Trigonométrie

Trigonométrie
Définition du sinus et du cosinus d’un réel
1
1
M
x
cos(x)
sin(x)
•xest un réel.
•Mest le point du cercle trigonométrique associé à x,
ou encore xest une mesure en radian de l’angle (→ i , → OM ).
cos(x)est l’abscisse de M,sin(x)est l’ordonnée de M.
• Pour tout réel x,cos2(x)+sin2(x)=1.
O
Arcs associés
Tour complet Angle opposé Demi-tour
cos(x+2π)=cos(x)
sin(x+2π)=sin(x)
x
1
1
cos(−x)=cos(x)
sin(−x)=−sin(x)
x
−x1
1
x
x+π
cos(x+π)=−cos(x)
sin(x+π)=−sin(x)
1
1
Angle supplémentaire Angle complémentaire Quart de tour direct
cos(π−x)=−cos(x)
sin(π−x)=sin(x)
x
1
1
π−x
cos π
2−x=sin(x)
sin π
2−x=cos(x)
x
π
2−x
1
1
cos x+π
2=−sin(x)
sin x+π
2=cos(x)
x
1
1
x+π
2
• La fonction xsin(x)est définie sur R,2π-périodique et impaire.
• La fonction xcos(x)est définie sur R,2π-périodique et paire.
Formules d’addition
cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)
cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
sin(a−b)=sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b)
Formules de duplication
cos(2x)=cos2(x)−sin2(x)=2 cos2(x)−1=1−2 sin2(x)sin(2x)=2 sin(x)cos(x).
Résolution d’équations
•cos(a)=cos(b)si et seulement si 
il existe k∈Ztel que b=a+2kπ
ou
il existe k∈Ztel que b=−a+2kπ
•sin(a)=sin(b)si et seulement si 
il existe k∈Ztel que b=a+2kπ
ou
il existe k∈Ztel que b=π−a+2kπ
© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

Fonctions sinus et cosinus
Valeurs usuelles
xen radians 0π
6
=0,52 ... π
4
=0,78 ... π
3
=1,04 ... π
2
=1,57 ...
sin(x)01
2
=0,51
√2
=0,707 ... √3
2
=0,86 ... 1
cos(x)1√3
2
=0,86 ... 1
√2
=0,707 ... 1
2
=0,50
Représentation graphique de la fonction sinus
1
−1
1234567−1−2−3−4−5−6−7
y=sin(x)
π
2
π3π
2
2π
−π
2−π
−3π
2−2π
y=cos(x)
• La fonction sinus est définie sur R,2π-périodique et impaire.
• Nombre dérivé en 0:lim
x→0
sin(x)
x
=1.
• La fonction sinus est dérivable sur Ret pour tout réel x,sin′(x)=cos(x).
• La fonction sinus est strictement croissante sur −π
2,π 2.
Représentation graphique de la fonction cosinus
1
−1
1234567−1−2−3−4−5−6−7
y=cos(x)
π
2
π3π
2
2π
−π
2−π
−3π
2−2π
y=sin(x)
• La fonction cosinus est définie sur R,2π-périodique et paire.
• Nombre dérivé en 0:lim
x→0
cos(x)−1
x
=0.
• La fonction cosinus est dérivable sur Ret pour tout réel x,cos′(x)=−sin(x).
• La fonction cosinus est strictement décroissante sur [0, π].
x0x0+π
2
Pour tout réel x, on a sin x+π
2=cos(x).
Le point (x0+π
2,sin(x0+π 2))=(x0+π 2,cos(x0)) est le translaté
du point (x0,cos(x0)) par la translation de vecteur → u(0,π
2).
Le graphe de la fonction sinus est l’image du graphe de la fonction
cosinus par la translation de vecteur → u(0,π
2)
y=cos(x)
y=sin(x)
cos(x0) =
sin x0+π
2
→
u
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