On considère la fonction f définie sur
R par f (x) = (1 − x)e
t 5 points
−X
.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;~ı, ~ ) d’unité graphique 2 cm, la représentation
graphique de la fonction f est notée C f .
1 ) a ) Déterminer la limite en −∞ de f .
b ) Déterminer la limite en +∞ de f et interpréter graphiquement ce résultat.
2 ) a ) Montrer que pour tout réel x, f ′ (x) = (x − 2)e−X .
b ) En déduire le tableau de variations de f .
3 ) Montrer que l’équation f (x) = 3 admet une unique solution α dans l’intervalle [−1 ; 0].
Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2.
4 ) a ) Étudier le signe de f (x) sur
R.
b ) Montrer que la fonction F définie sur
R par F (x) = xe
−X
est une primitive de f .
c ) Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites
d’équation x = −1 et x = 0.
Donner la valeur exacte en unité d’aire puis la valeur en cm2 approchée à 10−2 près.
EXERCICE 3 Probabilités t 5 points Les parties sont indépendantes.
Les résultats seront arrondis à 10−2 près.
Partie A
Le personnel d’une grande administration est réparti en trois catégories :
◮ 12 % du personnel est en catégorie A.
◮ 71 % du personnel est en catégorie B.
◮ Et le reste en catégorie C.
67 % de la catégorie A est composé d’hommes et 92 % de la catégorie B est composé de
femmes. On sait de plus que dans cette administration, 80 % du personnel est féminin.
• On appelle A l’évènement « la personne interrogée fait partie de la catégorie A »
• B l’évènement « la personne interrogée fait partie de la catégorie B »
• C l’évènement « la personne interrogée fait partie de la catégorie C »
• F l’évènement « la personne interrogée est une femme
». 1 ) On interroge au hasard un membre du personnel.
a ) Donner P (F ) et construire un arbre pondéré traduisant la situation. b
) Calculer la probabilité d’interroger une femme de la catégorie C.
c ) En déduire la probabilité d’interroger une femme sachant que la personne interrogée fait
partie de la catégorie C.
2 ) On suppose que le temps de trajet DOMICILE / TRAVAIL est au plus égal à une heure et que la
durée exacte est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0 ; 1].
On interroge au hasard un membre du personnel.
Quelle est la probabilité que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15
et 20 minutes ?
Partie B
La durée de vie d’une ampoule est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de
paramètre λ = 8.10−4
1 ) Quelle est la durée de vie moyenne d’une ampoule ?
2 ) Quelle est la probabilité qu’une ampoule ait une durée de vie supérieure à 1 000 heures ?
3 ) Sachant qu’elle a durée 1 000 heures, quelle est la probabilité qu’une ampoule dure plus de 2
000 heures ?
Partie C
La production laitière annuelle d’une certaine race de vaches est une variable aléatoire L qui suit
une loi normale de paramètres µ = 6 000 et σ = 400.
1 ) Calculer la probabilité qu’une vache produise moins de 5 800 litres de lait par an.
2 ) Calculer la probabilité qu’une vache produise entre 5 900 et 6 100 litres de lait par an.
3 ) Déterminer la production maximale de lait prévisible pour les 30 % de vaches les moins productives.
EXERCICE 4
Les complexes (sans justifications)
Répondez en recopiant le tableau ci-contre sur votre feuille. Une bonne
réponse rapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points et l’absence de réponse n’est pas sanctionnée.
Il y a exactement une bonne réponse par question.
N
Question
1+i
1
z=
est :
Rep A
√
3
, un argument de z
Sujet
Question
A
Réponse
Rep B
π
12
1
2
3
On donne les points A(1 − i),
B(2i) et C (−2). L’affixe du
point D tel que ABC D est un
parallélogramme est :
3
Pour tout complexe z ,
3+i
est un réel
(z − i)(z + i)
5
Rep C
7π
12
π
− 12
Soit A(2 − i), l’ensemble des
points M (z) qui vérifient
−3 + 3 i
−1 − 3 i
est un nombre comest un imaginaire
plexe ni imaginaire
pur
pur ni réel
est une droite pas- est une droite ne est un cercle de
sant par A
passant pas par A centre A
|z − 2 + i| = |z + 1 − 2i|
5
4
1+i
2
4
QCM t 5 points
On donne les points A(5 + 5i),
B(2 + i) et C (6 + 2i). Le triangle
ABC est :
équilatéral
rectangle
quelconque