Parties de R Réels et suites de réels 1 1 Rappels. 1 2 Ensembles de nombres inclus dans R. 2 3 4 2.1 Nombres entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nombres décimaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Nombres rationnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R et l'axiome de la borne supérieure. 2 3 4 Introduction. On veut examiner ici une propriété fondamentale de l'ensemble des nombres réels : la propriété de la borne supérieure. Le théorème associé sera admis comme axiome : il n'est pas question de parler de la construction de R. Par la comparaison avec d'autres ensembles de nombres, et notamment avec Q, on tente néanmoins de mettre cette propriété en perspective. 1 Rappels. On suppose connu l'ensemble des nombres réels, muni des opérations + et ×, et de la relation d'ordre ≤. Rappelons brièvement que : • + et × sont internes, c'est à dire que la somme ou le produit de deux nombres réels est un nombre réel, • + et × sont associatives : pour tous nombres réels a, b, c, a + (b + c) = (a + b) + c et a(bc) = (ab)c, • + et × sont commutatives : pour tous nombres réels a, b, a + b = b + a et ab = ba, • × est distributive par rapport à + : pour tous nombres réels a, b, c, a(b + c) = ab + ac = (b + c)a. Ces dernières propriétés ne distinguent pas l'ensemble R de l'ensemble Z. Celle qui vient va le faire • Tout élément non nul de R a un inverse dans R. Ajoutée aux précédentes cette dernière propriété fait de R ce que l'on appelle un corps commutatif (notion HP). L'ensemble des nombres rationnels Q, déni dans la suite, en est un autre exemple. La relation d'ordre ≤ sur R est dite totale : on peut toujours comparer deux nombres réels. Cette relation d'ordre possède des propriétés de compatibilité avec les opérations + et ×. On renvoie au cours Inégalités dans R pour des énoncés précis. 1 PCSI1 L ycée Albert S chweitzer 2 Ensembles de nombres inclus dans 2.1 R. Nombres entiers. Dénition 1. On note N l'ensemble des entiers naturels N = {0, 1, 2, . . .} et Z = {0, 1, 2, . . .} ∪ {−1, −2, . . .} l'ensemble des entiers relatifs. On admet les deux propositions suivantes : Proposition 2. L'ensemble des entiers relatifs est stable par somme, diérence, et produit. En clair, une somme/diérence d'entiers relatifs est un entier relatif. Un produit d'entiers relatifs est un entier relatif. Proposition 3. Toute partie non vide et majorée de N ou de Z admet un plus grand élément. Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. Toute partie non vide et minorée de Z admet un plus petit élément. Dénition 4. Pour tout nombre réel x, on appelle partie entière de x, et on note bxc le plus grand entier relatif inférieur à x. Exemple. bπc = 3, b−πc = −4. Proposition 5. Pour tout nombre réel x, bxc ≤ x < bxc + 1. En croisant les inégalités, ceci implique notamment que pour tout x ∈ R, x − 1 < bxc ≤ x. Corollaire 6. L'ensemble R possède la propriété dite d'Archimède : pour tout nombre réel x, pour tout réel positif ε > 0, il existe n ∈ N tel que nε > x. 2 2.2 Nombres décimaux. Dénition 7. p On appelle nombre décimal un nombre réel qui s'écrit sous la forme k , où p ∈ Z et k ∈ N. 10 L'ensemble des nombres décimaux, est noté D. Remarque. Une somme ou un produit de deux nombres décimaux est un nombre décimal. L'inverse d'un nombre décimal n'est pas nécessairement un nombre décimal : on songera au nombre 3/10. Proposition 8. Soit x ∈ R et n ∈ N. Le nombre décimal