Séries de Fourier

Chapitre 14
Séries de Fourier
14.1
introduction
L’histoire des séries trigonométriques remonte à la solution du problème de la corde vibrante
donnée par Bernouilli. Mais en 1750 on ne croyait pas pouvoir décomposer une fonction en
somme de cos et de sin. Il a fallu attendre 50 ans pour que Fourier étudiant l’équation de la
chaleur donne multes exemples de telles décomposition (1822). Il croyait pour sa part que la
série convergeait toujours vers la fonction. Mais il est à la base d’un démarage décisif de l’analyse
mathématique. Son intuition a permis quelques années après à Lebesgues d’élaborer sa fameuse
intégrale. C’est en fait Dirichlet (1829) qui démontra les principaux résultats et crèa la notion
moderne de fonction. Beaucoup de mathématiciens ont suivi les traces de Fourier et encore en
1966 Carleson trouva des résultats non montrés. Enfin signalons bien entendu l’importance de
cette théorie dans le traitement du signal et donc l’ouverture au monde du numérique.
14.2
Coefficients de Fourier
Soit n un entier relatif. Notons en , cosn et sinn les fonctions définies sur IR à valeurs complexes,
définies par en (x) = einx , cosn (x) = cos nx et sinn (x) = sin nx.
Définition 1 On appelle E l’ensemble des fonctions à valeurs complexes définies sur IR, continues par morceaux et 2π-périodiques et C2π le sous-espace vectoriel de E constitué des fonctions
continues.
Proposition 1 Soit < ·, · > la forme définie sur E par:
∀f, g ∈ E
< f, g >=
1
2π
Z
2π
f (t)g(t)dt.
0
< ·, · > est une forme hermitienne positive et sa restriction à C2π est un produit scalaire.
[Ind] Le vérifier.
s
Notons N2 l’application de E dans IR définie, pour f ∈ E par N2 (f ) =
1
2π
Z
2π
2
|f (t| dt.On a
0
vu, lors du cours sur les espaces préhilbertiens que l’inégalité de Cauchy-Schwarz était vérifiée
par une forme hermitienne positive, on en déduit alors que
∀f, g ∈ E
N2 (f + g) ≤ N2 (f ) + N2 (g)
Si f ∈ C2π , on notera N2 (f ) = ||f ||2 , car la restriction de N2 à C2π est une norme.
2
Séries de Fourier
Proposition 2 (en )n∈Z
Z est une famille orthonormale de C2π , c’est à dire:
∀n, m ∈ ZZ
< em , en >= δmn .
[Ind] Calculer les produits scalaires.
14.2.1
Polynômes trigonométriques
Soit n ∈ IN∗ et Pn le sous-espace vectoriel de C2π engendré par la famille Fn :
{1, cos, cos2 , . . . , cosn , sin, . . . , sinn }.
Un élément P de Pn s’appelle un polynôme trigonométrique et
∃a0 , a1 , . . . , an , b0 , . . . bn ∈ C
∀x ∈ IR P (x) = a0 +
n
X
ak cos kx +
k=1
On peut alors poser P (x) =
n
X
n
X
bk sin kx.
k=1
(ak cos kx + bk sin kx) en donnant à b0 la valeur 0 (ou toute autre
k=0
valeur).
Proposition 3 Pn est un C -espace vectoriel de dimension 2n + 1 et la famille (ek )k∈[−n,n] en
est une base orthonormée.
[Ind] Utiliser les sous-espaces vectoriels engendrs par des vecteurs et ce qui précède.
Soient ε1 , ε2 ∈ {−1, 1} et n et m deux entiers positifs. On a:
< em + ε1 e−m , en + ε1 e−n >= δm,n (1 + ε1 ε2 ) + (ε1 + ε2 )δm,−n ,
on en déduit donc que la famille Fn est une famille orthogonale et que, si m et n sont deux
entiers non simultanément nuls:
1
δm,n
2
< cosm , sinn > = 0
1
< sinm , sinn > = δmn .
2
< cosm , cosn > =
Ainsi
Proposition 4 {1,
de Pn .
√
2 cos,
√
2 cos2 , . . . ,
√
2 cosn ,
√
2 sin, . . . ,
√
2 sinn } est une base orthonormée
[Ind] Utiliser les formules précédentes.
Remarque: Les coefficients d’un polynôme trigonométrique sont donc uniques.Écriture sur
la base (ek )k∈[−n,n] .k étant un entier strictement positif, ak et bk étant des complexes, on a:
ak cos kx + bk sin kx =
1
1
(ak − ibk )eikx + (ak + ibk )e−ikx .
