IUT GB ‐ Fiche de TD 2

IUTGB‐FichedeTD2
Exercice 1. On choisit successivement trois personnes dans une population.Pour∈1,2,3, on note 
l’événement:«la‐èmepersonneaunrhésuspositif».Écrireàl’aidedes,des
,de∩et∪lesévénements
suivants:
E1:«aumoinsunepersonneaunrhésuspositif»
E2:«aumoinsdeuxpersonnesontunrhésusnégatif»
E3:«unepersonneexactementaunrhésuspositif»
E4:«aumoinsunedesdeuxpremièrespersonnesaunrhésusnégatif»
Exercice2.
1. Onlancetroisdés(équilibrés)indiscernables,numérotésde1à6.Calculer:
‐ lenombredebrelansquel’onpeutobserver.
‐ lenombredepairesquel’onpeutobserver.
‐ lenombredelancersdonnanttroisnumérosdistinctsquel’onpeutobserver.
2. Onsupposequelestroisdésontdescouleursdifférentes.Reprendrelescalculsdelaquestionprécédente
danscecontexte.
3. Endéduirelaprobabilitéderéalisationdechacundecestroiscasdelaquestion1(tousleslancersdetrois
déssontévidemmentsupposéséquiprobables).
Exercice3.Lorsd’unecollectedesang,18personnessesontprésentées.Onanotélarépartitionsuivante:
Groupe A B AB O Total
Nombre 4 2 1 11 18
Àl’issuedelacollecte,onprélèveauhasard3flacons.
1. Calculerlenombredeprélèvementspossiblesdetroisflacons.
2. Calculerlenombreprélèvementsdonnant3flaconsdumêmegroupe.Quelleestlaprobabilitéquecela
seréalise?
3. CalculerlenombreprélèvementsdonnantaumoinsunflacondugroupeA.Quelleestlaprobabilitéque
celaseréalise?
4. Quelleestlaprobabilitéquelestroisgroupessanguinsprélevéssoientdifférents?
Exercice 4.Dansuneclassedeélèves,calculerlenombredelistespossiblesdesdatesd’anni‐versaires(les
élèvesétantsupposéstriésdansl’ordrealphabétique,etonconsidérerapoursimplifierqu’uneannéecompte
365jours).Quelleestlaprobabilitéqu’aumoinsdeuxélèvesaientlamêmedated’anniversaire.Quevautcette
probabilitépouruneclassede28élèves?De35élèves?De40élèves?
Exercice 5.Auloto(ancienneversion),ilyavait49boulesnumérotéesde1à49.Untirageestcomposéde6
numéros distincts. Pour gagner quelque chose, il fallait avoir au moins trois bons numéros. Quelles sont les
probabilités:
1. Detirerles6bonsnuméros?
2. Detirerexactement5bonsnuméros?
3. Detireraumoinstroisbonsnuméros?
Exercice6.Unecoursedechevauxcompte24partants.Onsupposequ’ilyaéquiprobabilitésurl’ordred’arrivée
deschevaux.Aprèsavoirmisésurtroischevauxordonnés,quelleestlaprobabilitéqu’unjoueur
1. gagneletiercédansl’ordre?
2. aitsestroischevauxdansletiercégagnant(sanstenircomptedel’ordre)?
Exercice7.Chezlelapin,larobetachetéedominesurlarobeunicoloreetlacolorationnoiredomine
sur la coloration brune . On croise deux lapins de génotypes   : tous les descendants de la
génération1sontnoirsettachetésdegénotype.Lesindividusdelagénération2,issusdedeuxlapins
noirstachetésdela1,ontalorslesgénotypessuivants:
Génotype    
Probabilité         
1. Calculerlesprobabilitésdechaquegénotype.

2. Calculerlesprobabilitésdutableausuivantpourunlapinde2
Couleur Tacheténoir Tachetébrun Unicolorenoir Unicolorebrun
Probabilité    
3. Sachantqu’unlapinde2estnoirtacheté,quelleestlaprobabilitéqu’ilaitpourgénotype?
4. Quelleestlaprobabilitéqu’unlapinde2soitnoir?
5. Sachantqu’unlapinde2esttacheté,quelleestlaprobabilitéqu’ilsoitnoir?
6. Expliquerlacoïncidencedesdeuxderniersrésultats.
Exercice8.Pourdiagnostiquerunemaladiedumouton,onamisaupointuntest,maisquin’estpasparfait:il
peutyavoirdes«fauxpositifs»c’est‐à‐diredesmoutonspour lesquels le test est positif et qui ne sont pas
malades,etàl’inversedes«fauxnégatifs»pourlesquelsletestestnégatifalorsquelemoutonestbienatteint
parlamaladie.
Onnotelesévénements:«lemoutonestmalade»:«letestestpositif».
Onconnaîtlescaractéristiquesdutest:
sasensibilitéquiestlaprobabilitéqueletestsoitpositifpourunebêteestmalade,quel’onsupposede90%;
saspécificitéquiestlaprobabilitéqueletestsoitnégatiflorsquelabêteestsaine,quel’onsupposeà85%.
Onsupposeque20%desmoutonsd’unerégionsontatteintsparlamaladie.
1. Écrire les événements : «le mouton est un faux positif» et 
: «le mouton est un faux
négatif»enfonctiondeet.
2. Écrirelesdonnéesdel’exercicesousformedeprobabilités.
3. Pourunmoutonprisauhasard,calculerlaprobabilitéqu’ilsoitpositifautest.
4. Sachantqu’unmoutonestpositifautest,calculerlaprobabilitéqu’ilsoitmalade.
5. Sachantquelemoutonestnégatifautest,calculerlaprobabilitéqu’ilnesoitpasmalade.
6. Calculerl’efficacitédutestc’est‐à‐direlaprobabilitéqu’iln’yaitpasd’erreurcommiseℙ
∩
.
Exercice9.Lestableauxci‐dessousdonnentlarépartitiondesgroupessanguinsdelapopulationfrançaiseetles
compatibilitésentredonneuretreceveur. 
Rhésus
Groupessanguin Total
rhésus Receveur
Donneur 
Receveur
Donneur
O A B AB 0 A B AB Rh+ Rh‐
Rh+ 37% 39% 7% 2% O X Rh+ X X
Rh‐ 6% 6% 2% 1% A X X Rh‐  X
Totalgroupe     B X X  
 ABXXXX
UnXdanslesdeuxdernierstableauxindiquelacompatibilité.Enparticulier,undonneuruniverselestdugroupe
Orhésusrh‐etunreceveuruniverseldugroupeABrhésusRh+.
1. Calculerleslois(ditesmarginales)desvariables``Groupe''et``Rhésus''.
2. SijesuisdugroupeArhésusRh+,quelleproportiondelapopulationpeutmedonnersonsang?
3. Sachant qu'un individu tiré au hasard est du groupe O, quelle est la probabilité qu'il soit donneur
universel? 
4. Sachant qu'un individu tiré au hasard est de facteur rhésus Rh+, quelle est la probabilité qu'il soit
receveuruniversel? 
5. Lorsd'undondusang,25personnessesontprésentées.Quelleestlaprobabilitéqu'ilyaitaumoinsun
donneuruniverselparmielles?
6. Pourundonneuretunreceveurprisauhasard,calculerlesprobabilitésconditionnellesde
compatibilitésdutableausuivant:
Sachantqueledonneurest O+ A+ B+ AB+ O‐ A‐ B‐ AB‐
Probabilitédecompatibilité 
 Endéduirelaprobabilitéqu'ilssoientcompatiblesengénéral. 