Continuité sur un intervalle

Terminale ES
Continuité sur un intervalle
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TES
Continuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivation
f désigne une fonction définie sur un intervalle I.
I Nombre dérivé, fonction dérivée
Définitions
• a et a + h désignent deux nombres réels de I avec h ≠ 0.
Dire que f est dérivable en a signifie que la fonction :
( )
admet un nombre réel limite en 0.
h
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a et on le note
f’(a).
• Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout
nombre réel x de I.
La fonction dérivée de f, notée f’, est la fonction qui, à tout x de I,
associe le nombre f’(x).
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TES
Continuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivation
II Tangente à la courbe d’une fonction
Définition - Propriété
f est une fonction dérivable en a de I.
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative
de la
fonction f au point A d’abscisse a est la droite T qui passe par A et de
coefficient directeur f’(a).
Une équation de T est y = f’(a)(x – a) + f(a).
T
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TES
Continuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivation
III Sens de variation et extremum local
Propriétés
f est une fonction dérivable sur I.
• Si pour tout nombre réel x de I, f’(x) > 0 sauf peut être en un
nombre fini de points ou f’ s’annule alors f est strictement
croissante sur I.
• Si pour tout nombre réel x de I, f’(x) = 0 alors f est constante
sur I.
• Si pour tout nombre réel x de I, f’(x) < 0 sauf peut être en un
nombre fini de points ou f’ s’annule alors f est strictement
décroissante sur I.
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TES
Continuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivation
Propriété
f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x0 est un
nombre réel de I.
Si f(x0) est un extremum local de I, alors f’(x0) = 0
Remarque :
La réciproque est fausse.
Contre-exemple : Si f(x) = x3 alors f’(x) = 3x².
Donc f’(0) = 0 et pourtant f(0) = 0 n’est pas un extremum local de f.
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TES
Continuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivation
Propriété
f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x0 est un
nombre réel de I.
Si f’ s’annule en x0 en changeant de signe, alors f(x0) est un extremum
local de I.
x
f‘
f
x
x0
-
0
+
f(x0)
f(x0) est un minimum local.
f‘
f
x0
+
0
f(x0)
-
f(x0) est un maximum local.
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Continuité sur un intervalle
Règles de dérivation
I Dérivées des fonctions usuelles
f(x)
f’(x)
f est dérivable sur l’intervalle
ax + b
a
] - ∞; + ∞ [
x²
2x
] - ∞; + ∞ [
nxn-1
] - ∞; + ∞ [
xn (n ∈
1
, n ≥ 1)
1
−
²
1
] - ∞;0[ ou
]0; + ∞[
2
] - ∞; + ∞ [
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TES
Continuité sur un intervalle
Règles de dérivation
II Opérations et dérivées
Propriétés
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
• La fonction u + v est dérivable sur I et
(u + v)’ = u’ + v’
• La fonction ku (avec k réel) est dérivable sur I et
(ku)’ = ku’
• La fonction uv est dérivable sur I et
(uv)’ = u’v + uv’
• La fonction u² est dérivable sur I et
(u²)’ = 2u’u
• La fonction
est dérivable sur I et
= −
• La fonction
est dérivable sur I et
=
• La fonction
est dérivable sur I et
(
²
²
)′ = ′
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TES
Continuité sur un intervalle
Règles de dérivation
Conséquences :
• Toute fonction polynôme est dérivable sur
.
• Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle
contenu dans son ensemble de définition.
Exemples
• f est la fonction polynôme définie sur
par f(x) = 6x² - 2x + 3.
f est dérivable sur
et pour tout nombre réel x, f’(x) = 6×2x - 2×1 = 12x – 2.
• g est la fonction rationnelle définie sur par g(x) =
.
²
( )
g est dérivable sur et g(x) =
avec u(x) = x – 2 et v(x) = x² + 1.
( )
On a alors u’(x) = 1 et v’(x) = 2x
=
( )
(
)²
=
×
(
(
)×
)²
=
² (
)²
=
(
)²
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TES
Continuité sur un intervalle
Langage de la continuité
I Continuité sur un intervalle
Définition
f est une fonction définie sur un intervalle I et
sa courbe représentative
dans un repère.
Dire que f est continue sur I signifie que l’on peut tracer sa courbe
sans
lever le crayon.
Exemple 1
Exemple 2
La fonction f representée cidessous est continue sur [-2;3].
f
La fonction g representée ci-dessous
n’est pas continue sur [-2;3].
g
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Continuité sur un intervalle
Langage de la continuité
Propriété
Toute fonction dérivable sur I est continue sur I.
Remarque : Attention, la réciproque est fausse.
Contre-exemple : On peut tracer la courbe représentant la fonction racine carrée
sur l’intervalle [0; + ∞[ et pourtant cette fonction n’est pas dérivable en 0.
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Continuité sur un intervalle
Langage de la continuité
y = ex
II Continuité des fonctions usuelles
Propriétés
• Les fonctions polynômes sont continues sur
• La fonction exponentielle est continue sur
.
.
y=
• La fonction racine carrée est continue sur ]0; + ∞[.
• Les fonctions construites par opérations à partir des précédentes sont
continues sur les intervalles qui forment leur ensemble de définition.
(Par exemple, les fonctions rationnelles)
• Si u est une fonction continue sur un intervalle I, alors eu est continue sur I.
Exemple
La fonction f : x
x2ex est continue sur
fonctions continues sur
(x
x2 et x
en tant que produit de deux
ex)
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Continuité sur un intervalle
La propriété des valeurs intermédiaires
III Propriété fondamentale des fonctions continues
Propriété des valeurs intermédiaires
f est une fonction continue sur un intervalle I.
Pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un
nombre réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Interprétation graphique :
Dans un repère,
est la représentation
graphique de f.
Pour tout nombre réel k compris entre f(a) et
f(b), la droite ∆ d’équation y = k coupe au moins
une fois la courbe
en un point d’abscisse c
compris entre a et b.
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TES
Continuité sur un intervalle
La propriété des valeurs intermédiaires
Interprétation en terme d’équation :
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b),
l’équation f(x) = k admet au moins une solution
comprise entre a et b.
IV Cas d’une fonction continue et strictement monotone
Propriété
Si f est une fonction continue et
strictement monotone sur un intervalle
[a;b], alors pour tout nombre réel k compris
entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k admet
une solution unique dans l’intervalle [a;b].
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TES
Continuité sur un intervalle
La propriété des valeurs intermédiaires
Convention sur les tableaux de variation :
Les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité
et la stricte monotonie d’une fonction sur l’intervalle considéré.
Exemple :
Le tableau de variation ci-dessous permet d’affirmer que l’équation
f(x) = k admet c pour solution unique dans l’intervalle [a;b].
x
f
a
f(a)
c
k
b
f(b)
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