2
2
Posons ck = 12 (ak − ibk ), c−k = 12 (ak + ibk ) et c0 = a0 . On peut alors écrire:
P (x) =
n
X
k=0
(ak cos kx + bk sin kx) =
n
X
p=−n
cp eipx .
14.2. Coefficients de Fourier
Z
Z
a
Exercice 1 Calculer
et m et n des entiers.
3
cos mt cos ntdt,
0
Z
a
a
cos mt sin ntdt et
0
sin mt sin ntdt, a étant un réel
0
Exercice 2 Montrer qu’un produit de
[deux polynômes trigonométriques appartenant à Pn est
un élément de P2n . En déduire que
Pn est une C -algèbre.
n∈IN∗
Exercice 3 Quel est le nombre maximal de zéros d’un polynôme trigonométrique, situés dans
l’intervalle [0, 2π[.
14.2.2
Séries de Fourier
Soit f une fonction continue par morceaux 2π-périodique. Si on cherche un polynôme trigonométrique
qui approche f , on doit d’abord décider le mode d’approximation. Un des moyens parmi les
plus simples est l’approximation au sens des moindres carrés: on cherche donc Pn ∈ Pn tel
Z
2π
2
|f − Pn | soit le plus petit possible. Si f ∈ C2π , nous savons alors que Pn est la projection
0
orthogonale de f sur Pn et donc:
Pn =
n
X
< ek , f > ek .
k=−n
Montrons que la propriété est vraie pour f ∈ E. Notons encore Pn =
n
X
< ek , f > ek . On
k=−n
vérifie que, pour tout entier k ∈ [−n, n], < f − Pn , ek >= 0, on en déduit que, pour tout P ∈ Pn ,
< f − P, f − P >=< f − Pn , f − Pn > + < P − Pn , P − Pn >
ainsi
N2 (f − Pn ) = inf N2 (f − P )
P ∈Pn
On note dans tous les cas d(f, Pn ) = N2 (f − Pn ).Les coefficients < ek , f > sont appelés coefficients de Fourier (exponentiels) de f et souvent notés ck (f ).
Si on cherche la décomposition de la projection orthogonale de la foncton f sur la base orthogonale {1, cos, . . . , cosn , sin, . . . , sinn }, on trouve alors:
Pn =< 1, f > +
=< 1, f > +
n
X
k=1
n
X
n
<
X
cosk
cosk
sink
sink
,f >
+
<
,f >
|| cosk ||2
|| cosk ||2
|| sink ||2
|| sink ||2
k=1
(ak (f ) cosk +bk (f ) sink ) ,
k=1
en posant, pour tout entier naturel non nul n:
an (f ) =
1
1
< cosn , f >=
|| cosn ||22
π
1
1
bn (f ) =
< sinn , f >=
|| sinn ||22
π
Z
2π
f (t) cos nt dt
Z
0
2π
f (t) sin nt dt.
0
1
appelés coefficients de Fourier en cosinus et sinus.Le coefficient < 1, f > est égal à
2π
on unifie les formules en posant:
1
a0 (f ) =
π
Z
2π
f (t)dt.
0
Z
2π
f (t) dt;
0
4
Séries de Fourier
Pn s’écrit alors:
n
Pn =
a0 (f ) X
+
(ak (f ) cosk +bk (f ) sink ).
2
k=1
Définition 2 La série de Fourier de f est alors la série de fonctions:
+∞
a0 (f ) X
S(f ) =
+
(an (f ) cosn +bn (f ) sinn ).
2
n=1
Elle est égale à la série:
+∞
X
S(f ) =
cn (f )en .
n=−∞
Nous noterons, par la suite, pour tout entier naturel n:
Sn (f ) = Pn =
n
X
n
< ek , f > ek =
k=−n
a0 (f ) X
+
ak (f ) cosk +bk (f ) sink ,
2
k=1
appelée somme partielle de la série de Fourier de f .
Proposition 5 Sn : C2π → C2π est la projection orthogonale sur Pn .
[Ind] Comprendre ce qui précède.
Calcul pratique des coefficients de Fourier Dans certains cas, il est possible de simplifier
les calculs des coefficients de Fourier d’une fonction f .f étant une fonction 2π- périodique, pour
tout réel a, on a
∀n ∈ ZZ cn (f ) =
1
2π
Z
a+π
f (t)e−int dt
a−π
et des formules analogues pour les coefficients an (f ) et bn (f ).Si f est une fonction réelle, pour
tout n ∈ IN, les coefficients an (f ) et bn (f ) sont réels et cn (f ) = c−n (f ); an (f ) = 2<(cn (f )) et
bn (f ) = −2 Im(cn (f )) = 2 Im(c−n (f )).
Si f est paire, pour tout n ∈ IN:
bn (f ) = 0 et an (f ) =
2
π
Z
π
f (t) cos ntdt.
