Examen d`accès - 28 Septembre 2012

Examen d’accès - 28 Septembre 2012
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Cet examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs
réponses sont proposées pour chaque question (ou ensemble de question). Il peut y avoir
plusieurs bonnes réponses.
Les réponses sont à inscrire sur la feuille jointe, en cochant pour chaque question la
(ou les) case(s) correspondant à la (ou les) bonnes réponse(s).
Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse.
Toute case cochée à tort entraîne une pénalité de 0,5 point. Toute case cochée à
raison entraîne une bonification de 1 point (même si d’autres cases dans la même question
auraient dû être cochées et ne l’ont pas été). Une case non cochée ne donne ni bonification
ni malus.
Pour certaines questions, il est possible qu’aucune des réponses proposées ne soit
correcte, une réponse à ces questions entraîne alors uniquement un malus de 0,5 point.
Vous disposez après les questions d’une table des valeurs de la fonction de répartition
de la loi normale centrée et réduite.
Q 1) Soit A et B deux évenements indépendants alors on a (cocher la ou les bonnes
réponses) :
A) P (A \ B) = 0
B) P (A \ B) = P (A)P (B)
C) P (A|B) = 0
D) P (A|B) = 1
E) P (A) + P (B) = 1
Q 2) On considère deux événements A et B, et on note B̄ le complémentaire de B. On a
P (A \ B̄) = ...
1
A) P (A)
P (A \ B)
B) P (B)
P (A \ B)
C) P (B̄)
P (A \ B)
D) P (A)
P (A \ B̄)
E) P (A)
P (B)
Q 3) On estime que 10% des athlètes syldaves se dopent. Aux jeux olympiques, 2% des
athlètes ayant remporté une médaille sont syldaves. Si on suppose que seuls les
syldaves ont accès au dopage, la probabilité qu’un athlète médaillé pris au hasard
se soit dopé est
A) 0, 12
B) 0, 05
C) 0, 002
D) 0, 20
E) 0, 01
Q 4) (suite question précédente) En réalité, les athlètes de la fédération de Bordurie ont
eux aussi accès au dopage. Ils représentent 5% des médaillés, et 20% des athlètes
bordures se dopent. Les autres pays, quant à eux, ne pratiquent pas le dopage.
Sachant qu’un athlète médaillé pris au hasard est contrôlé positif, quelle est la
probabilité qu’il soit bordure ?
A) ⇡ 0, 83
B) 0, 05
C) 0, 2
D) 0, 5
E) 0, 75
Q 5) On considère deux urnes A et B. Initialement, l’urne A est vide et l’urne B contient
100 boules. A chaque tirage, on choisit au hasard une boule (de façon équiprobable dans l’ensemble des boules) et on la change d’urne. Au bout de 3 tirages, la
probabilité que A contienne une boule exactement est
A) 1/100
2
B) 99/5000
C) 99/500000
D) 149/500000
E) 149/5000
Q 6) (suite de la question précédente) Au bout de 20 tirages, la probabilité que A contienne 13 boules exactement est
A) ⇡ 0, 00026
B) ⇡ 0, 00026 ⇤ 10
20
C) ⇡ 0, 00026 ⇤ 10
13
D) ⇡ 0, 00013 ⇤ 10
20
E) 0
Q 7) Une urne contient 5 boules : 2 vertes, 2 rouges et une blanche. On tire au hasard et
simultanément 2 boules de l’urne. Tous les tirages sont équiprobables, on considère
l’événement A : " obtenir deux boules de même couleur " Calculer p(A).
A) 2/5
B) 3/5
C) 4/5
D) 1/5
E) 7/10
Q 8) On considère qu’à la naissance, un individu a une probabilité 0.8 de vivre au-delà de
60 ans, et 0.7 de vivre au-delà de 70 ans. Sachant que cet individu fête aujourd’hui
son 60ème anniversaire, quelle est la probabilité qu’il vive au-delà de 70 ans ?
A) 0,7
B) 0,56
C) 0,875
D) 0,056
E) 0,62
3
Q 9) Persée se trouve devant l’entrée de 3 cavernes. Deux d’entre elles mènent à une mort
certaine, l’autre à un trésor. Rien ne différencie a priori les 3 cavernes. Persée choisit
une caverne au hasard. Avant qu’il n’entre, Athéna lui désigne une des deux cavernes
qu’il n’a pas choisies et l’informe que celle-ci conduit à la mort. Persée dispose donc
de deux possibilités : soit il entre dans la caverne qu’il avait initialement choisie,
soit il change d’avis et se dirige vers la caverne qu’il n’avait pas choisie initialement
et qu’Athéna n’a pas désignée. Que doit-il faire ?
