Mathématiques

— Lyc´ee L.-G. Damas, Cayenne —
Math´ematiques
Partie A: Enseignement obligatoire
—Bernhard Riemann, cr´eateur d’une des th´eories de calcul int´egral. —
Table des mati`eres
Partie B : Sp´ecialit´e
Partie C : Compl´ements
— Terminale S3— 2008/2009 —
Version du : 1er juin 2009

Table des mati`eres
I ANALYSE : OUTILS FONDAMENTAUX 9
1 Suites num´eriques r´eelles 10
[Th`eme) Comportement g´en´eral] ............................ 11
1. Principes g´en´eraux ................................... 11
1.1. Rappel du vocabulaire ............................. 11
1.2. Repr´esentations graphiques .......................... 11
2. Suites r´eelles major´ees ou minor´ees .......................... 12
3. Suites monotones .................................... 13
[TD [savoir-faire] no2) Nouveaux outils d’´etudes] ................... 14
1. La notation P..................................... 14
2. La d´emonstration par r´ecurrence ........................... 14
[TP [machine] no1) Moyenne arithm´etique] ....................... 17
[DM no1) Somme d’une suite arithm´etico-g´eom´etrique] ................ 18
[¿) Un corrig´e ....................................... 19
[Th`eme) Comportement asymptotique] ......................... 21
1. Propri´et´e vraie `a partir d’un certain rang ...................... 21
2. Suites divergentes vers ±∞ .............................. 21
3. Suites convergentes .................................. 24
3.1. D´efinition .................................... 24
3.2. Propri´et´es de calculs .............................. 26
4. Op´erations sur les limites ............................... 27
5. Compl´ements : m´ethodes d’´etudes .......................... 29
[TD [savoir-faire] no3) Le calcul de limite] ....................... 32
[Th`eme) Suites particuli`eres] ............................... 34
1. Suites adjacentes .................................... 34
2. Suites arithm´etiques .................................. 36
3. Suites g´eom´etriques .................................. 39
[TD [savoir-faire] no4) Manipulations de suites particuli`eres] ............. 41
1. Suites adjacentes .................................... 41
2. Suites arithm´etiques .................................. 42
3. Suites g´eom´etriques .................................. 42
[DS no1) Suites num´eriques] ............................... 44
[¿) Un corrig´e ....................................... 46
[DM no2) Couple de suites r´ecurrentes] ......................... 50
Exercice suppl´ementaire ................................. 50
[¿) Un corrig´e ....................................... 51
ACTIVITES COMPLEMENTAIRES .......................... 53
2

Terminale S3— 2008/2009 Math´ematiques
1. Exercices suppl´ementaires ............................... 53
1.1. M´ethodes usuelles ............................... 53
1.2. Suites r´ecurrentes ............................... 54
1.3. Suites arithm´etico-g´eom´etriques ........................ 56
1.4. Probl`eme corrig´e : Coˆut de production et b´en´efice .............. 60
1.5. Probl`eme corrig´e : Evolution d’un capital .................. 64
2. Exercices d’approfondissement ............................ 66
2.1. Enonc´es ..................................... 66
2.2. Des corrig´es ................................... 68
2 Fonctions : Comportement local 72
[Th`eme) Limite d’une fonction] ............................. 73
Notations ......................................... 73
1. Limites infinies ..................................... 74
2. Limite r´eelle ...................................... 75
3. Asymptotes ....................................... 76
[Th`eme) Le calcul de limite] ............................... 77
1. Limites de r´ef´erences .................................. 77
2. Op´erations alg´ebriques sur les limites ........................ 77
3. Les th´eor`emes de comparaison ............................ 78
4. Composition de limites ................................ 79
[TD no8) Le calcul de limites de fonctions] ....................... 80
[DS no2) Limites de suites et de fonctions] ....................... 81
[¿) Un corrig´e ....................................... 82
[DM no3) Limites d’une fonction param´etr´ee] ..................... 85
[Th`eme) Nombre d´eriv´e en un r´eel] ........................... 87
1. Corde et taux d’accroissement ............................ 87
2. Tangente et nombre d´eriv´e .............................. 88
2.1. Limite du taux d’accroissement ........................ 88
2.2. D´eveloppement limit´e ............................. 89
3. Nombres d´eriv´ees de fonctions usuelles ........................ 91
4. Op´erations et composition ............................... 91
4.1. D´erivation et op´erations alg´ebriques ..................... 91
4.2. D´erivation et composition ........................... 92
[TD no9) Etudes locales de fonctions] .......................... 95
1. Nombre d´eriv´e et tangente .............................. 95
2. Etudes locales d’ordre 1 ................................ 96
[Th`eme) Exercices suppl´ementaires] ........................... 97
A. Calculs de limite ................................. 97
B. Nombre D´eriv´e .................................. 102
3 Fonctions : Comportement global 106
[Th`eme) Aspect global de la d´erivation] ......................... 107
1. D´efinitions et notations ................................ 107
2. Etude des variations .................................. 108
3. Etude des extrema ................................... 108
4. Exercices ........................................ 109
Table des mati`eres 3Partie A: Enseignement obligatoire