0
Si f est impaire, pour tout n ∈ IN:
2
an (f ) = 0 et bn (f ) =
π
Z
π
f (t) sin ntdt.
0
Exercice 4 Soit f une fonction de E vérifiant l’une des propriétés suivantes:
a) ∀x ∈ IR f (x + π) = f (x)
b) ∀x ∈ IR f (x + π) = −f (x)
c) ∀x ∈ IR f (π − x) = f (x)
d) ∀x ∈ IR f (π − x) = −f (x)
Représenter l’allure de f , de ses parties paire et impaire et montrer que certains coefficients de
Fourier de f sont alors nuls.
14.3. Convergence de la série de Fourier d’une fonction
5
14.3
Convergence de la série de Fourier d’une fonction
14.3.1
Convergence en moyenne quadratique
Pour une fonction continue quelconque f , les sommes partielles Sn (f ) ne convergent pas nécessairement
vers f au sens usuel (convergence simple ou uniforme). Soit f ∈ E. On déduit de l’égalité
< f − Sn (f ), Sn (f ) >= 0 la relation
N2 (f )2 = N2 (Sn (f ))22 + d(f, Pn )2
ainsi que l’inégalité de Bessel:
n
X
2
|ck (f )| ≤ N2 (f )2
k=−n
On en déduit alors que
2
2
Proposition 6 Soit f ∈ E, la série de terme général |ck (f )| + |c−k (f )| est convergente.
[Ind] Pourquoi une série à termes positifs converge-t-elle ?
En exploitant le fait que la suite d(f, Pn )n∈IN est décroissante et le théorème de Stone-Weierstrass
(version trigonométrique), on montre alors :
Théorème 1 Soit f ∈ C2π .
lim ||Sn (f ) − f ||2 = 0.
n→+∞
On dit alors que la suite (Sn (f )) converge vers f dans l’espace C2π muni de la norme || · ||2
(convergence en moyenne quadratique.
[Ind] Un peu difficile à trouver tout seul. On fait un raisonnement par densité.
De ce théorème, on en déduit:
Théorème 2 (Formule de Parseval). Soit f ∈ C2π . La série des carrés des modules des coefficients de Fourier complexes (cn (f ))n∈Z
Z converge ainsi que les séries des carrés des modules des
coefficients de Fourier (an (f )) et (bn (f )) et
||f ||22
1
=
2π
Z
2π
2
|f (t)| dt =
0
+∞
X
2
2
|cn (f )| = |c0 | +
n=−∞
+∞
X
2
2
(|cn (f )| + |c−n (f )| )
n=1
+∞
1X
|a0 (f )|
2
2
+
(|an (f )| + |bn (f )| )
=
4
2 n=1
2
[Ind] La convergence entrı̂ne la convergence des normes.
Remarque: (Pour les applications en Physique) Les deux théorèmes restent vrais lorsque f ∈ E
en remplaçant || · ||2 par N2 (·).
14.3.2
Convergence simple, convergence uniforme
Soit f une fonction 2π-périodique, continue et C1 par morceaux, on trouve alors que, pour tout
entier relatif n non nul :
1
cn (f ) = cn (f˜0 )
in
+∞ µ¯
¯
¯
¯2 ¯
¯2 ¶
¯ ˜0 ¯2 X ¯
¯
0 ¯
0 ¯
˜
˜
La série ¯c0 (f )¯ +
étant convergente, on en déduit:
¯cn (f )¯ + ¯c−n (f )¯
n=1
6
Séries de Fourier
Théorème 3 Si f est une fonction 2π-périodique, continue, C1 par morceaux alors:
+∞
X
|cn (f )| converge
n=−∞
et la série de Fourier de f converge normalement et donc uniformément vers f .
[Ind] Comprendre ce qui précède et majorer le terme général.
Pour une fonction quelconque de E, on n’ a pas de théorème particulier sur la convergence simple
de la série de Fourier de f , en revanche si elle est de plus de classe C 1 par morceaux, on peut
appliquer le théorème de Dirichlet
Théorème 4 Soit f une fonction 2π-périodique et C1 par morceaux, la série de Fourier converge
1
simplement vers la fonction g qui à x ∈ IR associe (f (x + 0) + f (x − 0)).
2
[Ind] Noyau de Poisson.
En particulier, en tout point x ∈ IR où la fonction f est continue, on a
f (x) =
+∞
X
cn (f )einx
n=−∞
Exemples.1) Soit f la fonction impaire 2π-périodique définie sur ]0, pi[ par f (x) = 1. La fonction
étant C1 par morceaux en un point c de discontinuité de f , on a f (c) =
On en déduit que la série de Fourier de f converge simplement vers f .