dn (x) := b10n xc 10n satisfait l'encadrement dn (x) ≤ x < dn (x) + 10−n . Les nombres dn (x) et dn (x) + 10−n sont appelés respectivement valeur décimale par défaut (resp. par excès) de x à la précision 10−n . Exemple. π = 3, 1415926.... Que vaut d3 (π) ? Corollaire 9 (HP). Pour tout nombre réel x, et tout nombre réel ε > 0, il existe un nombre décimal d tel que x − ε < d < x + ε. De la même façon, tout intervalle ouvert non vide rencontre D, c'est à dire que ∀a < b ∈ R D∩]a, b[6= ∅. Remarque. Lorsque, comme D, une partie de R rencontre tous les intervalles de R (aussi "petits" soient-ils), on dit que cette partie est dense dans R. Preuve Corollaire 9 • Soit x ∈ R et ε > 0. Il existe n ∈ N tel que 10n ε > 1 (se convaincre que n = b ln(1/ε) ln(10) c fonctionne). C'est −n à dire que l'on peut choisir n susamment grand pour avoir ε < 10 . Posons alors d = dn (x) (c'est un nombre décimal). On a d − ε < d ≤ x ≤ d + 10−n < d + ε, soit |x − d| < ε. On a donc bien x − ε < d < x + ε. On a réussi à trouver un nombre décimal dont la distance à x est inférieure à ε. b−a • Soient a et b deux réels tels que a < b. Appliquons le résultat précédent avec x = a+b 2 et ε = 2 . On a ]a, b[=]x−ε, x+ε[. Or on a montré au dessus qu'il existe un nombre décimal dans ce type d'intervalle. 3 2.3 Nombres rationnels. Dénition 10. p q p ∈ Z et q ∈ N∗ . On note Q l'ensemble des nombres rationnels. On dit d'un nombre de R \ Q qu'il Un nombre rationnel est un nombre réel qui s'écrit sous la forme d'un quotient d'entiers , où est irrationnel. Exemple. Les nombres 5, 3/10, 10/3 et 23/222 sont rationnels. On va montrer que qui montre que Q ( R. On peut montrer que e et π sont irrationnels. √ 2 est irrationnel, ce Proposition 11. L'ensemble des rationnels est stable par somme, produit, et passage à l'inverse. Proposition 12. D ⊂ Q. Remarque. Une conséquence du corollaire 9 : Q est dense dans R : entre deux réels donnés, on peut toujours trouver un décimal, donc un rationnel. Proposition 13. √ 2 est irrationnel. Exercice. Montrer que l'ensemble des irrationnels n'est stable ni par somme, ni par produit. 3 R et l'axiome de la borne supérieure. Rappelons la dénition suivante. Dénition 14. Une partie A de R est dite majorée si et seulement si elle admet un majorant, c'est à dire ∃M ∈ R ∀x ∈ A x ≤ M. Une partie A de R est dite minorée si et seulement si elle admet un minorant, c'est à dire ∃m ∈ R ∀x ∈ A x ≥ m. Remarque. On rappelle qu'un majorant de A n'appartient pas forcément à A (contrairement à un maximum). Ainsi, 1 est un majorant de [0, 1], ainsi que 2 et π . Seul le premier est dans la partie. 4 Dénition 15. Soit A une partie de R. • On appelle borne supérieure de A et on note sup(A), le plus petit des majorants de A, lorsque ce nombre existe. • On appelle borne inférieure de A et on note inf(A), le plus grand des minorants de A, lorsque ce nombre existe. Le théorème ci-dessous, admis, est une propriété fondamentale de R : Théorème 16 (Axiome de la borne supérieure/inférieure). Toute partie de R non-vide et majorée admet une borne supérieure dans R. Toute partie de R non-vide et minorée admet une borne inférieure dans R. Proposition 17 (Caractérisation de la borne supérieure.). Soit A une partie de R non vide et majorée et α ∈ R. On a l'équivalence α = sup(A) ⇐⇒ Exemple. Soient calculer. α est un majorant de A ∀ε > 0, ∃x ∈ A : α − ε < x ≤ α A = [0, 1[ et B = {r ∈ R \ Q : r < 2}. Justier l'existence