pdf - Université de Valenciennes

Universit´ e de Valenciennes
et du Hainaut-Cambr´ esis
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Facult´ e des Sciences de Bizerte
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ECHANGES D’INTERVALLES. ´ EQUATIONS
COHOMOLOGIQUES ET DISTRIBUTIONS INVARIANTES
Th`ese soutenue le 4 juin 2012
par
Hadda HMILI
pour obtenir le grade de
Docteur en Math´ematiques
Composition du Jury
Rapporteurs Pierre ARNOUX ...............Universit´e de M´editerran´ee
Ali BAKLOUTI ................Universit´e de Sfax
Examinateur Leopold VERSTRAELEN .....KU, Leuven
Directeurs de Th`ese Aziz EL KACIMI................Universit´e de Valenciennes
Isabelle LIOUSSE ..............Universit´e de Lille I
Mahel MOSBAH................Facult´e des Sciences de Bizerte
Invit´es Raymond BARRE ..............Universit´e de Valenciennes
Luc VRANCKEN ..............Universit´e de Valenciennes
Nod’ordre : 12/19
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REMERCIEMENTS
Cette th`ese a ´et´e pr´epar´ee sous la dirction conjointe de Aziz El Kacimi et Isablle Liousse.
Je l’ai commenc´ee sous la direction de Isabelle Liousse qui m’avait propos´e le sujet sur les
´echanges d’intervalles ; ensuite Aziz El Kacimi m’a sugg´er´e de travailler sur les ´equations
cohomologiques et les distributions invariantes sur un groupe de Lie ainsi que quelques-unes de
leurs applications aux d´eformations des feuilletages. Durant toute l’´elaboration de ce travail,
ils m’ont consacr´e g´enereusement leur temps pour m’´ecouter. Ils n’ont jamais cess´e de me
motiver, me guider et me prodiguer conseil et toujours avec une attention constante et sinc`ere.
Je suis certaine que les nombreuses connaissances qu’ils m’ont transmises me seront tr`es utiles
dans mes futures recherches. Je leur exprime ici toute ma profonde gratitude.
Un immence merci `a Mahel Mosbah qui a gentiment accept´e d’ˆetre codirectrice de ce
travail et de m’avoir toujours aid´ee. Je la remercie vivement pour ses qualit´es humaines, ses
encouragements constants et son soutien moral.
Je suis ravie que Pierre Arnoux et Ali Baklouti se soient int´eress´es `a mon travail
et aient accept´e de rapporter dessus. Je les en remercie. Merci ´egalement `a Raymond
Barre,Leopold Verstraelen et Luc Vrancken pour avoir bien voulu faire partie
du jury. Je remercie le gouvernement Tunisien et le gouvernement Fran¸cais, qui m’ont permis
financi`erement de mener `a bien la pr´eparation de cette th`ese ainsi que le CIMPA qui a support´e
financi`erement (tout ou en partie) deux de mes s´ejours en France dans le cadre du programme
du RIAMI-GGTM.
Je tiens `a remercier Nabila Daifi pour toute sa gentillesse ; elle m’a toujours aid´ee
`a r´egler tout probl`eme administratif `a l’universit´e de Valenciennes. Merci aussi `a tous les
membres du LAMAV pour l’acceuil chaleureux qu’ils m’ont toujours r´eserv´e.
Enfin, je remercie du fond de mon cœur mes parents, mes fr`eres, mes soeurs et mon mari
sans lesquels je ne serai sˆurement pas arriv´ee jusque l`a : ils m’ont soutenue depuis le d´ebut et
continuent `a le faire. J’associe `a ces remerciements ma fille Farouha.
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CONTENU
Introduction
Chapitre I : Rappels de topologie et th´eorie de la mesure
1. Espaces m´etriques
2. Hom´eomorphismes
3. Mesures sous deux points de vue
4. Mesures invariantes
Chapitre II : ´ Echanges d’intervalles
1. G´en´eralit´es
2. Vecteur translation, sa longueur etc.
3. Notions spectrales
4. Les r´esultats fondamentaux
Chapitre III : ´ Echanges d’intervalles non topologiquement
faiblement m´elangants
1. Historique
2. Questions et r´esultats
3. Preuve du r´esultat principal
Chapitre IV : ´ Etude dynamique du groupe de Stein-Thompson
1. ´ Echanges affines d’intervalles
2. Groupes de Stein-Thompson
3. Le r´esultat principal
4. G´en´eralit´es sur les flots
5. Preuve du r´esultat principal
6. Remarques, exemples et question
Chapitre V : ´ Equation cohomologiques et distributions invariantes
1. Le cas du tore
2. Le cas g´en´eral
3. Que se passe-t-il pour les fonctions continues ?
4. Automorphisme affine du tore
5. Application aux d´eformations des feuilletages
R´ef´erences
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INTRODUCTION
Deux th`emes (un peu diff´erents mais proches) sont d´evelopp´es dans ce m´emoire de th`ese :
les ´echanges d’intervalles et l’´etude des mesures invariantes par des diff´eomorphismes. En
voici un r´esum´e.
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Echanges d’intervalles
Un ´echange de mintervalles(ou en abr´eg´e i.e.t interval exchange transformation) est une
bijection Tde [0,1[ dans lui-mˆeme, telle que la restriction de T`a chacun des mintervalles
est une translation.
Un ´echange d’intervalles associ´e `a une permutation irr´eductible est dit :
-v´erifiant la condition (IDOC) de Keane (voir d´efinition 3.5.1 chapitre II) si les orbites
de ses points de discontinuit´e sont infinies et disjointes ;
-uniquement ergodique si sa seule mesure de probabilit´e invariante est la mesure de
Lebesgue ;
-faiblement topologiquement m´elangeant s’il n’existe pas de fonction continue f:
[0,1] →Cnon constante et de scalaire λtels que f◦T=λf.
Un r´esultat de Nogueira-Rudolph affirme que tout ´echange d’intervalle qui n’est pas
de la classe des rotations est faiblement topologiquement m´elangeant.
Dans cette premi`ere partie, nous avons montr´e un crit`ere d’existence de fonctions
propres continues non constantes pour les ´echanges d’intervalles. Comme corollaire, nous
avons construit, pour tout entier m≥4, les premiers exemples d’´echanges de mintervalles
uniquement ergodiques, v´erifiant la condition de Keane et non topologiquement faiblement
m´elangeant r´epondant ainsi `a une question de Ferenczi et Zamboni.
Ces r´esultats ont fait l’objet d’un article [Hmi] paru dans Discrete and Continuous
Dynamical Systems.
Par ailleurs, nous avons travaill´e sur les ´echanges d’intervalles affines (AIET). Un
AIET est une bijection Td’un intervalle Idans lui mˆeme tel qu’il existe une partition de
Ien mintervalles telle que la restriction de T`a chacun d’eux est une application affine.
Les extr´emit´es des intervalles sont appel´ees les coupures de T. Nous avons montr´e qu’un
AIET dont les pentes sont des puissances d’un mˆeme entier net dont les coupures et leurs
images sont des rationnels a une dynamique tr`es simple : toutes ses orbites sont propres
et il poss`ede une orbite p´eriodique ou un cycle p´eriodique.
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Equations cohomologiques et distributions invariantes
Soient Mune vari´et´e et γun diff´eomorphisme de M. Habituellement, le couple (M, γ) est
appel´e syst`eme dynamique discret (SDD en abr´eg´e). Question naturelle : Quels sont les
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