Colle de mathématiques
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Colle de mathématiques - PT semaine 12 : du 10 au 15 décembre 2012 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. Même programme que précédemment. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants Définition d’une solution sur un intervalle I de l’équation ′ différentielle X = AX + B (t) où A est une matrice réelle ou complexe de taille n et B une application continue d’un intervalle I de R dans Rn ou Cn . Existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy. Système homogène associé, structure de l’ensemble des solutions. ′ Pratique de la résolution de l’équation X = AX par réduction de A à une forme diagonale ou triangulaire supérieure. Dérivation des fonctions d’une variable réelle Espace vectoriel des applications de classe C k (k entier naturel ou k = ∞) d’un intervalle I de R à valeurs dans Rm . Dérivée à l’ordre p ≥ 1 d’une somme de deux fonctions vectorielles, du produit d’une fonction à valeurs réelles et d’une fonction à valeurs vectorielles, de t → U (t) · V (t) dans Rm euclidien, de t → U (t) ∧ V (t) dans R3 euclidien orienté. Tangente à une courbe du plan ou de l’espace. Plan normal en un point régulier d’une courbe de l’espace. Développement limité à l’ordre p pour une fonction de classe C p . Application à l’étude d’un point stationnaire pour une courbe paramétrée plane. −−−−−−−−→ −−→ Lorsque M (t0 ) M (t) reste colinéaire à d (t) et que −−→ − → d (t) admet une limite non nulle T lorsque t tend vers − → t0 , la tangente en M (t0 ) est dirigée par T . Les courbes données par une équation polaire ne figurent pas à ce programme de colle. 1