de sup(A) et sup(B) puis les Exercice. Soit A = {1/n − 1/p, n, p ∈ N∗ }. Calculer sup(A) et inf(A), après avoir justié qu'elles existent. On pourrait dénir la notion de borne supérieure dans l'ensemble des rationnels. L'exercice qui suit montre que le théorème 16 devient un énoncé faux si on remplace R par Q. Exercice. (*) Soit la partie majorant dans Q. A = r ∈ Q : r2 < 2 . Montrer que cette partie de Q n'a pas de plus petit Méthode (Majorer une borne supérieure). Soient M un réel et A une partie de R possédant une borne supérieure. Pour démontrer l'inégalité sup(A) ≤ M, il sura de montrer que M est un majorant de A. En eet, sup(A) étant le plus petit des majorants de A, on aura bien sup(A) ≤ M . Remarque : Pour montrer que deux bornes supérieures sont égales, on saura utiliser l'équivalence sup(A) = sup(B) ⇐⇒ sup(A) ≤ sup(B) et sup(B) ≤ sup(A). 5 Exercice. Soient A et B deux parties non vides et majorées de R telles que A ⊂ B . Montrer que sup(A) ≤ sup(B). La notion de borne supérieure permet de caractériser les intervalles parmi les parties de R : ce sont exactement les parties "convexes". La notion de partie convexe sera généralisée ailleurs que dans R (spé). On peut aussi lire la proposition 18 en disant que les intervalles de R sont exactement les parties sans trou. Proposition 18 (Caractérisation des intervalles). Une partie X de R est un intervalle si et seulement si, pour tous a et b dans X , on a [a, b] ⊂ X . Preuve. Soit X une partie de R. • Supposons que X est un intervalle. Il est donc de l'un des trois types suivant. · un segment [g, d] = {x ∈ R : g ≤ x et x ≤ d} où g, d ∈ R. · un intervalle ouvert ]g, d[= {x ∈ R : g < x et x < d} où g ∈ R ∪ {−∞}, d ∈ R ∪ {+∞}, · un intervalle semi-ouvert, par exemple du type ]g, d] = {x ∈ R : g < x et x ≤ d} où g ∈ R∪{−∞}, d ∈ R Dans les trois cas, on peut vérier que ces parties sont sans trou. Par exemple, dans le cas d'un segment [g, d], si a et b sont dans [g, d] avec a ≤ b, on a g ≤ a ≤ b ≤ d d'où [a, b] ⊂ [g, d]. Dans le cas où a > b, alors [a, b] = ∅ ⊂ [g, d]. • Supposons que X satisfait : ∀a, b ∈ X [a, b] ⊂ X. ? Cas où X est vide. Alors X est un intervalle : l'intervalle [0, −5] par exemple ! ? Cas où X est non vide, majorée et minorée. La partie X admet alors une borne supérieure, que l'on note d et une borne inférieure, que l'on note g . Ce sont respectivement un majorant, et un minorant de X , de sorte que X ⊂ [g, d]. Soit ε > 0. D'après la caractérisation de la borne supérieure (et inférieure), il existe α ∈ X tel que g ≤ α < g + ε. Il existe β ∈ X tel que d−ε < β ≤ d. Si on a supposé de surcroît que ε < d−g 2 , on a g ≤ α < g + ε < d−ε < β ≤ d. Or, d'après l'hypothèse, le segment [α, β] est tout entier inclus dans X . Puisqu'il contient [g + ε, d−ε], on parvient à [g + ε, d−ε] ⊂ X ⊂ [g, d]. Dans ce qui précède, le nombre ε, peut être pris arbitrairement petit, ce qui conduit à ]g, d[⊂ X ⊂ [g, d]. On a donc X =]g, d[ ou X = [g, d[ ou X =]g, d] ou X = [g, d]. On a bien montré que X est un intervalle. ? Cas où X est non vide, majorée et non minorée. En adaptant les idées ci-dessus, le lecteur montrera que qu'il existe d ∈ R tel que X =] − ∞, d[ ou X =] − ∞, d]. ? Cas où X est non vide, non majorée, et minorée. En adaptant les idées ci-dessus, le lecteur montrera que qu'il existe g ∈ R tel que X =]g, +∞[ ou X = [g, +∞[. ? Cas où X est non vide, non majorée et non minorée. On peut alors montrer que X =]−∞, +∞[= R. 6