A) Peu importe, il a une chance sur 2 de toute manière.
B) Changer de caverne, il y a 3 chances sur 4 de trouver le trésor dans cette
caverne.
C) Changer de caverne, il aura ainsi 2 chances sur 3 de trouver le trésor.
D) Ne pas changer de caverne, il y a 1 chance sur 3 qu’il se soit initialement
trompé.
E) Ne pas changer de caverne, il y a 2 chances sur 3 que le trésor se trouve dans
la caverne qu’il a initialement choisie.
Q 10) Un particulier souhaite se constituer un apport personnel de 40000 euros en vue
d’acquérir un appartement. Il souhaite constituer cet apport exclusivement à l’aide
d’un compte épargne au taux annuel de 5,25%. Il souhaite verser chaque année la
même somme, et atteindre les 40000 euros dans 8 ans. Il doit donc verser chaque
année la somme de
A) 3411, 33 euros
B) 3944, 48 euros
C) 3590, 42 euros
D) 4151, 57 euros
E) 4750, 59 euros
Q 11) On considère un emprunt de 7500 euros, remboursable en trois annuités constantes
au taux 10%. Le montant de l’annuité, arrondi au centime, est
A) 2750, 00 euros
B) 2492, 44 euros
C) 3250 euros
4
D) 2265, 86 euros
E) 3015, 86 euros
Q 12) n annuités de 3200 euros chacune, capitalisées au taux annuel de 2, 5% ont une
valeur acquise de 31854, 46 euros (on se place juste après le versement de la dernière
annuité). Que vaut n ?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 12
E) 11
Q 13) On considère un prêt de 50000 euros remboursable en cinq annuités constantes de
12991, 66 euros. Le taux du prêt est
A) 9, 41%
B) 9, 50%
C) 9, 59%
D) 9, 68%
E) 9, 52%
Q 14) Au 1er janvier 2010, on a versé 500 euros sur un compte épargne rémunéré à 4%.
Deux autres versements ont été effectués sur le même compte au 1er janvier 2011 et
au 1er janvier 2012. Au cours de ces trois années, la somme versée a progressé de
façon géométrique (cette progression ayant pour raison 1, 05). Quelle sera la valeur
acquise par le compte épargne une fois l’année 2012 écoulée ?
A) 1623, 23 euros
B) 1704, 66 euros
C) 1638, 05 euros
D) 1703, 57 euros
E) 1788, 55 euros
5
Q 15) Un capital a été placé pendant 10 ans. Pendant les n premières années, il a été
placé au taux annuel de 7%. Puis, pendant les 10
n années suivantes, à un taux
de 6%. En dix ans, le capital a augmenté d’un peu plus de 93% (à moins de 0.1 %
près). La valeur de n est
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Q 16) On observe un échantillon (x1 , ..., xn ) de taille n = 100 de variables aléatoires i.i.d.
de même loi qu’une variable X, d’espérance µ inconnue, dont la moyenne empirique
vaut x̄ = 5, 1, et la variance empirique vaut s2 = 4, 4. On cherche à définir un
intervalle de confiance à 90% pour l’estimation de µ. Le théorème de probabilités
qui permet d’utiliser la table de la loi normale (voir fin du QCM) pour construire
cet intervalle est
A) le Théorème Central Limite
B) la loi des Grands Nombres
C) le Théorème de Lebesgue
Ce théorème n’est valide que si la loi de la variable aléatoire X sous-jacente est telle
que E[X 2 ] < 1.
D) Vrai
E) Faux
Q 17) (suite de la question précédente) L’intervalle de confiance désiré est (à 0,01 près)
A) [4, 69; 5, 51]
B) [4, 24; 5, 96]
C) [5, 06; 5, 13]
D) [4, 37; 5, 83]
E) [4, 75; 5, 45]
6
Q 18) (suite de la question précédente) On cherche à tester au niveau 5% l’hypothèse
H0 : µ = 4, 7 contre H1 : µ 6= 4, 7. Les données précédentes conduisent à rejeter
H0 au niveau 5%.