Le graphique suivant montre les premières sommes partielles.
Les 4 premiŁres
1
0,5
x
-3
-2
-1
0
0
-0,5
-1
Traçons S31 :
1
2
3
1
2
(f (c + 0) + f (c − 0)).
14.3. Convergence de la série de Fourier d’une fonction
7
La 31 Łme
1
0,5
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
-0,5
-1
La convergence ne peut être uniforme sur [−π, π], puisque les sommes partielles sont continues,
alors que la fonction f ne l’est pas.
Z
2 +π
Les coefficients de Fourier de la fonction sont : an = 0 car f est impaire et bn =
f (t)sinntdt =
π −π
·
¸π
Z
n
2 +π
2
cos(nt)
2 1 − (−1)n
4X 1
sin(nt)dt =
−
=
nous posons Un (x) =
sin(2k +
π −π
π
n
π
n
π
2k + 1
0
k=0
1)x.
!
à n
n
X
4
4X
0
cos(2k+1)x = Re
ei(2k+1)x =
Cherchons les extrêmaux de Un sur [0, π] : On a Un (x) =
π
π
k=0
k=0
µ ix
¶
µ
¶
4
e − ei(2n+1)x
4
1 − ei2(n+1)x
4 sin2(n + 1)x
2 sin2(n + 1)x
Re
= Re
=
=
. Ainsi
π
1 − e2ix
π
e−ix − eix
π
2sinx
π
sinx
Sup
kπ
les zéros de u0n (x) sont 2(n + 1)x = kπ ou x =
. Nous avons donc [0, π] Un (x) ≥
2(n + 1
µ
¶
π
Un
En fait on montre qu’il y a égalité. Calculons :
2(n + 1)
µ
¶
n
π
4X 1
(2k + 1)π
Un
=
sin
or
2(n + 1)
π
2k + 1
2(n + 1)
k=0
µ
Un
π
2(n + 1)
¶
+
n
2n+1
4X 1
(2k)π
4 X 1
(k)π
sin
=
sin
π
2k
2(n + 1)
π
k
2(n + 1)
k=1
k=1
. Utilisons les sommes de Riemann :
n
n
X
X
(2k)π
1
1
sin
=
2k
2(n + 1)
2(n + 1)
k=1
1
qui tend vers
2
Z
0
1
k=1
(k)π
1
sin
k
(n + 1)
n+1
sin(πx
dx. De même :
x
2n+1
X
2n+1
X
1
(k)π
1
sin
=
k
2(n + 1)
2(n + 1)
1
(k)π
sin
k
2(n + 1)
k=1
k=1
2(n + 1)
µ
¶
Z 1
Z
Z
π
2 1 sin(πx]
2 π sinx
sin(πx
qui tend vers
dx. Ainsi Un
tend vers
dx =
dx
x
2(n + 1)
π 0
x
π 0
x
0
qui vaut à peu près 1, 178 ce qui montre par un calcul que la convergence n’est pas uniforme. C’est
8
Séries de Fourier
le phénomène de Gibbs. 2) Calculons la série de Fourier de la fonction f paire, 2π-périodique,
définie par: pour tout x ∈ [0, π], f (x) = x.
Z
2 π
2 (−1)n − 1
an (f ) =
x cos nx dx =
si n 6= 0
π 0
π
n2
2 π2
en effectuant une intégration par parties, alors que a0 (f ) =
= π.
π 2
Les sommes partielles sont donc, pour tout n ≥ 1:
[ n−1
2 ]
π
4 X cos(2k + 1)x
Sn (x) = −
.
2
π
(2k + 1)2
k=0
Le graphe suivant représente les 11 premières sommes partielles de la fonctionf .
Les 11 premiŁres
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Exercice 5 Calculer
+∞
X
k=0
+∞
X
1
1
et en déduire
.
(2k + 1)2
k2
k=1
p
Etude des fonctions de classe C , p ≤ 1 Considérons une fonction de classe C p−1 et de
classe Cp par morceaux, p ≤ 1, 2π périodique sur IR. Soit n ∈ ZZ∗ .
Z 2π
Z 2π
1
e−int
1
1
f (t)e−int dt =
f 0 (t)
dt =
< en , f 0 >
cn (f ) =
2π 0
2π 0
n
in
en effectuant une intégration par parties. On obtient donc:
cn (f ) =
1
cn (f 0 ).
in
Ce qui signifie que les coefficients de Fourier de la fonction f 0 s’obtiennent en dérivant terme à
terme la série de Fourier de f .
En recommençant l’opération , on en déduit:
cn (f ) =
1
< en , f (p) > .
