S3 Maths 2012-2013 Statistique Notion de variable aléatoire réelle à densité Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences 2012-2013 Licence mention Mathématiques - Semestre 3 Statistique Notion de variable aléatoire réelle à densité 1. Généralités On considère une expérience aléatoire, , A, P un espace probabilisé adapté et X une variable aléatoire réelle. On a traité dans le chapitre précédent le cas où l’univers-image X (et donc l’univers ) était fini ou infini dénombrable. La loi de probabilité de X était alors donnée par les quantités P X x k pour tout x k de X. a, b ou ), la théorie montre Lorsque X (et donc ) est infini non-dénombrable (par exemple X que P X x 0 pour tout x de . On est alors amené à donner la loi de probabilité de X par sa fonction de répartition F X définie par F X x PX x . Définition. On appelle densité ou densité de probabilité sur toute fonction f de dans vérifiant : - f est positive ; - f est continue sur sauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points ; - l’intégrale f x dx est convergente et f x dx 1. Définition. Une variable aléatoire X est dite continue s’il existe une densité f X telle que pour tout x x FX x f X t dt. , f X est alors appelée densité de X. On dit aussi que X est une variable aléatoire réelle à densité. Propriétés. Soit X une variable aléatoire continue dont f X est une densité, et soit F X sa fonction de répartition. Alors F X est une fonction de dans 0, 1 , continue et croissante sur , dérivable sur , sauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points, de dérivée f X , et telle que xlim F x 0 et lim F x 1. De plus, pour tous réels x, a et b tels que a b, on a : x b PX x 0;P X x PX x ;P a X b Pa X b FX b FX a a f X t dt. Espérance mathématique. Variance. Ecart-type. Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, et sous réserve que les intégrales suivantes existent, on a : xf X x dx (ce nombre représente la valeur moyenne de X) ; -E X -V X - X x EX 2 f X x dx ; V X E X2 EX V X ; intervalle moyen de X : E X 2 x 2 f X x dx X ,E X 2 EX ; X . Lois classiques : Uniforme, Exponentielle et Normale 1 Loi Uniforme sur a, b . X EX Stéphane Ducay a, b , f X x a 2 b et V X b b si x a 0 si x a 12 a, b a, b FX x x b 0 si x a si x a 1 si x a a, b b 2 . 1 S3 Maths 2012-2013 Statistique Loi Exponentielle de paramètre . e x si x 0, , fX x X 0 si x 0 0 , FX x Loi Normale de paramètres et . 1 e 12 x 2 pour tout x et f X x X 2 2. Loi Normale N , Notion de variable aléatoire réelle à densité 1 e x si x 0 0 si x 0 1 et V X ,EX 1 . 2 . Voir le paragraphe suivant. . 2.1. Cas de la loi N 0, 1 (loi normale centrée réduite). 1 e x22 pour tout x On a X et f X x . 2 On a de plus E X 0 et V X 1. La fonction de répartition de X est donnée par x FX x x x 1 e t22 dt pour tout 2 x . Cette fonction n’étant pas exprimable par des fonctions usuelles, on utilise généralement une valeur approchée de cette fonction. Ses valeurs sont tabulées pour les x 0 (table 1). Pour les x 0, on peut utiliser la formule x 1 x (formule valable pour tout réel x) La table ne donne des valeurs approchées de x que pour des x compris entre 0 et 3. On pourra admettre que x 1 pour tout x 3. f X t dt Quelques valeurs supplémentaires x x 2,99 0,998605 3,00 0,998650 3,50 0,999767 4,00 0,999968 4,50 0,999997 5,00 1,000000 Stéphane Ducay 2 S3 Maths 2012-2013 Statistique Notion de variable aléatoire réelle à densité Exemple de calcul. Soit X une v.a.r. de loi normale N 0, 1 . On a : P 0, 06 X 1, 23 1, 23 0, 06 0, 8907 0, 5239 1 0, 4146. PX 1, 23 1, 23 1 1, 23 0, 06 0, 8907 1, 23 et 0, 06 1 2.2. Loi normale N , , avec réel et 0. x 2 1 1 On a f X x e 2 pour tout x . Le paramètre est un paramètre de localisation (point où 2 f X atteint son maximum), et le paramètre un paramètre d’échelle, caractérisant l’applatissement de la courbe en cloche représentative de f X . Proposition. X X suit la loi normale N , si et seulement si Y suit la loi normale N 0, 1 . 