Trigonométrie

Trigonométrie
Définition du sinus et du cosinus d’un réel
• x est un réel.
1
• M est le point du cercle trigonométrique associé à x,
M
Ð
→ ÐÐ→
ou encore x est une mesure en radian de l’angle ( i , OM ).
b
x
sin(x)
O
cos(x)
cos(x) est l’abscisse de M , sin(x) est l’ordonnée de M .
1
• Pour tout réel x, cos2 (x) + sin2 (x) = 1.
Arcs associés
Tour complet
Angle opposé
1
1
π
cos(x + 2π) = cos(x)
x
1
x
−x
sin(x + 2π) = sin(x)
1
Angle complémentaire
1
1
1
2
sin(π − x) = sin(x)
x
1
−
cos(π − x) = − cos(x)
x
1
x
1
sin(x + π) = − sin(x)
Quart de tour direct
π
π−x
x
sin(−x) = − sin(x)
Angle supplémentaire
cos(x + π) = − cos(x)
+
cos(−x) = cos(x)
x
1
Demi-tour
π
cos ( − x) = sin(x)
2
π
sin ( − x) = cos(x)
2
x+
π
2
π
) = − sin(x)
2
π
sin (x + ) = cos(x)
2
cos (x +
x
1
• La fonction x ↦ sin(x) est définie sur R, 2π-périodique et impaire.
• La fonction x ↦ cos(x) est définie sur R, 2π-périodique et paire.
Formules d’addition
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
Formules de duplication
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
Résolution d’équations
⎧
il existe k ∈ Z tel que b = a + 2kπ
⎪
⎪
⎪
• cos(a) = cos(b) si et seulement si ⎨ ou
⎪
⎪
⎪
⎩ il existe k ∈ Z tel que b = −a + 2kπ
⎧
il existe k ∈ Z tel que b = a + 2kπ
⎪
⎪
⎪
• sin(a) = sin(b) si et seulement si ⎨ ou
⎪
⎪
⎪
⎩ il existe k ∈ Z tel que b = π − a + 2kπ
© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
1
http ://www.maths-france.fr
Fonctions sinus et cosinus
Valeurs usuelles
x en radians
0
sin(x)
0
cos(x)
1
π
= 0, 52 . . .
6
1
= 0, 5
2
√
3
= 0, 86 . . .
2
π
= 0, 78 . . .
4
1
√ = 0, 707 . . .
2
1
√ = 0, 707 . . .
2
π
= 1, 04 . . .
3
√
3
= 0, 86 . . .
2
π
= 1, 57 . . .
2
1
1
= 0, 5
2
0
Représentation graphique de la fonction sinus
1
− 3π
2
−2π
b
−7
b
−6
−5
− π2
−π
b
−4
−3
−2
b
−1
1
y=
3π
2
π
b
b
π
2
2
−1
3
b
)
(x
n
i
s
4
b
5
2π
6
7
y = cos(x)
• La fonction sinus est définie sur R, 2π-périodique et impaire.
sin(x)
= 1.
• Nombre dérivé en 0 : lim
x→0
x
• La fonction sinus est dérivable sur R et pour tout réel x, sin′ (x) = cos(x).
π π
• La fonction sinus est strictement croissante sur [− , ].
2 2
Représentation graphique de la fonction cosinus
1
−2π
−7
− 3π
2
b
b
−6
−5
− π2
−π
b
−4
b
−3
−2
b
−1
1
π
2
b
2
3
−1
y
3π
2
π
x)
os(
c
=
b
4
b
5
6
2π
7
y = sin(x)
• La fonction cosinus est définie sur R, 2π-périodique et paire.
cos(x) − 1
= 0.
• Nombre dérivé en 0 : lim
x→0
x
• La fonction cosinus est dérivable sur R et pour tout réel x, cos′ (x) = − sin(x).
• La fonction cosinus est strictement décroissante sur [0, π].
cos(x0 ) =
y
y
=
=
sin (x0 + π2 )
x)
s(
)
(x
s in
co
x0
π
) = cos(x).
2
Le point (x0 + π2 , sin(x0 + π2 )) = (x0 + π2 , cos(x0 )) est le translaté
→
du point (x , cos(x )) par la translation de vecteur Ð
u (0, π ).
Pour tout réel x, on a sin (x +
Ð
→
u
x0 +
π
2
© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
0
0
2
Le graphe de la fonction sinus est l’image du graphe de la fonction
→
cosinus par la translation de vecteur Ð
u (0, π )
2
2
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