(in)p
K
On en conclut qu’il existe K ∈ IR+ tel que |cn (f )| ≤ p .
n
On peut alors remarquer que plus f est régulière, plus sa série de Fourier est rapidement convergente.
14.4. Séries trigonométriques, synthèse de Fourier
14.4
9
Séries trigonométriques, synthèse de Fourier
On distingue en général 2 types de problèmes:Étant donnée une fonction f , trouver sa série de
Fourier et regarder dans quelle mesure elle représente la fonction f : c’est le problème de l’analyse
de Fourier.Étant donnée une série trigonométrique, étudier sa convergence et les propriétés de
sa somme; c’est le problème de la synthèse de Fourier.
Définition 3 Une série de fonctions
trigonométrique.
P
un où un (x) = an cos nx + bn sin nx est appelée série
Proposition 7 Soit (an )n≥0 et (bn )n≥0 deux suites complexes et (un )n≥0 la série trigonométrique
de terme général unP= an cosn +bn sinn .
P
1) Si pour x ∈ IR,
un (x) converge, alors
un (x + 2π) converge.
La somme d’une
série
trigonométrique
est
donc
P
P
P 2π-périodique.
2) Si les séries
|an | et
|bn | convergent,
un converge normalement et donc uniformément
sur IR et la somme de la série est donc une fonction continue.
3) Si la série trigonométrique converge et si la série
+∞
X
(−nan sinn +nbn cosn )
k=0
(obtenue par dérivation terme à terme) est uniformément convergente sur un intervalle, sa
somme est la dérivée de la somme de la série, sur l’intervalle considéré.
+∞
X
4) Si
αn z n est une série entière de rayon de convergence strictement supérieur à 1, alors
n=0
+∞
X
T (x) =
αn einx est une fonction C∞ de la variable réelle x.
n=0
+∞
+∞
X
X
1
1
(T (x) + T (−x)) =
αn cos nx et S(x) = (T (x) − T (−x)) =
αn sin nx sont
2
2i
n=0
n=0
donc des fonctions C∞ de la variable réelle x, de même que leurs parties réelles et imaginaires.
C(x) =
[Ind] Appliquer les résultats sur les séries de fonctions.
P n n
Exemple: Soit α un réel vérifiant 0 < α < 1. La série entière
α z a un rayon de convergence
égal à 1/α et
µ
¶
+∞
X
1 − α cos x
1
n
α cos nx = <
=
ix
1 − αe
1 + α2 − 2α cos x
n=0
+∞
X
µ
n
α sin nx = Im
n=0
1
1 − αeix
¶
=
α sin x
1 + α2 − 2α cos x
Exercice 6 Montrer que:
+∞
X
1 + αz
=2
αn z n − 1,
1 − αz
n=0
puis que:
1+2
+∞
X
n=1
en posant θ = 2 arctan α.
αn cos nx =
1 − α2
cos θ
=
,
2
1 + α − 2α cos x
1 − sin θ cos x
10
Séries de Fourier
P
un , où un (x) =
Expression des coefficients en fonction de la somme Supposons
an cos nx + bn sin nx pour tout x, uniformément convergente sur l’intervalle [0, 2π] de sorte que
Z 2π
P
l’on puisse intervertir le symbole
et
et notons S sa somme.
1
< cosp , S >=
2π
Z
0
2π
0
Z 2π
+∞
X
1
S(t) cos ptdt =
un (t) cos ptdt,
2π 0
n=0
or, si n 6= 0
< cosp , un >=
1
δpn an
2
et
< cosp , u0 >= δpn a0 .
Ainsi
(
a0
< cosp , S >= 1
2 ap
si p = 0
si p =
6 0.
De la même façon, on montre que:
< sinp , S >=
(
0
1
2 bp
si p = 0
si p =
6 0.
Définition 4 Soit (vp )p∈Z
Z On dira que la série
Z une suite indexée par Z.
+∞
X
vp converge (au
p=−∞
sens de Cauchy) si lim
n→+∞
est égale à
lim
n→+∞
n
X
n
X
vp existe. Cette limite est alors appelée somme de la série et elle
p=−n
(vp + v−p ) − v0 .
p=0
En posant c0 = a0 et pour tout entier naturel n non nul: cn = 12 (an − ibn ) et c−n = 12 (an + ibn ),
on peut alors écrire:
+∞
X
S(x) =
cn einx ,
n=−∞
et on a, pour tout entier relatif n:
< en , S >= cn .
∗
Les coefficients an et bn , pour n ∈ IN s’en déduisent alors:
(
c0
si n = 0
an =
cn + c−n si n 6= 0
(
0
si n = 0
bn =
i(cn − c−n ) si n 6= 0
On peut donc retrouver les coefficients de la série à l’aide de la somme:
Proposition 8 La série de Fourier de la somme d’une série trigonométrique uniformément
convergente est la série trigonométrique elle-même.