A) Vrai
B) Faux
On note
2
la variance de X. La variance empirique, s2 = n
telle que E[s2 ] =
2
.
1
Pn
i=1 (xi
x̄)2 est
C) Vrai
D) Faux
Q 19) On considère la matrice A =
1 3
0 2
!
. Les valeurs propres de A2 sont 1 et 4
A) Vrai
B) Faux
La somme des coefficients de A2 vaut
C) 14
D) 18
E) 16
Q 20) (suite de la question précédente) L’inverse de A est de la forme
!
1
⇤
A 1=
.
0 ⇤
La colonne manquante est
!
3
A)
1/2
!
1/3
B)
1/2
!
3/2
C)
1/2
7
3/2
D)
2
1/3
E)
2
!
!
Q 21) On considère un vecteur aléatoire gaussien de dimension 2
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont correctes ?
X
Y
!
0
⇠N
1
!
2 0
,
0 1
!!
A) X et Y indépendants
B) Cov(X, Y ) = 0 où Cov désigne la covariance
⇥ ⇤
C) E X
=0
Y
D) E[Y 2 ] = 1
E) La variance de X vaut 2
Q 22) Soit N une variable de Poisson de paramètre . La probabilité de l’événement {N <
1} est
A) 2e
B) e
C) 1
e
D) 1
2e
E) 0
Q 23) La probabilité que N
A)
B)
P1
n=2
P1
n=3
C) 1
2e
D) 1
e
n
e
n
e
1 (où N est défini à la question précédente) est
E) e
Q 24) On rappelle que la loi Gamma de paramètres p et
(pour x positif, 0 pour x négatif) où
(l’expression exacte de
a pour densité f (x) =
(p) désigne la fonction
p
(p)
x(p
1)
exp(
évaluée en p
(p) n’est pas nécessaire pour répondre à cette question.
8
x),
.
A titre indicatif, (2) = 1). On considère deux variables X et Y indépendantes qui
suivent des lois exponentielles de même paramètre
(i.e. leur espérance est 1/ ).
X + Y suit une loi (2, ).
A) Vrai
B) Faux
La variance d’une loi Gamma de paramètres p = 50 et
= 5 vaut
C) 2
D) 10
E) 25
Q 25) Soit X une variable aléatoire de densité f (x) = ↵x
↵ 1
pour x
1, f (x) = 0 sinon.
On suppose ↵ > 2. L’espérance de X vaut
A) 1/↵
B) ↵
C)
↵
↵ 1
La variance de X vaut
↵
.
[↵ 1][↵ 2]
D) Vrai
E) Faux
Q 26) On considère la fonction f : R ! R définie par f (x) = xe
x
pour tout x réel. On
note f 0 sa dérivée. f satisfait l’équation différentielle (pour tout x 2 R):
A) f 0 (x) + f (x) = e
B)
f 0 (x)+f (x)
f (x)
=
x
1
x
C) f 0 (x) + 2f (x) = 0
D) f 0 (x) + f (x) = 0
E) f 0 (x) = 0
Q 27) (suite question précédente) La fonction f est monotone.
A) Vrai
9
B) Faux
Elle atteint son maximum en
C) +1
D)
1
E) 1
Q 28) Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (1 + x)e x . La fonction g est
A) monotone
B) croissante sur [ 1; 0] puis décroissante sur [0; +1]
C) décroissante sur [ 1; 0] puis croissante sur [0; +1]
D) 8x 2 R, g(x)  1
E) 8x 2 R, g(x)
1
Q 29) (suite de la question précédente) La fonction g est convexe.
A) Vrai
B) Faux, car elle est concave.
C) Faux, car elle n’est ni concave ni convexe.
On a
R1
0
g(x)dx = 2.
D) Vrai
E) Faux
Q 30) (suite de la question précédente) L’équation g(x) = 0 admet une unique solution
sur R.
A) Vrai
B) Faux
L’équation g(x) = 1/2 admet une solution dans l’intervalle [ 2, 0].
C) Vrai
D) Faux
10
Q 31) On considère la suite (un )n2N définie par la relation de récurrence un+1 = u2n , et
u0 = 0, 5. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont exactes ?
A) La suite est monotone.
B) La suite est strictement croissante.
C) La suite est strictement décroissante.
D) La suite n’est pas convergente.
E) La suite converge vers une valeur non nulle.
