Dynamique en référentiel non galiléen :
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Dynamique en référentiel non galiléen :
Cinématique : Mouvement relatif à un référentiel donné.
Référentiel : Ensemble d'observateurs immobiles les uns par rapport aux autres.
Dynamique : Le PFD s'applique relativement à un référentiel galiléen.
A la recherche d'un référentiel galiléen. Et les autres ? (terrestre).
I) Changement de référentiel : 1) Le mouvement relatif de deux observateurs : On considère deux référentiels, un référentiel qu'on qualifiera d'absolu (choix arbitraire) qui est fixe par rapport à nous, et un autre référentiel, respectivement R∗ O , i , j , k et RO ' , i ' , j ' , k '
Étude du mouvement relatif de R par rapport à R * :
=> Mouvement de translation :
déplacement de O' dans R*.
d
OO '
)
dt R
v R/ R est une vitesse instantanée qui peut varier en norme et en direction.
v0 mouvement de translation rectiligne et uniforme.
Cas simple : , vR O=cste=
Mouvement de translation circulaire uniforme.
=> Mouvement de rotation des vecteurs i ' , j ' , k ' dans R * :
Les vecteurs restent des vecteurs unitaires et la base reste orthonormée directe.
d i '
d j '
d
k'
=> Détermination de
,
,
dt R dt R dt R
Raisonnement dans un cas simple : axe de rotation
k' .
'=i ' tdt−i ' t
di
'=j ' tdt −j ' t
dj
'=d j '
di
d
̇=
vitesse angulaire instantanée de rotation.
dt
Vecteur rotation
:
Il est caractérisé par v R/ R = vR O ' =
∗
∗
∗
∗
∣
∗
∣
∗
∣
∗
R/ R∗
R/ R => axe instantané de rotation.
– Direction de
– Norme de=
> vitesse angulaire instantanée de rotation.
∗
R/ R∗
'=d
R / R = ̇
k ' di
k ' ∧i '=d j '
'=̇ dt k '∧i ' =
di
∧i ' dt
∗
R/R
di '
dt
∣
'=d k '∧j '=d −i '
dj
∗
∣
∣
'
'
dj
dk
=
R / R ∧ i ' ,
=
R/ R ∧ j ' ,
=
R / R ∧ k '
dt R
dt R
R
Avec
R/ R vecteur instantané de rotation du trièdre i ' , j ' , k ' dans R*.
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
R / R peut varier en norme et en direction au cours du temps.
Remarque :
∗
2) Description du mouvement dans deux référentiels : a) Dérivation d'un vecteur dans deux référentiels :
Voir fiche.
R est caractérisé par son mouvement dans R*.
vR O ' ,
R/R .
db
d
Dans R*,
= b x i 'b y j 'b z
k'
dt R dt
R
db i '
db j'
db k'
= x
y
z
dt R
dt R
dt R
d i
d j
d k
=b˙x i 'b x
ḃ y j ' b y
b˙z
k ' b z
dt R
dt R
dt
d
b
d b
=
b
b y R / R
b y R / R
dt R
dt R x R / R
∗
∗
∣
∣
∣
∗
∣
∗
∣
∣
∗
∣
∗
∣
∗
∣
∗
∗
∗
∗
∗
Formule fondamentale : d b
dt
∣
∣
R
∗
∗
d b
=
R/ R ∧ b
dt
R
∗
∗
∣
R
Remarque : La dérivée d'un vecteur dépend du référentiel d'étude.
b) Mouvement d'un point M dans deux référentiels :
Position :
Dans R*
OM
Dans R
O' M
D'où OM=
OO '
O ' M avec
OO ' connu.
Vitesse :
d
OM
Dans R* vR M =
dt R
d
O' M
Dans R vR M =
dt R
Accélération :
d²
OM
Dans R* aR M =
dt² R
d²
O' M
Dans R aR M =
dt² R
∣
∣
∗
∗
∣
∣
∗
∗
3) Loi de composition des vitesses : ∣
d
OM
d
=
OO '
O ' M
dt R dt
R
d
O' M
= vR O'
R / R ∧
O ' M = vR vR M
R / R ∧
O' M
dt R
vR M =
∗
∣
∗
∣
∗
∗
∗
∗
vR M = vR O' vR M
R/ R ∧
O' M
∗
∗
∗
∗
vR M Vitesse de M dans R* ou vitesse absolue.
vR M Vitesse de M dans R ou vitesse relative.
vR O '
R/ R ∧
O ' M Vitesse d'entrainement.
∗
∗
∗
La vitesse d'entrainement est la vitesse du point coïncidant P. Le point P est un point fixe de R coïncidant avec le point mobile M à l'instant t.