[Ind] C’est le calcul précédent.
Pour terminer ce paragraphe, on peut se demander si une fonction dont la série de Fourier ne
possède pas de bonnes propriétés de convergence ne pourrait pas par un moyen ou un autre se
représenter comme la somme d’une série trigonométrique qui elle convergerait et la réponse est
non:
14.5. Cas des fonctions T -périodiques
11
Proposition 9 Soit f ∈ C2π . Si une série trigonométrique converge vers f au sens de la
moyenne quadratique, cette série est la série de Fourier de f .
[Ind] Penser à la continuité
Proposition 10 Unicité de la série de Fourier. L’application de C2π dans CZZ qui, à une
fonction f associe la suite de terme général fˆ(n) = cn (f ) est injective.
[Ind] C’est un corollaire.
Remarque: Ces deux dernières propositions sont aussi vraies dans E. La série de Fourier d’une
fonction f de E détermine de façon unique la fonction f .
Exercice 7 Quelle est la série de Fourier de la fonction x 7→ cos4 x ? Quelle est la série de
Fourier d’un polynôme trigonométrique ?
Exercice 8 Montrer que
1
2π
14.5
Z
2π
0
1 − α cos x
cos nx dx =
1 + α2 − 2α cos x
(
1 n
2α
1
si n 6= 0
si n = 0.
Cas des fonctions T -périodiques
On peut considérer l’espace vectoriel DT des fonctions à valeurs complexes, définies sur IR continues par morceaux, T -périodiques, telles que la valeur en tout point est égale à la demi-somme
des limites à droite et à gauche en ce point.Sur cet espace, on construit le produit scalaire:
∀f, g ∈ D
1
< f, g >=
T
T
Z
T
f (t)g(t)dt.
0
Une famille orthonormée de fonctions dans cette espace est alors la famille eTn définies par: pour
2π
nx
2π
nx
tout n ∈ ZZ et pour tout x ∈ IR eTn (x) = ei T
S(f )(x) =
+∞
X
cTn (f )ei T
.La série de Fourier de f ∈ DT est alors:
n=−∞
+∞
=
aT0 (f ) X T
2π
2π
+
(ak (f ) cos(k x) + bTk (f ) sin(k x)),
2
T
T
k=1
où, pour n ∈ ZZ et k ∈ IN:
cTn (f ) =
aTk (f ) =
1
T
2
T
2
bTk (f ) =
T
Z
T
0
Z
T
0
Z
0
T
2π
f (t)e−i T nt dt
µ
¶
2π
f (t) cos k t dt
T
µ
¶
2π
f (t) sin k t dt.
T
Les résultats théoriques restent les mêmes (mutatis mutandis).
Exercice 9 Trouver la série de Fourier de la fonction partie fractionnaire d’un réel.
12
14.6
Séries de Fourier
Exemples et applications
1) Soit f 2π-périodique, définie sur [0, 2π[ par f (x) = eiαx où α ∈ IR − Z.
Z Pour p ∈ Z:
Z
1
cp =
2π
Z
2π
ei(α−p)x dx
0
·
¸2π
1 ei(α−p)x
2πi α − p 0
¡ i2πα
¢
−i
=
e
−1 .
2π(α − p)
=
Ainsi, en appliquant le théorème de Dirichlet:
∀x ∈]0, 2π[ e
iαx
−i(ei2πα − 1)
=
2π
Ã
+∞
X
einx
α−p
p=−∞
!
.
Et donc pour x = π, on trouve:
+∞
X
(−1)p
π
=
.
sin απ p=−∞ α − p
2) Soit f 2π-périodique, définie sur ] − π, π] par f (x) = cos αx où α ∈ IR − Z.
Z La fonction f est
paire, continue, C1 par morceaux et pour n ∈ IN:
Z
2 π
an =
cos αx cos nx dx
π 0
Z π
1
=
cos(α + n)x + cos(α − n)x dx
π 0
·
¸
1 sin(α + n)π sin(α − n)π
+
=
π
α+n
α−n
·
¸
1
1
n sin απ
+
= (−1)
π
α+n α−n
2α sin πα (−1)n
=
.
π
(α2 − n2 )
Ainsi:
∀x ∈ [−π, π]
et donc
+∞
sin απ
sin απ X (−1)n cos nx
cos αx =
+ 2α
,
απ
π n=1 α2 − n2
+∞
1
2α X (−1)n cos nx
cos αx
=
+
,
sin απ
πα
π n=1 α2 − n2
ce qui donne, pour x = π:
πcotan πα =
+∞
X
1
1
+ 2α
.