Q 32) Soit deux variables aléatoires X et Y telles que
P(X = 1, Y = 0) = 0, 3
P(X = 1, Y = 1) = 0, 1
P(X = 2, Y = 0) = 0, 1
P(X = 2, Y = 1) = 0, 5.
On a E[Y ] = 0, 6.
A) Vrai
B) Faux
On a E[X] = 1, 2.
C) Vrai
D) Faux
Q 33) (suite de la question précédente) On a E[X|Y = 0] = 1, 25.
A) Vrai
B) Faux
On a V ar(X|Y = 0) = 0, 25.
C) Vrai
D) Faux
11
Q 34) On considère deux variables aléatoires Y et X
0. On suppose que, sachant X = x,
la loi conditionelle de Y est une loi de Poisson de paramètre x. On suppose que X
suit une loi exponentielle de paramètre
> 0, où on rappelle que
désigne l’inverse
de l’espérance de X. L’espérance de Y vaut
A)
2
B)
C) 1/
2
D) 1/
E)
+
2
Q 35) (suite de la question précédente) La variance de Y vaut
A)
2
B)
C) 1/
2
D) 1/
E) 1/
2
+ 1/
Q 36) On considère un modèle de régression linéaire simple, où l’on essaie d’expliquer une
variable y en fonction d’une variable x. Les moyennes empiriques de x, de y et de xy
sont x̄ = 1, 2, ȳ = 3, 5, xy
¯ = 4, 1. Les écarts-type empiriques de x et y sont sx = 1, 2,
sy = 1, 3
L’ordonnée à l’origine de la droite de régression est
A)
0, 07
B) 3, 58
C) 0, 93
D) 3, 18
E) 3, 83
Q 37) (suite) Le coefficient de détermination R2 du modèle précédent vaut
A) 0.42
12
B) 0.51
C)
0.42
D) 0.0042
E) 0.0051
Q 38) On considère un modèle de régression linéaire multiple. Y désigne la variable expliquée, et X1 , X2 et X3 les variables explicatives. On hésite entre deux modèles de
régression, le modèle 1 où Y est exprimée linéairement en fonction des trois variables
X1 , X2 et X3 , et le modèle 2 où Y n’est exprimée qu’en fonction des deux premières
variables X1 et X2 , la troisième étant considérée comme n’ayant pas d’influence.
Le R2 du modèle 1 sera toujours supérieur à celui du modèle 2
A) Vrai
B) Faux
Une bonne stratégie, pour choisir entre modèle 1 et modèle 2, et de choisir le modèle
ayant le R2 le plus élevé.
C) Vrai
D) Faux
Q 39) On a effectué la régression linéaire multiple d’une variable Y sur trois variables
quantitatives X1 , X2 , et X3 i.e. Y = ↵0 + ↵1 X1 + ↵2 X2 + ↵3 X3 . Le résultat est
présenté dans le tableau suivant :
Variable Paramètres Erreur std
|T|
Intercept
0.08077
0.06206
1.301
X1
1.22306
0.07220
16.941
X2
X3
0.45214
0.05767
0.07344
0.07227
Pr > |T|
0.196
< 2e
16
6.157 1.72e
08
0.798
0.427
Le R2 vaut 0, 7669. Parmi les assertions suivantes, cochez celles qui sont correctes.
A) La probabilité que le modèle soit effectivement linéaire est de 0, 7669.
B) La probabilité que le modèle soit effectivement linéaire est de 0, 2331.
C) La variable X3 est non significative au niveau 5%.
13
D) Le coefficient ↵0 peut être considéré comme non significatif au niveau 1%.
E) La variable X1 influe positivement sur Y.
Q 40) (suite) On considère un individu de caractéristiques X1 =
2, X2 = 1 et X3 = 0.4.
En moyenne, d’après le modèle ci-dessus, quelle est la valeur de Y pour cet individu
?