Terminale S3— 2008/2009 Math´ematiques
4.1. Calculs de d´eriv´ees ............................... 109
4.2. Etudes de variations .............................. 110
[TD no7) Fonctions trigonom´etriques] ......................... 112
[Th`eme) Continuit´e] ................................... 115
1. D´efinitions et exemples ................................ 115
2. Propri´et´es ........................................ 116
3. Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires ........................ 117
3.1. Objet et ´enonc´e du th´eor`eme ......................... 117
[TD no8) Continuit´e des fonctions] ........................... 119
1. R´egularit´e des fonctions ................................ 119
2. Applications du TVI .................................. 120
[DM no4) Fonctions et r´egularit´e (un corrig´e)] ..................... 121
[Th`eme) Le th´eor`eme de la bijection] .......................... 124
1. Bijections et fonctions r´eciproques .......................... 124
1.1. Carr´es et racines carr´ees ............................ 124
1.2. Autres exemples de fonctions r´eciproques .................. 125
2. Le th´eor`eme de la bijection .............................. 125
[Th`eme) Invariances de courbes] ............................. 129
1. Axe de sym´etrie vertical ................................ 129
1.1. Cas g´en´eral ................................... 129
1.2. Cas particulier : fonction paire ........................ 129
2. Centre de sym´etrie ................................... 131
2.1. Cas g´en´eral ................................... 131
2.2. Cas particulier : fonction impaire ....................... 131
3. Exercices ........................................ 132
II ANALYSE : NOUVEAUX OUTILS 134
4 La fonction exponentielle 135
[TD d’introduction) Ph´enom`enes de type exponentiel] ................. 136
1. Evolution d’une population de bact´eries ....................... 136
2. Les fonctions exponentielles .............................. 136
3. Champs de vecteurs et ´equations diff´erentielles ................... 137
[Th`eme) La fonction exponentielle] ........................... 139
1. D´efinition et premi`eres propri´et´es ........................... 139
2. Premi`eres propri´et´es analytiques ........................... 140
2.1. Sens de variation ................................ 140
2.2. Etude locale en 0 ................................ 141
2.3. Formules de d´erivation ............................. 142
2.4. Courbe ..................................... 142
3. Propri´et´es alg´ebriques ................................. 142
3.1. La relation fonctionnelle ............................ 142
3.2. Notation puissance ............................... 143
4. Comportement `a l’infini ................................ 144
4.1. Limites aux bornes ............................... 144
4.2. Croissances compar´ees ............................. 145
Table des mati`eres 4Partie A: Enseignement obligatoire

Terminale S3— 2008/2009 Math´ematiques
[DS no4) Fonctions avec exponentielle] ......................... 147
[¿) Un corrig´e ....................................... 149
[DS no4 bis) Fonctions avec exponentielle] ....................... 153
[DM no9) Fonction avec raccord (corrig´e)] ....................... 154
[Th`eme) Equations diff´erentielles] ............................ 156
1. Equation homog`ene .................................. 156
2. Equation non-homog`ene ................................ 157
3. Retour sur la relation fonctionnelle .......................... 159
[TD no9) Manipulation de l’exponentielle] ....................... 160
1. Propri´et´es analytiques ................................. 160
2. Propri´et´es alg´ebriques ................................. 162
3. Equations diff´erentielles ................................ 162
[DS no5) Equation diff´erentielle] ............................. 165
[¿) Un corrig´e ....................................... 166
[Formulaire) Exponentielle r´eelle] ............................ 168
1. Propri´et´es analytiques ................................. 168
2. Propri´et´es alg´ebriques ................................. 169
3. Equations diff´erentielles ................................ 169
5 Fonctions Logarithmes 170
[Th`eme) Fonction Logarithme N´eperien] ........................ 171
1. Introduction au Logarithme N´ep´erien ........................ 171
1.1. D´efinitions ................................... 171
1.2. Limites aux bornes ............................... 171
1.3. Variations et courbes .............................. 172
1.4. D´erivation ................................... 173
1.5. Autres limites remarquables .......................... 174
[Exercices) Approfondissement] ............................. 176
[Th`eme) Logarithme de base a]............................. 178
1. D´efinitions et propri´et´es ................................ 178
2. Propri´et´es alg´ebriques ................................. 178
3. Fonctions puissances .................................. 180
6 Calcul int´egral 181
[Th`eme) Calculs d’aires] ................................. 182
1. Int´egrale d’une fonction positive ........................... 182
2. Sommes de Riemann .................................. 183
3. Valeur moyenne .................................... 184
4. Exemples ........................................ 184
[Th`eme) L’int´egrale de Riemann] ............................ 185
1. Int´egrale d’une fonction de signe quelconque ..................... 185
2. Propri´et´es de l’int´egrale ................................ 185
[Th`eme) Int´egrales et primitives] ............................ 188
1. Int´egrales et primitives ................................ 188
2. Int´egration par parties ................................. 190
3. Primitives : formulaire ................................. 191
[TD) Calculs d’int´egrales] ................................ 192
Table des mati`eres 5Partie A: Enseignement obligatoire