R / R = uz
Exemple :
vR M = vR O' uz ∧
O' M vR M =vR M uz ∧r ur =vR M r u
∗
∗
∗
4) Loi de composition des accélérations : ∣
∣
d
b
d b
=
R / R ∧b
dt R
dt R
d
[ v M =vR M vR O '
R/ R ∧
O' M]
dt R
R
∗
∗
∗
∗
∣
∗
∗
∣
d vR
d vR O '
d
R / R
vR M
d
O' M
M =aR M = d
∧
O' M R / R ∧
dt
dt R
dt
dt R
dt R
R
R
aR M = aR M aR O '̇
R/ R ∧
O' M 2
R / R ∧ vR M
R / R ∧
R / R ∧
O'M
∣
∗
∣
∗
∗
∗
∗
∣
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∣
∗
∗
∗
∗
∗
aR M Accélération absolue.
aR M Accélération relative.
ae M =aR O'̇
R / R ∧
O ' M
R / R ∧
R / R ∧
O' M = accélération du point coïncidant à M à l'instant fixe dans R.
aC M =2
R / R ∧vR M
Accélération de Coriolis. Non nulle pour un point mobile dans R.
aR M =aR M = ae M ac M
Remarque : On traitera souvent ̇
=
0
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
R/R
∗
Exercice : Train. Mouvement de translation :
R / R =
0
ae M =aR O'
Si le mouvement est rectiligne et uniforme, aR O'=0
aC =
0
aR M =aR M aR O'
Manège
R / R = uz=cste
vR O '=0 aR O'=0
ur .
R / R ∧
R / R ∧
O ' M = uz ∧r u=−r 2 ur accélération radiale selon −
2
ae M =−r ur .
aC =2
R / R ∧ vR M
aC =2 uz ∧vR M
aC ⊥ vR M
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
II) Dynamique galiléenne et non galiléenne : Cinématique, pas de différence entre les référentiels, on peut passer de R à R* en utilisant les lois de composition dynamique. Le PFD privilégie les référentiels galiléens.
1) Relativité galiléenne : Un référentiel est supposé galiléen si un système isolé ou pseudo isolé se déplace de manière rectiligne et uniforme dans ce système.
Deux référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre.
On pourra considérer un référentiel galiléen si les lois de Newton s'appliquent dans ce référentiel. Principe de la relativité galiléenne :
Les lois de la dynamique sont les même dans tous les référentiels galiléens
2) Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen : R* supposé galiléen, R supposé non galiléen. vR O ' non constante et/ou
R / R ≠
0 .
Bilan des forces (interaction de M avec l'extérieur).
∑ F =m aR M
aR M =aR M ae M aC M
∑ F =m aR M ae M aC M
∗
∗
∗
∗
PFD dans un référentiel non galiléen :
m aR M = ∑
F −m ae M −m aC M
fie =−m ae M force d'inertie d'entraînement.
fic =−m aC M force d'inertie de Cariolis.
fie fic
m aR M = ∑ F
Remarque : Pour appliquer le PFD en référentiel non galiléen R, il faut connaître le mouvement de R par rapport à un référentiel galiléen (mouvement de translation et rotation) => il faut trouver un référentiel galiléen.
3) Forces d'inertie : fie=−m ae =−m aR O '̇
R / R ∧
O ' M
R / R ∧
R / R ∧
O ' M
Cas du train,
R / R =
0
f =−m a O '
∗
∗
∗
∗
∗
ie
R
∗
fic=0
fie indépendante de la position du point M et de son mouvement.
Ainsi les passagers ressentent tous la même force.
Cas du manège : aR O' =0 ,
R / R = uz
2
ae=−r ur fie=m r ur force centrifuge.
∗
∗
La force d'inertie d'entrainement dépend de la position du point M.
Expression de fie : (cas où aR O' =0 )
Repérage cylindrique.
O' M =r urz uz
vR M =ṙ ur r ̇ u ż uz
R / R ∧
R / R ∧
O ' M = uz ∧ uz ∧r ur z uz =− 2 r ur , distance du point M à l'axe de rotation.
R / R
R / R ∧
O ' M
r ur =
HM , fie=−m
∗
∗
∗
∗
∗
fie =m 2
HM H projeté orthogonal de M sur l'axe de rotation.
Cas du manège : force de Coriolis.
fic=−2m uz ∧vR M ⊥v
En effet, si on lance une balle à une personne à l'autre bout du manège, la trajectoire de la balle va être courbée par la force de Coriolis.
4) Théorème du moment cinétique en référentiel non galiléen : OM ∧m vR M .
En référentiel galiléen, LO=
d LO
=∑
OM ∧ F i
dt R
i
En référentiel non galiléen.
LO ' =
O ' M ∧m vR M
∗
∣
∗
∣
d LO '
i
=∑
O ' M∧ F
O ' M ∧ fie
O' M ∧ fic
dt R
O' M ∧
R / R ∧
R /R ∧
O ' M =
O ' M ∧− 2
HM =0
Remarque :
∗
∗
5) Théorème de l'énergie cinétique : 1
2
EC = m v R M
2
EC =∑ W F i , dans un référentiel non galiléen.