2
α
α − n2
n=1
p
1
1
≤ 2
pour n ≥ sup(a2 , b2 ) et donc
2
2
2
−α
n − sup(a , b )
la série (en α) précédente est normalement convergente sur tout intervalle fermé ne rencontrant
pas Z.
Z Dérivons la série terme à terme:
Si α ∈ [a, b] où [a, b] ∩ ZZ = ∅, on a
µ
n2
1
α2 − n2
¶0
=
−2x
,
(α2 − n2 )2
14.7. Complément : fonctions polynomiales par morceaux
or
X
13
1
est normalement convergente sur [a, b], donc
(α2 − n2 )2
−
+∞
+∞
X
X
π2
−1
1
−2α
=
+
2
+
2α
,
2
2
2
2
2
α
α −n
(α − n2 )2
sin πα
n=1
n=1
¶
+∞ µ
X
−α2 + n2
π2
1
2α2
=
+
2
+
α2
(α2 − n2 )2
(α2 − n2 )2
sin2 πα
n=1
=
or
+∞
X
1
α2 + n2
+
2
,
α2
(α2 − n2 )2
n=1
1
1
α 2 + n2
+
=
2
,
(α − n)2
(α + n)2
(α2 − n2 )2
ainsi
+∞
X
π2
1
=
.
2
sin πα n=−∞ (α − n)2
Exercice 10 Montrer que, si α ∈ IR − Z,
Z alors
∀x ∈] − π, π[
sin αx =
+∞
2 sin απ X
n
(−1)n 2
sin nx.
π
α − n2
n=1
Exercice 11 Trouver la série de Fourier de la fonction 2π-périodique, impaire définie sur [0, π]
par f (x) = sin αx où α ∈ IR − Z.
Z
14.7
Complément : fonctions polynomiales par morceaux
Définition 5 Soit f continue par morceaux définie sur un voisinage du réel x0 . On appelle saut
de la fonction f en x0 le réel Sx0 = f (x0 + 0) − f (x0 − 0).
Soit f une fonction de D définie sur ] − π, π[ par

P1 (x)
si x ∈]π, x1 [




P2 (x)
si x ∈] − x1 , x2 [
f (x) =
.
..





Pm (x) si x ∈]xm−1 , π[
où −π < x1 < · · · < xm−1 < π et où P1 , . . . , Pm sont des fonctions polynomiales. On dit que f
est polynomiale par morceaux.
La fonction f est dérivable sur I =] − π, π[−{x1 , . . . , xm−1 } et sa dérivée f 0 est prolongeable
sur IR en une fonction f˜0 de D polynomiale par morceaux. En recommençant l’opération, on
peut ainsi construire une suite f˜(0) = f, f˜0 , f˜00 , . . . , f˜(p) , . . . de fonctions de D polynomiales par
morceaux et vérifiant, pour tout x ∈ I et tout entier p, f˜(p) (x) = f (p) (x).
Puisque f est périodique et polynomiale par morceaux, il existe q ∈ IN tel que f˜(q) = 0.Pour
p variant 0 à q − 1, les fonctions f˜(p) possèdent en x0 = −π, x1 , . . . , xm−1 des sauts notés
(p)
(p)
sx0 , . . . , sxm−1 .Calculons les coefficients de Fourier de f :
Soit n ∈ ZZ − {0} et cn (f ) le coefficient de Fourier exponentiel de la fonction f .
Z π
1
f (t)e−int dt
cn (f ) =
2π −π
m−1 Z
1 X xk+1
=
f (t)e−int dt
2π
xk
k=0
14
Séries de Fourier
où on a posé xm = π.
Pour k ∈ [0, m − 1],
Z xk+1
Z
f (t)e−int dt =
xk
xk+1
Pk+1 (t)e−int dt
xk
¸x
·
Z
i xk+1 0
ie−int k+1
−
Pk+1 (t)e−int dt
= Pk+1 (t)
n
n xk
xk
ainsi, on trouve
cn (f ) =
m−1
i X (0) −inxk
i
sx k e
− cn (f˜(1) ).
2πn
n
k=0
On peut donc ainsi calculer les coefficients de Fourier de f et on trouve
an (f ) = −
m−1
m−1
m−1
1 X (0)
1 X (1)
1 X (2)
sxk sin nxk + 2
sxk cos nxk − 3
sxk sin nxk − · · ·
nπ
n π
n π
k=0
bn (f ) =
k=0
k=0
m−1
m−1
m−1
1 X (0)
1 X (1)
1 X (2)
sxk cos nxk − 2
sxk sin nxk + 3
sxk cos nxk + · · ·
nπ
n π
n π
k=0
k=0
k=0
Exemples
Soit f la fonction de D définie pour |x| < π par f (x) = x2 . La fonction est paire, continue, et,
pour |x| < π
f˜(1) = 2x
f˜(2) = 2
(1)
Le seul saut non nul est s−π = −4π, ainsi
∀n ∈ IN∗
an (f ) =
1
(−1)n−1
(−4π cos nπ) = 4
.
