Ensembles infinis non dénombrables. L`axiome du choix.

UNIVERSITÉ DENIS-DIDEROT LICENCE L3
UFR DE MATHÉMATIQUES THÉORIE DES ENSEMBLES – 2015
THÉORIE DE LA CARDINALITÉ - 2
ENSEMBLES INFINIS NON DÉNOMBRABLES (version 2.1)
Cette note très succincte vise à résumer les principales définitions et propositions. Plusieurs démonstra-
tions sont omises ou à peine esquissées. Elle ne remplace pas le cours.
On rappelle que, pour tout ensemble A, il existe une bijection naturelle entre P(A)et {0,1}A, l’ensemble
des fonctions A→ {0,1}. Ce dernier ensemble est naturellement noté 2A.
Le théorème de Cantor.
Théorème. Pour tout ensemble A, A ≺P(A); c’est à dire A -P(A)et A P(A).
Démonstration. On a une injection naturelle A→P(A)donnée par x7→ {x}, donc A-P(A).
Soit f:A→P(A)une fonction quelconque, montrons que fn’est pas surjective. Soit la partie de A
E={x∈A|x/∈f(x)}.
Vérifions E/∈Im(f). Sinon, soit a∈Atel que E=f(a). On a a∈E⇔a/∈f(a)⇔a/∈E, ce qui est
contradictoire. 
Ainsi P( ) est un ensemble infini de taille strictement supérieure à celle de .
L’argument utilisé dans la démonstration est appelé l’argument diagonal. Il est à rapprocher de la dé-
monstration de Russell que la « collection » {x|x/∈x}ne forme pas un ensemble.
Théorème. P( ) ∼.
Démonstration. -P( ) : Pour deux réels distincts r1,r2, les ensembles de rationnels {x∈ | x<r1}
et {x∈ | x<r2}sont différents. On a donc une injection
→P( )
r7→ {x∈ | x<r}
Donc -P( ). Comme est dénombrable, ∼entraîne P( ) ∼P( ), donc -P( ).
P( ) -: Nous utilisons ici les propriétés supposées connues du développement en une base b>2,
des réels. Pour l’argument suivant, nous utilisons la base « familière », b=10.
Soit une suite infinie s∈2.Posons
j(s) = le réel 0,s0s1···
=
∞
∑
i=0
si
10i+1
La fonction jest une injection de 2 dans (de fait, de 2 dans l’intervalle réel [0,1[). Donc 2 -.
Il s’ensuit P( ) -.
En utilisant le théorème de Cantor-Bernstein, P( ) ∼.
Ce théorème important se démontre de diverses façons, certaines sans utiliser le théorème de Cantor-
Bernstein (cf. les exercices).
Définition. On dit qu’un ensemble a la puissance du continu s’il est équipotent à .
On vient de montrer que P( ) a la puissance de continu.
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Théorème. Les ensembles suivants ont la puissance du continu.
(1) Tout intervalle non trivial de réels (les intervalles triviaux : ∅, et les singletons [a,a] = {a}).
(2) L’espace n, où n >1.
(3) Tout ensemble ouvert non vide dans ou dans noù n >1.
Démonstration. (En cours. Voir aussi les exercices.) 
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COMPARAISON DES CARDINAUX INFINIS
L’AXIOME DU CHOIX.
La comparaison des ensembles infinis, autres que les ensembles dénombrables et les ensembles de l’ana-
lyse classique (cf. plus haut), requiert le plus souvent l’axiome du choix, que nous rappelons.
–L’axiome du choix [AC].
Pour tous ensembles A,B, et toute relation R⊆A×B, si (∀x∈A)(∃y∈B)(x R y), il existe une
fonction γ:A→Btelle que (∀x∈A)(x R γ(x)).
La fonction γest dite une fonction de choix pour la relation R. Autres formulations de l’axiome :
[AC1] Pour toute famille d’ensembles non vides (Ai)i∈Iil existe une fonction fde domaine Itelle que
pour tout i∈I,f(i)∈Ai.