R
∗
∗
R
∗
i
1
2
EC = M v R M
2
i W fie W fic
EC = ∑ W F
R
R
fic ⊥ trajectoire => elle ne travaille pas.
W fic =0
Travail de fie dans le cas où fie=m 2
HM .
Coordonnées cylindriques.
dl=dr
urr d udz uz
fie=m 2 r ur
2
fie . dl=m
r dr
Le travail de fie est indépendant de la trajectoire => fie est conservative.
2 r dr
EP associée, −dE P = fie . dl=m
r2
E P =−m 2 C
2
ie
ie
6) Exercices : Pendule pesant sur un plateau tournant. (voir fiche).
Plateau tournant à une vitesse angulaire constante autour de O' z .
M à l'équilibre dans R.
R / R = uz
On se place dans R non galiléen (voir fiche).
0 , aR M =
0 .
O ' ' M =l ur . M à l'équilibre vR M =
Cinématique
Bilan des forces : (Toutes)
T =−T ur
P=mg cos ur−mgsin u
Forces d'inertie :
Coriolis => vR M =
0 fic =
0
̇
fie=−m aR O ' ' R / R ∧
O ' ' M
R / R ∧
R / R ∧
O' ' M
2
f ie=m
HM
∗
∗
∗
∗
∗
=m 2 l sin [sin ver ur cos u ]
PFD en référentiel non galiléen, M à l'équilibre.
0=
PT fie
{
−T mgcos m 2 l sin2 =0
−mg sin m 2 lsin cos =0
−mgm 2 l cos =0
III)
cos eq =
g
l 2
Mécanique terrestre : poids, marées : 1) Les référentiels usuels : Référentiel de Kepler : Origine : centre de masse du système solaire. Trois axes dirigés selon trois étoiles lointaines « fixes » => Référentiel supposé galiléen.
Référentiel de Copernic : Origine au centre du soleil et trois axes = les mêmes que les référentiel de Kepler.
Le centre de masse du système solaire qui est en légère rotation et légèrement décalé par rapport à celui du soleil. On considère que les deux sont confondus.
On suppose ses deux référentiels galiléens.
Référentiel géocentrique : Origine au centre de masse de la Terre. 3 axes : ceux du référentiel héliocentrique. Translation circulaire et uniforme ou elliptique, pas de rotation des axes.
= 0
DT −S=1,5 . 1011 m , T ≃365,25 jours
v R O '=
C
2 DT− S
−1
=30 km. s
T
2
OO '=D ur , vO ' =D u , aO ' =−D 2 ur =− v ur
D
2
v
a R O '=
a R O '=6.10−3 m . s−2 , effet faible.
DT −S
C
C
Référentiel terrestre : Origine : centre de la terre.
Axes liés à la terre. Même origine que le référentiel géocentrique, donc pas de translation de O' par rapport au référentiel géocentrique.
Axes de RT en rotation / RG ou RC = rotation propre de la terre.
2
R / R=
T rotation propre ≃24h , =7 .10−5 rad.s−1
T
On peut prendre une origine au niveau de la surface de la terre.
T
2) Référentiel géocentrique non galiléen : conséquence les marées
RC référentiel de Copernic supposé Galiléen.
On s'intéresse au référentiel RG non galiléen en translation circulaire uniforme par rapport à RC, pas de rotation des axes.
Système M(m) à la surface de la Terre.
Bilan des forces :
forces gravitationnelles
GT M
– attraction de la terre m
– attraction des autres astres, en particulier le soleil et la lune.
– Forces d'inertie, fie=−m ae , fic=−m ac =0 , ae= aR O ' , fie=−m aR O' .
Dans RG non galiléen, m aR M =m GT M m GA M −m aR O ' .
C
G
C
C
Détermination de aR O ' :
Système à considérer : la terre MT. Référentiel de Copernic supposé galiléen.
C
Bilan des forces :
Attraction des autres astres (Soleil, Lune + autres planètes).
M T G A O '
PFD : M T aR O '=M T GA O' .
C
D'où m aR M =m GT M m GA M − GA O' , le second terme est appelé terme des marées.
G
G astre =
GM a
r2
r = distance du centre de l'astre.
Effet prépondérant du soleil et de la lune.
11
−3
−2
– Soleil, D T −S=1,5 . 10 m , GS =6.10 m. s
8
– Lune, D T −L =3,8 . 10 m , GL =3,4 . 10−5 M . s−2
Expression approchée du terme des marées :
−GM A
GM
GM A
2RT
GA M −GA O' =
2 A≃
[1−1
] (développement limité à 2
2
DT− A
D T− A −RT DT − A DT− A
l'ordre 1).
