Ensembles de nombres

Ensembles de nombres
lundi 11 février
Table des matières
1 L’ensemble Zdes entiers relatifs 1
2 L’ensemble Qdes nombres rationnels 2
3 L’ensemble Rdes nombres réels 3
3.1 Bornes supérieures & inférieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Droite réelle achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 L’ensemble Zdes entiers relatifs
L’ensemble Nn’est pas un groupe pour l’addition (seul 0est opposable) : quand on rajoute1àNles opposés
de ses éléments, on obtient l’ensemble2Zdont les éléments sont appelés entiers relatifs.Ainsi, on a "par
construction"
Z=N[(N)(admis),
ce qui s’écrit aussi
8n2N;(n2Zet n2Z)(traduit l’inclusion N[ NZ)
8z2Z;9n2N;(z=nou z=n)(traduit l’inclusion ZN[ N).
On prolonge à Zles addition, multiplication et ordre de N. La plupart des propriétés sont conservées.
CEPENDANT :
Fpour aet bdans Z, l’entier relatif abn’a pas toujours de sens si b < 0(par exemple, 21=2Z) ;
Ffaire attention aux signes quand on multiplie des comparaisons (par exemple, on a 10mais (1)26
02) ;
Fon n’apas l’équivalence 8(a; b)2Z2; a b<9z2Z; b =a+z; en revanche on a toujours l’équivalence
8(a; b)2Z2; a b() 9n2N; b =a+n;
FF Zest un groupe additif ;
FFF toute partie de Znon vide minorée admet un plus petit élément (sans l’hypothèse de minoration,
Nest une partie non vide de Zsans plus petit élément) ;
de même, toute partie non vide majorée admet un plus grand élément (sans l’hypothèse de majoration, N
est une partie non vide de Zsans plus grand élément).
Corollaire / dé…nition (partie entière). Soit aun réel. Il existe un unique entier relatif, noté bac
ou E(a)et appelé partie entière3de a, tel que bac  a < bac+ 1.
Démonstration. Les comparaisons souhaitées bac  a < bac+ 1 disent que bacest le plus grand entier
relatif inférieur ou égal à a. Il est donc naturel d’introduire l’ensemble E:= fz2Z;zag. C’est une partie
1la description et la légitimation de ce rajout sont hors programme
2de l’allemand "Zahl" signi…ant "nombre"
3On pourrait dé…nir une autre partie entière de acomme étant le plus petit entier daesupérieur ou égal à a. Elle serait caractérisée
par les comparaisons dae  1< a  dae.
1

de Z, non vide (admis), majorée (par a), donc admet un plus grand élément M:= max E. Puisque M2E,
on a Ma; si l’on n’avait pas a<M+ 1, on aurait M+ 1 a, d’où M+ 1 2E, ce qui imposerait
M+ 1 max E=M, d’où une contradiction. (On admet l’unicité –>exercice !)
On retiendra les équivalences (pour tout réel aet pour tout entier relatif k)
k=bac () ka < k + 1
a2Z() a=bac.
Arithmétique.
Dé…nition (divisibilité). Soient (d; m)2Z2. On dit que ddivise mou que dest un diviseur de m
ou que mest divisible par dou que mest un multiple de dsi mest le produit de dpar un entier relatif : on
note alors
djmdéf. () 9k2Z; m =kd.
Remarque. L’entier 0est divisible par tous les entiers puisque 8a2Z;0 = 0a.
Remarque. Soit a2Z. Alors 1et asont toujours des diviseurs de a. Le cas où il n’y a qu’eux deux
motive la dé…nition suivante.
Dé…nition (nombre premier). Soit p2N. On dit que pest premier s’il possède exactement deux
diviseurs positifs (qui sont alors nécessairement 1et p).
Exemples. Les premiers nombres premiers sont
2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37:::
Fles entiers 0et 1ne sont pas premiers car 0admet une in…nité de diviseurs et 1n’en admet qu’un seul
positif.
Théorème (décomposition en facteur premier) (admis) Tout entier naturel non nul est un produit
de nombres premiers, avec unicité des facteurs à l’ordre près.
Exemples. Un algorithme a été vu en T. G. : 18 = 2 32,42 = 2 37.
Remarque. L’entier 1est produit de zéro nombres premiers.
2 L’ensemble Qdes nombres rationnels
L’ensemble Zn’est pas un groupe pour (seul 1sont inversibles) : quand on rajoute4àZles inverses de
ses éléments non nuls puis les produits d’entiers avec des inverses d’entiers, on obtient l’ensemble5Qdont les
éléments sont appelés nombres rationnels6.Ainsi, on a "par construction"
Q=nn
d;n2Z; d 2No(admis)
(on peut prendre le dénominateur7dans Nau lieu de Zen envoyant l’éventuel signe dans le numérateur8).
On prolonge à Qles addition, multiplication et ordre de Z. On rappelle au besoin les égalités
a
b+c d=ad +bc bd et a b
c
d=ac bd
(où a; b; c; d sont des entiers
avec bet dnon nuls) .
La plupart des propriétés sont conservées. CEPENDANT :
4la description et la légitimation de ce rajout sont hors programme
5"Q" comme "quotient", au sens de "fraction"
6La mot "rationnel" vient du latin "ratio" qui signi…e "mesure" ou "comparaison" et qui a donné "raison", "rapport" et
"quotient".
7ce qui dénomme : regardons-nous des tiers ? des quarts ? des dix-huitièmes ?
8le nombre de choses (cinquièmes, quarante-deuxièmes...) dénommées par le dénominateur
2