2 . Ainsi, est la moyenne de X et est l’écart-type de X. On a alors E X et V X Exemple de calcul. X 2 suit la loi normale N 0, 1 . On a : Soit X une v.a.r. de loi normale N 2, 10 . Alors Y 10 14, 3 2 X 2 P Y 1, 23 1, 23 0, 8907 P X 14, 3 P 10 10 14, 3 2 1, 4 2 X 2 P 1, 4 X 14, 3 P P 0, 06 Y 1, 23 10 10 10 1, 23 0, 06 0, 4146. 2.3. Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale Soit X une variable aléatoire de loi Binomiale B n, p . Si n est ”grand” et p ”pas trop petit”, alors X suit approximativement la loi Normale N np, np 1 p (de même moyenne et même écart-type que la Binomiale). En pratique, ce résultat s’applique dès que np 10 et n 1 p 10. (Autres conditions possibles : n 30, np 5 et n 1 p 5). Exemple. On jette n 12000 fois un dé équilibré. On cherche la probabilité que le nombre de 6 obtenus soit compris entre 1800 et 2100. Le nombre X de 6 obtenus suit une loi Binomiale B n, p avec n 12000 1 et p . Comme np 2000 10 et n 1 p 10000 10, on peut utiliser l’approximation par la loi 6 Normale N np, np 1 p N 2000, 12000 1 5 N 2000, 100 : 6 6 6 X 2000 suit approximativement la loi Normale N 0, 1 . Ainsi, Z 100 6 1800 2000 100 6 2, 45 4, 90 2, 45 4, 90 Le calcul direct serait plus fastidieux : P 1800 X 2100 P 1800 X 2100 P 2100 2000 2100 2000 P 4, 90 100 100 6 6 1 0, 9929 1 1 0, 9929. 2100 PX k 1800 X k k 1800 C k12000 1 6 k 5 6 12000 k Z 2, 45 0, 993. Correction de continuité Approchant une loi discrète (à valeurs entières) par une loi continue, il est utile de distinguer inégalités stricte et large. Pour se faire, on effectue une correction de continuité. Ainsi, pour approcher P X k , on effectue le calcul suivant : Stéphane Ducay 3 S3 Maths 2012-2013 Statistique k 1 X k 1 2 2 On a alors, pour tous entiers m et m : PX k Notion de variable aléatoire réelle à densité P k 1 2 np 1 2 k np 1 p np m 1 np P 1799, 5 2000 100 6 2, 46 4, 91 X 2000 100 6 2, 46 1 2 X 2100 1 2 2100, 5 2000 100 6 4, 91 1 0, 9931 np np 1 p P 1799, 5 P 4, 91 1 1 2 m 2 1 Pm X m P m 1 X m np 1 p 2 2 Le calcul de l’exemple précédent est alors légèrement modifié. Exemple. Reprenons l’exemple précédent. P 1800 X 2100 P 1800 . np 1 p X . 2100, 5 Z 2, 46 1 0, 9931. Exercice 2. Soit X une variable aléatoire de loi normale N ; . Calculer P X P X ,P 2 X 2 et P 3 X , 3. Exercices Exercice 1. 1) Soit X une variable aléatoire de loi normale N 0; 1 . a) Calculer P X 2 et P 0 X 1 . b) Déterminer le réel x tel que P X x 0, 975. 2) Soit X une variable aléatoire de loi normale N 4; 2 . a) Calculer P X 6 et P 0 X 6 . b) Déterminer le réel x tel que P X x 0, 975. c) Déterminer le réel x tel que P X x 0, 25. 3 . Exercice 3. A partir des données obtenues ces dernières années, on peut supposer que l’âge auquel un enfant commence à marcher est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 13 mois et d’écart-type 1, 5 mois. 1) Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher avant 11 mois ? 15 mois ? 2) Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher entre 11 et 15 mois ? 3) Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher à 13 mois exactement ? 4) Quel risque prend-on en pariant qu’un enfant commencera à marcher entre 12 et 14 mois ? Exercice 4. Une étude sur la myrosine, enzyme parfois présente dans les graines de moutarde, a montré que la proportion de plants de moutarde noire qui contient cette enzyme est égale à 0,13. On prélève un échantillon de 160 plants de moutarde dans une grande production. 1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de ces plants qui contiennent de la myrosine. Justifier. 2) Calculer la probabilité que le nombre de plants contenant de la myrosine soit compris entre 16 et 25, en utilisant une approximation à l’aide de la loi normale. Justifier les points suivants : approximation, correction de continuité, standardisation. Exercice 5. L’usine Mécanix est spécialisée dans la fabrication de pièces métalliques. Le poids d’une pièce, en grammes, est une variable aléatoire X de loi normale de moyenne 10 g et d’écart-type 0,2 g. La société Aérolux, cliente de Mécanix, n’accepte que des pièces dont le poids est compris entre 9,54 g et 10,46 g. Stéphane Ducay 4 S3 Maths 2012-2013 Statistique Notion de variable aléatoire réelle à densité 1) Quel est le pourcentage prévisible de pièces refusées ? 2) Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de pièces refusées dans un lot de 100 pièces. Calculer, à 10 3 près, la probabilité que Y soit égale à 3 en utilisant la loi exacte de Y, puis en utilisant une loi approchée de Y. Comparer les deux résultats et expliquer. Exercice 6. (D’après partiel de novembre 2007) Dans la suite de cet exercice, r et n sont des entiers naturels non nuls. On considère un ascenseur qui dessert les r étages d’un immeuble. On suppose que n personnes entrent dans cet ascenceur (vide) au rez-de-chaussée (étage 0). On suppose que chacune des ces personnes, indépendamment des autres, a une probabilité 1r de sortir à l’un des étages. On suppose enfin que personne ne rentre dans l’ascenseur à un étage au-dessus du rez-de-chaussée. Pour tout i compris entre 1 et r, on désigne par X i le nombre de personnes sortant à l’étage i, et par Y i la variable aléatoire égale à 1 si l’ascenseur s’arrête à l’étage i (il ne le fait que si au moins une personne sort à cet étage) ou à 0 sinon. 1) Soit i un entier compris entre 1 et n. a) Quelle est (en fonction de r et n) la loi de probabilité de X i ? Justifier la réponse. b) Calculer la probabilité qu’au moins une personne sorte à l’étage i. c) Quel est le nombre moyen de personnes sortant à l’étage i ? d) Dans cette question, on suppose que r 100 et n 500. Calculer la probabilité que 4 personnes (exactement) sortent à l’étage i, en utilisant d’abord la loi exacte de X i , puis une loi approchée de X i en justifiant son utilisation. Comparer les deux résultats. e) Dans cette question, on suppose que r 100 et n 2000. Calculer la probabilité qu’il y ait entre 15 et 25 personnes qui sortent à l’étage i. On pourra utiliser une loi approchée en justifiant son utilisation. 2) Déterminer la loi de probabilité de Y i , ainsi que son espérance mathématique E Y i . On pourra utiliser le résultat de la question 2)b). 3) On désigne par Y la variable aléatoire égale au nombre d’arrêts de l’ascenseur. a) Exprimer Y en fonction de Y i . b) En déduire l’espérance mathématique de Y. Exercice 7. Virginie a un rendez-vous avec Paul à la sortie de la Faculté de Mathématiques et d’Informatique lundi à 19h00, après son TD de Statistiques. Mais elle ne pourra l’attendre plus de 5 minutes. Paul, qui suit un cours de Sociologie sur le Campus, estime qu’il peut arriver sur le lieu du rendez-vous à tout moment entre 18h55 et 19h10 de manière équiprobable. Si cette hypothèse est exacte, quelle est la probabilité de Paul rencontre Virginie ? Exercice 8. Une usine fabrique 9000 unités d’un produit en un temps t. Pour cette même période, la demande concernant ce produit, en milliers d’unités, peut-être considérée comme une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1/3. 1) Déterminer la fonction de répartition de X. 2) Quelle est la probabilité que la demande dépasse la production ? 3) Quelle devrait être la production pour que cette probabilité soit inférieure à 0, 4 ? Exercice 9. La durée de vie d’un certain type de diode de radio est supérieure à 100 heures. Après cela, cette durée de vie X est une variable aléatoire de densité de probabilité : 100 si x 100. fX x x2 1) Donner l’expression de f X sur . Déterminer la fonction de répartition de X. 2) La variable aléatoire X admet-elle une espérance mathématique ? Si oui, la calculer. 3) Quelle est la probabilité qu’une diode tombe en panne durant ses 150 premières heures de fonctionnement ? 4) Une radio possède 5 diodes de ce type, mises en fonctionnement simultanément et dont les durées de vie sont supposées indépendantes. Quelle est la probabilité que 2 des 5 diodes tombent en panne lors des 150 premières heures de service de la radio ? Stéphane Ducay 5