GM −2 RT
GA M −GA O≃ 2 A
ur
DT −A DT −A
Pour le soleil : Terme des marées =5 .10−7 m. s−2 , pour la lune =10−6 m.s−2 .
Effet de la lune prépondérant.
Représentation graphique du terme des marées :
Cycle des marées, deux cycles en 24h (décalage de 50' lié à la rotation de la lune par rapport à la terre).
Rotation de la terre, deux cycles de marées en 24h, ­ 50' à cause du décalage de la position de la lune. Marées de vives eaux / mortes eaux.
On tient de l'effet de la lune et du soleil.
Marées de vives eaux : pleine Lune / Pas de Lune.
Effets contradictoires de la lune et du soleil => marées de mortes eaux.
Lune => 1er ou dernier quart.
Équinoxe, le plan équatorial de la terre contient le centre du soleil => l'effet du soleil augmente, fortes marées aux équinoxes.
Effets de côtes => résonance : amplitude des marées très importantes.
Effets non linéaires.
Marées de roches :
Effet dislocateur des marées, explication de la présence d'anneaux de particules autour de certaines planètes.
L'effet de marée est une manifestation du caractère non galiléen du référentiel géocentrique, ou si on s'intéresse à une échelle de temps très petite très petite devant le cycle d'une marée, on peut alors supposer le référentiel géocentrique comme galiléen.
3) Référentiel terrestre : Origine : Centre de la terre. Axe solidaires à la terre.
Mouvement de RT par rapport au référentiel géocentrique :
R / R : rotation propre de la terre.
Mouvement de rotation des axes
T
G
a) Jour solaire, jour sidéral :
Jour sidéral : temps mis par la terre pour faire un tour sur elle même. = période de rotation propre de la terre.
Jour solaire : temps pour que le soleil se retrouve au dessus d'un point donné à la surface de la terre.
1 jour solaire : 24h = 86400s
1 jour sidéral 86164s
T rotation propre=86164s
2
∥
R / R∥=
= 0=7,29 .10−5 rad . s−1
T rotation propre
0 , aC ≠0 .
Rotation de RT /R G => ae≠
b) Champ de pesanteur terrestre :
T
On s'intéresse à un point M à la surface de la terre à la latitude .
R / R =−0 cos ux 0 sin uz
Expression de fie
2
fie=−m ae =m
HM
HM =R T cos .
fie=m 2 R T cos sin ux cos uz
T
G
BDF sur le système de masse m.
G MT
– attraction terrestre − 2 m uz
RT
f ie
–
GM
F totale =m [− 2 T 2 RT cos 2 ] uz 2 RT cos sin ux
RT
[
]
Ftotal =mg , le champ de pesanteur terrestre tient compte de la force d'inertie GM T
2
2
2
d'entrainement. g =− 2 RT cos uz RT cos sin ux
RT
Aux pôles, on ne sent pas fie . g pôle= 9,8322 m. s−2
A l'équateur, g est minimal. géquateur =9,7804 m. s−2
En Europe, g=9.80665m.s−2
On conséquence, la verticale donnée par un fil à plomb ne passe pas par le centre de la terre.
c) Déviation vers l'est :
Action de la force de Coriolis. Système = point matériel M de masse m soumis au champ de pesanteur (attention, il tient compte de fie ) et à la force de Coriolis = cas d'une chute libre.
CI : M(0) = O'', v 0=
0
Chute libre sans la force de Coriolis.
a =g
v =g t , mouvement rectiligne uniformément accéléré avec la force de Coriolis.
fic=−m aC =−2m aC =−2m R / R ∧vR M
∥∥=7,3. 10−5 rad . s−1
∥f ic∥ 2×7,3 .10−5
≃
∥v∥≪1 pour ∥v∥≪105 m. s−1 .
∥m
g∥
9,8
La force de Coriolis intervient comme une perturbation faible.
d'où v ≃g t=−g t uz
fic=−2 m−cos ux sin uz ∧−g t uz
T
G
T
=2m g t cos u y , expression approchée de la force de Coriolis.
PFD :
m aR =m
g fic avec
O ' ' M =x uz y uy z uz
vR M = ẋ ux ẏ uy ż uz
aR M = ẍ ux ÿ uy z̈ uz
T
{
ẍ=0
m ÿ =02m g t cos <=>
m z̈=−mg
{
ẋ=cste=0
2
t
ẏ=2 g cos 0 <=>
2
ż=−g t
{
x=0
y=2 g cos
−1 2
z=
gt
2
On a une chute libre avec un décalage uniquement lié à la force de Coriolis.
AN : h = 50m, =45o , g=9,8 m. s−2 , T = 3,19s, déviation de 5,5 mm.
fic=−2m
∧
v
t3
6
