IUT GB ‐ Fiche de TD 2

IUT GB ‐ Fiche de TD 2 Exercice 1. On choisit successivement trois personnes dans une population. Pour ∈ 1,2,3 , on note l’événement : « la ‐ème personne a un rhésus positif ». Écrire à l’aide des , des , de ∩ et ∪ les événements suivants : E1 : « au moins une personne a un rhésus positif » E2 : « au moins deux personnes ont un rhésus négatif » E3 : « une personne exactement a un rhésus positif » E4 : « au moins une des deux premières personnes a un rhésus négatif » Exercice 2. 1. On lance trois dés (équilibrés) indiscernables, numérotés de 1 à 6. Calculer : ‐ le nombre de brelans que l’on peut observer. ‐ le nombre de paires que l’on peut observer. ‐ le nombre de lancers donnant trois numéros distincts que l’on peut observer. 2. On suppose que les trois dés ont des couleurs différentes. Reprendre les calculs de la question précédente dans ce contexte. 3. En déduire la probabilité de réalisation de chacun de ces trois cas de la question 1 (tous les lancers de trois dés sont évidemment supposés équiprobables). Exercice 3. Lors d’une collecte de sang, 18 personnes se sont présentées. On a noté la répartition suivante : Groupe A B AB O Total
Nombre 4 2 1 11
18
À l’issue de la collecte, on prélève au hasard 3 flacons. 1. Calculer le nombre de prélèvements possibles de trois flacons. 2. Calculer le nombre prélèvements donnant 3 flacons du même groupe. Quelle est la probabilité que cela se réalise ? 3. Calculer le nombre prélèvements donnant au moins un flacon du groupe A. Quelle est la probabilité que cela se réalise ? 4. Quelle est la probabilité que les trois groupes sanguins prélevés soient différents ? Exercice 4. Dans une classe de élèves, calculer le nombre de listes possibles des dates d’anni‐ versaires (les élèves étant supposés triés dans l’ordre alphabétique, et on considérera pour simplifier qu’une année compte 365 jours). Quelle est la probabilité qu’au moins deux élèves aient la même date d’anniversaire. Que vaut cette probabilité pour une classe de 28 élèves ? De 35 élèves ? De 40 élèves ? Exercice 5. Au loto (ancienne version), il y avait 49 boules numérotées de 1 à 49. Un tirage est composé de 6 numéros distincts. Pour gagner quelque chose, il fallait avoir au moins trois bons numéros. Quelles sont les probabilités : 1. De tirer les 6 bons numéros ? 2. De tirer exactement 5 bons numéros ? 3. De tirer au moins trois bons numéros ? Exercice 6. Une course de chevaux compte 24 partants. On suppose qu’il y a équiprobabilité sur l’ordre d’arrivée des chevaux. Après avoir misé sur trois chevaux ordonnés, quelle est la probabilité qu’un joueur 1. gagne le tiercé dans l’ordre ? 2. ait ses trois chevaux dans le tiercé gagnant (sans tenir compte de l’ordre) ? Exercice 7. Chez le lapin, la robe tachetée domine sur la robe unicolore et la coloration noire domine sur la coloration brune . On croise deux lapins de génotypes : tous les descendants de la génération 1 sont noirs et tachetés de génotype . Les individus de la génération 2, issus de deux lapins noirs tachetés de la 1, ont alors les génotypes suivants : Génotype Probabilité 1. Calculer les probabilités de chaque génotype. 2.
3.
4.
5.
6.
Calculer les probabilités du tableau suivant pour un lapin de 2 Couleur Tacheté noir Tacheté brun Unicolore noir Unicolore brun Probabilité Sachant qu’un lapin de 2est noir tacheté, quelle est la probabilité qu’il ait pour génotype Quelle est la probabilité qu’un lapin de 2 soit noir ? Sachant qu’un lapin de 2 est tacheté, quelle est la probabilité qu’il soit noir ? Expliquer la coïncidence des deux derniers résultats. ? Exercice 8. Pour diagnostiquer une maladie du mouton, on a mis au point un test, mais qui n’est pas parfait : il peut y avoir des « faux positifs » c’est‐à‐dire des moutons pour lesquels le test est positif et qui ne sont pas malades, et à l’inverse des « faux négatifs » pour lesquels le test est négatif alors que le mouton est bien atteint par la maladie. On note les événements : « le mouton est malade » : « le test est positif ». On connaît les caractéristiques du test : sa sensibilité qui est la probabilité que le test soit positif pour une bête est malade, que l’on suppose de 90% ; sa spécificité qui est la probabilité que le test soit négatif lorsque la bête est saine, que l’on suppose à 85%. On suppose que 20% des moutons d’une région sont atteints par la maladie. 1. Écrire les événements : « le mouton est un faux positif » et : « le mouton est un faux négatif » en fonction de et . 2. Écrire les données de l’exercice sous forme de probabilités. 3. Pour un mouton pris au hasard, calculer la probabilité qu’il soit positif au test. 4. Sachant qu’un mouton est positif au test, calculer la probabilité qu’il soit malade. 5. Sachant que le mouton est négatif au test, calculer la probabilité qu’il ne soit pas malade. 6. Calculer l’efficacité du test c’est‐à‐dire la probabilité qu’il n’y ait pas d’erreur commise ℙ
. ∩
Exercice 9. Les tableaux ci‐dessous donnent la répartition des groupes sanguins de la population française et les compatibilités entre donneur et receveur. Rhésus Groupes sanguin O A B Total
AB rhésus Donneur
Receveur
0
Rh+ 37% 39% 7% 2% O
X
Rh‐ 6% 6% A
X
Total groupe B
X
AB
X
2% 1% A
B
AB
X
X
X
X
X
Donneur
Receveur Rh+ Rh‐
Rh+ X X
Rh‐ X
Un X dans les deux derniers tableaux indique la compatibilité. En particulier, un donneur universel est du groupe O rhésus rh‐ et un receveur universel du groupe AB rhésus Rh+. 1. Calculer les lois (dites marginales) des variables ``Groupe'' et ``Rhésus''. 2. Si je suis du groupe A rhésus Rh+, quelle proportion de la population peut me donner son sang ? 3. Sachant qu'un individu tiré au hasard est du groupe O, quelle est la probabilité qu'il soit donneur universel ? 4. Sachant qu'un individu tiré au hasard est de facteur rhésus Rh+, quelle est la probabilité qu'il soit receveur universel ? 5. Lors d'un don du sang, 25 personnes se sont présentées. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un donneur universel parmi elles ? 6. Pour un donneur et un receveur pris au hasard, calculer les probabilités conditionnelles de compatibilités du tableau suivant : Sachant que le donneur est O+ A+ B+ AB+ O‐ A‐ B‐ AB‐ Probabilité de compatibilité
En déduire la probabilité qu'ils soient compatibles en général.