Fétant données deux fractions fet gdans Q, le rationnel fgn’a pas toujours de sens si g =2Z(par exemple,
21
2dénote l’irrationnel9p2) ;
Ftoute partie majorée n’admet pas toujours un plus grand élément (par exemple, l’intervalle [0;1[ ou la
partie r2Q;r2<2) ;
Ftoute partie minorée n’admet pas toujours un plus petit élément (par exemple, si la partie Q
+admettait
un plus petit élément m, alors on aurait d’une part m
22Q
+, d’autre part m
2< m = min Q
+, d’où une
contradiction) ;
Fon n’aplus l’équivalence 8(a; b)2Q2; a < b <ab1(par exemple, remplacer apar 0et bpar 1
2) :
deux rationnels peuvent être arbitrairement proches
(dans la même veine, on n’aplus l’équivalence 8(a; b)2Q2; a b<9n2N; b =a+z).
Proposition. Tout intervalle de longueur10 strictement plus grande que 1contient un entier.
Démonstration. Soient a < b deux rationnels tels que ba > 1.
[dessin] Si b =2Z, alors on a bbc< b ; ayant par ailleurs bbc> b 1> a, on a trouvé un entier bbcdans
l’intervalle ]a; b[(donc dans les trois autres intervalles de mêmes "bornes").
[dessin] Sinon, on a a < b 1 = bbc  1< b et l’entier bbc  1convient.
3 L’ensemble Rdes nombres réels
L’ensemble Qn’est pas "complet", certaine parties n’ont pas de plus petit ou plus grand élément. Quand
on rajoute11 ces extrema, on obtient l’ensemble Rdont les éléments sont appelés nombres réels12 . On pourra
ainsi visualiser l’ensemble des réels comme la droite des rationnels dans laquelle on a bouché tous les "trous".
[dessin]
Précisons cette notion de complétude.
3.1 Bornes supérieures & inférieures
Dé…nitions (majoration, minoration). Soit Aune partie de R.
Un majorant de Aest un réel Mtel que 8a2A; a M. On dit que Aest majorée s’il existe un majorant
de A.
Un maximum de Aest un majorant de Aqui appartient à A, un plus grand élément de Aest un élément
de Aqui majore A(c’est la même chose).
Un minorant de Aest un réel mtel que 8a2A; m a. On dit que Aest minorée s’il existe un minorant
de A.
Un minimum de Aest un minorant de Aqui appartient à A, un plus petit élément de Aest un élément
de Aqui minore A(c’est la même chose).
Un extremum13 (de A) est un maximum (de A) ou un minimum (de A).
Exemples.
42 majore 0;p2;
18 minore N;
f42n;n2Zgn’est pas majorée ;
9Selon l’école pythagoricienne, les seuls nombres que notre raison peut comprendre s’obtiennent à partir des entiers naturels (à
l’aide des opérations usuelles) ; le fait que p2déroge à cette règle montre en quoi il dé…e notre raison, en quel sens il est "irrationnel".
10 cf. section Intervalles pour une dé…nition de longueur et d’intervalle
11 la description et la légitimation de ce rajout sont hors programme
12 Le terme "réel" apparaît sous la plume de Descartes dans La Géométrie (1637) par opposition à "imaginaire" (Descartes
parlait de racines de polynômes). Un nombre réel est donc à l’origine un nombre qui n’est pas "impossible" : le champ de possibles
reste large !
13 Rappelons que le pluriel d’"extremum" est "extrema " (certains dictionnaires tolèrent cependant le pluriel avec un "s"). Il en
va de même pour "maximum" et "minimum".
3