(La fonction fest dite une fonction de choix pour la famille donnée.)
[AC2] Pour tout ensemble Eil existe une fonction F:(P(E)−{∅})→Etelle que pour tout partie non
vide X⊆E,F(X)∈X.
(La fonction Fest dite une fonction de choix pour les parties de E.)
[AC3] Pour toute partition d’un ensemble E,E=Si∈IAi(les Aisont des ensembles non vides deux-à-
deux disjoints), il existe un ensemble C⊆Etel que
pour tout i∈I,C∩Aiest un singleton.
Proposition. Les énoncés [AC],[AC1],[AC2] et [AC3] sont équivalents.
Démonstration. (En cours.) 
Théorème. [AC] Pour tout ensemble infini E, -E.
Démonstration. Soit Fune fonction de choix pour E. Comme Eest infini, pour toute partie finie X⊆E,
E−X6=∅. Définissons G:→Pfin(E), par récurrence
G0=∅
Gn+1=Gn∪ {F(E−Gn)}.
On obtient la suite croissante G0⊆G1⊆ ··· où pour tout n∈,Gn+1−Gnest un singleton. Posons
h(n) = l’unique élément de Gn+1−Gn
=F(E−Gn).
La fonction h:→Eest injective. Donc -E.
Corollaire. [AC] Pour un ensemble E, les conditions suivantes sont équivalentes :
(1) E est infini.
(2) -E.
(3) E possède une partie dénombrable.

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Théorème. [AC] Soit E un ensemble infini.
(1) Si F est au plus dénombrable, E ∼(E∪F).
(2) Si on retranche de E un ensemble au plus dénombrable F ⊆E, et l’ensemble E −F est infini, alors
(E−F)∼E.
Démonstration.
(1) On peut supposer Fdisjoint de E. Soit D⊆Eune partie dénombrable de E.
D∪Fest dénombrable, donc D∼D∪F; soit f:D→D∪Fune bijection.
On étend fà une bijection f:E→E∪Fen posant : f(x) = xsi x∈E−Det f(x) = f(x)si x∈E.
(2) Comme E−Fest infini et Fest au plus dénombrable, par le (1), (E−F)∼(E−F)∪F, c-à-d
(E−F)∼E.
Théorème. [AC] Un ensemble E est infini si et seulement si il existe une injection f :E→Enon
surjective.
Démonstration.
[⇒]Supposons Einfini. Soit D⊆Eune partie dénombrable de Eet soit d:→Dune bijection. On
peut ainsi écrire D={di|i∈}, où l’énumération de Dest bijective.
Définissons f:E→Epar : f(x) = xsi x/∈Det f(di) = di+1.fest injective, non surjective.
[⇐]Vu en partiel : Si f:E→Eest injective non surjective, soit a∈E−f[E]. On montre que la suite
donnée par a0=a,an+1=f(an)est formée de termes distincts, c-à-d n7→ anest une injection de
dans E, et donc -E.
Le théorème suivant ne sera pas démontré en cours ; son énoncé est équivalent à l’axiome du choix. (On
esquissera, plus bas une démonstration utilisant le lemme de Zorn, équivalent à l’axiome du choix.)
Théorème de comparabilité cardinale. [AC] Pour tous ensembles A,B, A -B ou B -A.
Théorème. [AC] Pour tous ensembles A,B où A 6=∅. A -Bsi et seulement si il existe une surjection
B→A.
Démonstration. (En cours. Noter que l’implication [⇒]est triviale et ne requiert pas AC.) 
Théorème. [AC] Soit (Ak)k∈une suite d’ensembles non vides au plus dénombrables. La réunion
Sk∈Akest au plus dénombrable.
Démonstration. Posons Fi={f|fest une surjection f:→Ai}. Comme les Aisont non vides, les
Fisont aussi non vides.