A)
2, 8752
B)
2.8175
C)
2, 7944
D)
2, 8983
E) 0, 9094
Q 41) On considère n variables aléatoires Yi suivant un modèle de régression quadratique
de la forme suivante, E[Yi ] = a + bx2i où les xi sont connus et fixés. On note x̄2 la
moyenne des x2i et Ȳ celle des Yi . L’estimateur des moindres carrés de b est
A)
B)
C)
D)
Pn
(Y
Ȳ
i=1
Pn i 2
i=1 (xi
)(x2i x̄2 )
x̄2 )2
Pn
Yi x2i
Pi=1
n
2
i=1 xi
Pn
Yi x2i
Pi=1
n
4
i=1 xi
Ȳ
x̄2
E) impossible à calculer explicitement
Q 42) Dans une analyse en composante principale, la composante principale est
A) une combinaison linéaire des variables de départ
B) une nouvelle variable qui explique le mieux les autres variables
C) une nouvelle variable qui exprime la meilleure façon (au sens de l’inertie quadratique) de résumer les individus en un facteur de dimension 1
14
D) la pente de la droite de régression
E) une variable permettant de prédire la valeur future d’autres variables
Q 43) Dans une analyse en composante principale, le plan factoriel
A) est un plan défini par les deux variables les plus significatives parmi les variables
de départ
B) est un plan défini par les deux composantes principales qui contribuent le plus
à l’inertie du nuage de points
C) est toujours orthogonal à la droite définie par la variable expliquée
D) peut être utilisé pour projeter le nuage de points et déterminer de façon visuelle
des groupes d’individus plus ou moins homogènes
E) peut ne pas être défini dans des cas limites, comme par exemple lorsque tous
les points composant le nuage sont alignés.
Q 44) On considère x1 , ..., xn des réalisations i.i.d. d’une variable aléatoire X. L’histogramme
basé sur x1 , ..., xn
A) est une façon d’estimer visuellement la densité de X
B) est une façon d’estimer visuellement la fonction de répartition de X
C) représente le nombre d’observations (éventuellement moyenné) dans un intervalle de taille donnée
D) est défini de manière unique sans nécessité de spécifier un paramètre supplémentaire
E) n’est opportun que dans le cas où les variables aléatoires considèrées sont de
loi absolument continue
Q 45) On suppose que le temps de service à un guichet de la poste suit une loi uniforme sur
[0, 1], où l’unité de temps est l’heure. On suppose que, d’un client à l’autre, le temps
de service est indépendant. Pour deux clients différents, quelle est la probabilité que
chacun d’eux attende au moins 45 minutes ?
A) 1/15
B) 1/2
C) 1/16
15
D) 2/15
E) 1/45
Q 46) (suite de la question précédente) Le client B arrive juste après le client A. Son temps
total d’attente est donc le temps de service du client A, plus le temps de service
du client B. Quelle est la probabilité que le temps total d’attente du client B soit
inférieur à une demi-heure ?
A) 1/8
B) 1/16
C) 1/4
D) 1/2
E) 1/3
Q 47) Lors d’un examen oral, 10 candidats tirent successivement, sans remise, une question
parmi les 12 proposées. L’un des étudiants a fait l’impasse sur 3 des questions. On
note x le numéro de passage de l’étudiant, et p la probabilité qu’il tire l’une des
questions non étudiées.
p est indépendant de x.
A) Vrai
B) Faux
p est une fonction strictement décroissante de x. (i.e., plus le candidat attend, moins
il a de chances de tirer une question sur laquelle il a fait l’impasse).
C) Vrai
D) Faux
Q 48) Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement et
sans remise 2 boules dans l’urne. La probabilité de l’événement "la deuxième boule
tirée est noire sachant que la première l’est aussi" est
A) 5/4
B) 25/64
16
C) 5/14
D) 4/7
E) 3/5
Q 49) On choisit au hasard une boule d’une urne contenant 3 boules rouges numérotées
1, 2 et 3, deux boules vertes numérotées 1 et 2 et une boule bleue numérotée 1. On
considère les évènements suivants : R : "La boule tirée est rouge" ; A : "la boule
tirée est numérotée 1" et B : " la boule tirée est numérotée 2 " Lesquelles de ces 4
affirmations sont vraies ?
A) Il n’y a pas d’évènements indépendants parmi les 3.
B) R et A sont indépendants
C) A et B sont indépendants
D) R et B sont indépendants
E) A et R sont incompatibles
Q 50) On considère une variable aléatoire X discrète à valeurs dans {0, 3, 5}, et on note
pi = P(X = i), pour i = 0, 3, 5. On a p0 = 0, 4, et p3 = 0, 2. Quelle est la variance
de X ?
A) 11, 8
B) 6, 76
C) 5, 04
D) 2, 6
E) 3, 44
17