la partie vide ;est majorée et minorée par n’importe quoi (puiqu’un énoncé de la forme 8a2 ;; P (a)est
toujours vrai).
Proposition (unicité des extrema). Une partie de Rne peut admettre qu’un plus un maximum (resp.
minimum).
Démonstration. Soit AR, soient Met M0deux maxima de A. Puisque M0majore A, il majore
tous les éléments de A, en particulier M, d’où MM0; par symétrie, on a la comparaison dans l’autre sens,
d’où l’égalité M=M0.
Notation. Soit AR. Si Apossède un minimum (resp. maximum), ce dernier sera noté min A(resp.
max A).
Exemples.
[0;1] possède un minimum (0) et un maximum (1) ;
]0;1] possède un maximum mais pas de minimum ;
]0;1[ ne possède ni minimum ni maximum
Ces exemples montrent que les notions de minimum et maximum ne captent pas ce que l’on aimerait (il est
frustant que 0ne soit pas le "plus petit élément" de ]0;1[), ce qui motive la dé…nition suivante.
Dé…nition (bornes supérieure & inférieure). Soit Aune partie de R.
On appelle borne supérieure (ou supremum) de Ale plus petit majorant de A(s’il existe ; on le note
alors sup A).
On appelle borne inférieure (ou in…mum) de Ale plus grand minorant de A(s’il existe ; on le note alors
inf A).
MNÉNO : le supremum de Aressemble à un "maximum" qui n’appartient pas forcément à A.
Remarque. Il faut bien comprendre ce changement de point vue du maximum au supremum : au lieu de
chercher à atteindre le maximum depuis l’intérieur (comme plus grand élément), on atteint le supremum depuis
l’extérieur (comme plus petit majorant). Le supremum ressemble ainsi à un "maximum" qui n’appartient pas
forcément à la partie considérée.
Exemples.
sup [0;1[ = 1 ;
sup [0;1] = max [0;1] = 1 ;
si ARadmet un maximum, alors sup Afait sens et vaut max A;
Si ARadmet un minimum, alors inf Afait sens et vaut min A.
On peut à présent traduire une conséquence de la "complétion" des rationnels : la "complétude" des réels.
Axiome (complétude de R). Toute partie non vide majorée (resp. minorée) de Radmet un supremum
(resp. in…mum).
MNÉMO (ordre sur Z). Toute partie non vide majorée (resp. minorée) de Zadmet un maximum
(resp. minimum).
Ce mnémo (qui concerne le monde du discret) est là pour penser l’axiome de complétude (qui concerne le
monde du continu) dans les mêmes termes.
Exemples.
sup 2R;2<2=p2;
inf 1
n;n2N= 0.
Proposition (critère pour déterminer un supremum) (admise). Soient Aune partie de Ret s
un réel. On a alors l’équivalence
s= sup A() 8" > 0;9a2A; s "<as.
Mnémo. Pour ne pas mélanger <et , prendre A:= f0;1get "=1
2:[dessin] l’égalité est imposible à
gauche et la seule possibilité à droite est l’égalité.
4

Application. Soient Aet Bdeux parties majorées de R. Montrer que sup (A+B) = sup A+ sup B:
Démonstration. Notons := sup Aet := sup B. Soit E > 0. Par dé…nition de et , il y a un a2A
tel que E
2< a et il y a un b2Btel que E 2< b (remplacer "dans la proposition ci-dessus
par E
2), d’où (en ajoutant) (+)E < a +b
|{z}
2A+B(+), ce qui conclut += sup (A+B)d’après la
proposition ci-dessus.
3.2 Droite réelle achevée
L’axiome de complétude garantite que toute partie de Rnon vide majorée admet un supremum. A…n de
lever cette hypothèse, il est agréable d’"achever" l’ordre des réels en rajoutant un maximum 1et un minimum
1.
Dé…nition / notation (achèvement de l’ordre réel). Soit 1un symbole ne dénotant aucun réel.
On appelle droite réelle achevée l’ensemble
R:= f1g [ R[f1g (lire "Rachevé").
On note de même
R+=R+: = R+[f1g =R\R+et
R=R: = f1g [ R=R\R.
On admet les prolongements à Rdes addition, multiplication et ordre de Q.
Dé…ntion (ordre et lois sur R).
On prolonge l’ordre réel sur tout Ren imposant
8a2R;1 < a < 1.
On prolonge partiellement l’addition et la multiplication réelles via les tables
+1 réel 1
1 1 1 •
réel 1 1
1 • 1 1
et
1 réel <00réel >01
1 1 1 • 1 1
réel <01 1
0• •
réel >01 1
1 1 1 • 1 1
(la présence d’un •dans une case signi…e que la somme (resp. le produit) ne fait pas sens).
Proposition (admis, cf T. G.). Toute partie de Radmet un supremum et un in…mum.
Exemples.
inf ;=1= max R;
sup ;=1 = min R;
si ARn’est pas majorée, alors sup A=1;
si ARn’est pas minorée, alors inf A=1.
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