Par l’axiome du choix, soit Fune fonction de choix pour la famille (Fi)i∈: pour tout i∈,F(i):
→Aiest une surjection.
Soit la fonction h:× → Si∈Aidonnée par h(i,n) = F(i)(n). Notons U=Si∈Ai.hest une
surjection × → Udonc, par le théorème précédent, U-×. Or × ∼ , donc U-, ce
qui entraîne : Uest au plus dénombrable. 
Corollaire. [AC] Si Eest un ensemble au plus dénombrable, dont les éléments sont des ensembles au
plus dénombrables, alors SEest au plus dénombrable.
Démonstration. En passant à E−{∅}, si nécessaire, on peut supposer ∅/∈E. Si Eest vide, SE=∅,
donc SEest fini.
Sinon, soit A:→Eune surjection. La famille (Ak)k∈satisfait l’hypothèse du théorème, et SE=
Sk∈Ak.
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LE LEMME DE ZORN.
Définition. Soit A= (A,6A)un ensemble partiellement ordonné.
(a) Une chaîne de Aest une partie C⊆Aqui est totalement ordonnée par la relation 6A.
(b) Aest dit inductif si toute chaîne de Aest majorée.
Soit Zl’énoncé suivant :
|| Tout ensemble partiellement ordonné inductif possède un élément maximal.
Cet énoncé est connu sous le nom de lemme de Zorn.
Théorème. Les énoncés Zet AC sont équivalents.
Démonstration. L’implication AC ⇒Zest admise. Sa démonstration sera donnée dans un document
séparé.
Z⇒AC. Supposons l’énoncé Z.
Soient des ensembles A,B, et une relation R⊆A×Btelle que (∀x∈A)(∃y∈B)(x R y). Il faut montrer
l’existence d’une fonction γ:A→Btelle que (∀x∈A)(x R γ(x)). C’est à dire, une fonction de choix
pour R.
Posons F={s|sest une fonction & s⊆R}.
On peut munir Fde l’ordre partiel d’inclusion. On notera F= (F,⊆). Notons que, pour cet ordre partiel,
un élément maximal est une fonction de choix pour R.
Vérifions que l’ensemble partiellement ordonné Fest inductif. Soit C⊆Fune chaîne. Les éléments de
Csont des fonctions deux à deux compatibles. Donc f=SCest une fonction. Il est évident que f⊆R,
donc f∈Fet, comme s∈C⇒s⊆f,fest un majorant de la chaîne C.
Par le lemme de Zorn, Fpossède un élément maximal, qui est donc une fonction de choix pour R.
Deux applications du lemme de Zorn.
Théorème. [AC] Tout espace vectoriel sur un corps commutatif possède une base.
Démonstration. (En cours.) 
Théorème de comparabilité cardinale. [AC] Pour tous ensembles A,B, A -B ou B -A.
Démonstration. Soient les ensembles A,B. Posons
F={s|sest une fonction injective & Dom(s)⊆A& Im(s)⊆B}.
On peut munir Fde l’ordre partiel d’inclusion. On notera F= (F,⊆).
Notons que, pour cet ordre partiel, un élément maximal est une fonction injective stelle que Dom(s) = A
et Im(s)⊆B, ou telle que Dom(s)⊆Aet Im(s) = B. Dans le premier cas, sest une injection s:A→B
et, dans le second, s−1est une injection s−1:B→A.
Ainsi, l’existence d’un élément maximal dans Fentraîne A-Bou B-A.
Vérifions que l’ensemble partiellement ordonné Fest inductif. Soit C⊆Fune chaîne. Les éléments de
Csont des fonctions deux à deux compatibles. Donc f=SCest une fonction. Il est facile de vérifier que
fest injective et Dom(f)⊆Aet Im(s)⊆B. Donc f∈Fet, comme s∈C⇒s⊆f,fest un majorant de
la chaîne C.
Par le lemme de Zorn, Fpossède un élément maximal, donc A-Bou B-A.
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