Mémoire : une introduction aux catégories de Fukaya

UNIVERSIT´ E DU QU´ EBEC ` A MONTR´ EAL
UNE INTRODUCTION AUX CAT´ EGORIES DE FUKAYA
M´ EMOIRE
PR´ ESENT´ E
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DE LA MAˆ ITRISE EN MATH´ EMATIQUES
PAR
ALEX PROVOST
MARS 2015

ii
Remerciements
Je tiens `a offrir mes remerciements les plus sinc`eres aux personnes suivantes, qui
ont toutes contribu´e, directement ou indirectement, `a la r´edaction de ce m´emoire :
Marco Robado et Maxime Scott, qui ont ´et´e comme des grands fr`eres pour moi
et avec qui j’ai eu la chance de partager maintes id´ees ;
Alice Remal, qui m’´eblouit constamment, et dont le seul d´efaut est de s’inventer
des d´efauts ;
Maxime G´elinas, dont la gentillesse, la bonne humeur et le sens de l’humour ne
trouvent aucun ´egal ;
Jean-Fran¸cois Arbour, dont la sagesse et la patience immenses m’inspirent le plus
haut respect ;
J´erˆome Tremblay, qui m’a accueilli au poste informatique du LaCIM `a bras ouverts
mˆeme apr`es ma transition au CIRGET ;
Lionel Katshingu, qui partage mon amour profond pour la musique ;
Jessica Legault, qui, `a travers la joie et la douleur, m’a support´e jusqu’`a la fin ;
France Pichette et G´erard Provost, `a qui je dois mon existence et mon unicit´e ;
Martin Beaugrand, qui m’a fait r´ealiser que les math´ematiques sont une fin et non
pas un moyen ;
Christophe Hohlweg, qui m’a fait comprendre assez vite que le diable est dans les
d´etails ;
Fernand Beaudet, dont la p´edagogie l´egendaire est on ne peut plus inspirante ;
Franco Saliola, dont le rire est contagieux et qui r´eussit `a rendre int´eressantes
toutes les math´ematiques qu’il touche ;
Olivier Collin, mon directeur, qui, pendant les cinq derni`eres ann´ees, a fa¸conn´e
ma fa¸con de penser, et qui a toujours ´et´e l`a pour moi.

TABLE DES MATI` ERES
LISTEDESFIGURES............................. v
R´ ESUM´ E .................................... vii
INTRODUCTION ............................... 1
CHAPITRE I
ALG` EBREHOMOLOGIQUE......................... 3
1 Cat´egoriesab´eliennes........................... 3
2 Cˆones d’applications et triangles exacts . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3A∞-alg`ebres, A∞-modules et A∞-cat´egories . . . . . . . . . . . . . . 14
CHAPITRE II
TOPOLOGIE SYMPLECTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 Unpeud’histoire............................. 21
2 Notions ´el´ementaires de topologie symplectique . . . . . . . . . . . . 22
3 Lath´eorielin´eaire ............................ 29
CHAPITRE III
LA CAT´ EGORIEDEFUKAYA ....................... 35
1 Courbes J-holomorphes et espaces de modules . . . . . . . . . . . . . 35
2 Homologie de Morse (en bref) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Cohomologie de Floer lagrangienne (en tr`es bref) . . . . . . . . . . . 45
4 Lacat´egoriedeFukaya.......................... 52
5 G´en´erateurs et la cat´egorie de Fukaya d´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . 55
CONCLUSION................................. 59
R´ EF´ ERENCES................................. 61

LISTE DES FIGURES
Figure Page
1.1 Le foncteur de suspension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Le cˆone d’application en topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 L’associa`edre K2deStasheff..................... 15
1.4 Les termes apparaissant dans la relation quadratique d’A∞-
associativit´e d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Le th´eor`eme des voisinages tubulaires de Weinstein . . . . . . . . 28
3.1 Une bande pseudoholomorphe d’indice 1 « typique » . . . . . . . 39
3.2 Une partie d’une surface munie d’un flot de Morse-Smale (`a gauche)
et l’espace de modules correspondant (`a droite) . . . . . . . . . . 44