2
n π
n2
Soit f la fonction impaire de D définie pour 0 < x < π par f (x) = x2 . Les seuls sauts non nuls
(2)
(2)
(0)
sont s−π = −2π 2 , s−π = −4 et s0 = 4, ainsi
∀n ∈ IN∗
14.8
−π 2 cos nπ −4 cos nπ 4 cos 0
−
− 3
nπ
n3 π
n π
n−1
n
(−1)
1 − (−1)
=π
−4
.
n
πn3
bn (f ) =
Complément 2
Proposition 11 Soit < ·, · > la forme définie sur D par:
Z 2π
1
∀f, g ∈ D < f, g >=
f (t)g(t)dt.
2π 0
< ·, · > est un produit scalaire sur D.
[Ind]
Théorème 5 (Formule de Parseval). Soit f ∈ D. La série des carrés des modules des coefficients de Fourier complexes (cn (f ))n∈Z
Z converge et
Z 2π
+∞
+∞
X
X
1
2
2
2
2
2
|cn (f )| = |c0 | +
(|cn (f )| + |c−n (f )| ).
|f (t)| dt =
||f ||22 =
2π 0
n=−∞
n=1
[Ind]
14.9. Exercices
14.9
15
Exercices
Exercice 12 Calculer les séries de Fourier des fonctions de E vérifiant, pour |x| < π:
f (x) = |sin x| ,
f (x) = |cos x| ,
f (x) = sin x2 ,
f (x) = π − x,
f (x) = cos x2 , f (x) = x(π − x).
Exercice 13 Calculer la série de Fourier de la fonction f définie pour x réel par f (x) =
1
où a est un réel non nul.
ch a + cos x
Exercice 14 Développer en série de Fourier la fonction de période 2π définie par:


si − π < x < 0
0
2
f (x) = x
si 0 ≤ x < π

 π2
si x = π.
2
Expliquez le comportement des coefficients de Fourier de cette fonction.
+∞
+∞
X
X
(−1)k+1
1
En déduire
et
.
k2
k2
k=1
k=1
3
Exercice 15 Soit f : IR → IR, t 7→ |sin t| .
a) Déterminer la série de Fourier de f ; étudier sa convergence.
b) En utilisant la formule de Parseval, montrer que:
π2 =
+∞
256 4608 X
1
+
.
45
5 n=1 (4n2 − 1)2 (4n2 − 9)2
c) Étudier la convergence des séries obtenues à partie de la série de Fourier de f par dérivations
successives, terme à terme.
Exercice 16 Développer en série de Fourier des fonctions f et g de E vérifiant, pour |x| < π:
f (x) = sh x et g(x) = ch x.
Exercice 17 Soit f une fonction appartenant à C2π ; (an ) et (bn ) ses coefficients de Fourier.
Montrer que les séries de terme général ann , bnn et an bn sont absolument convergentes.
Exercice 18 Trouver les valeurs a0 , a1 , . . . an qui minimisent l’expression:
Z π
a0
(sin x −
− a1 cos x − · · · an cos nx)2 dx.
2
0
Exercice 19 Calculer la série de Fourier d’une fonction f de E vérifiant, pour |x| < π : f (x) =
|x|.
+∞
+∞
X
X
1
π4
1
π4
=
puis
que
=
.
En déduire que
(2p + 1)4
96
p4
90
p=1
p=0
Retrouver cette dernière égalité en calculant la série de Fourier de la fonction g de D définie
pour |x| < π par f (x) = x2 .
Exercice 20 Soit α ∈ IR. Développer en série de Fourier une fonction f de E vérifiant, pour
|x| < π : f (x) = ch αx.
∞
X
1
En déduire
.
k 2 + α2
k=0
Exercice 21 Soit Q le carré de IR2 défini par les inégalités 0 ≤ t ≤ π et 0 ≤ x ≤ π; et soit K
la fonction définie sur Q par:
(
t(π − x) si t ≤ x
K(t, x) =
x(π − t) si t > x.
16
Séries de Fourier
a) Soit ϕ une fonction continue sur [0, π] et soit ψ la fonction définie sur [0, π] par
Z
1 π
ψ(x) =
K(t, x)ϕ(t) dt.
π 0
Montrer que ψ vérifie l’équation ψ 00 = −ϕ; montrer que ψ est déterminée de façon unique
par l’équation précédente et les conditions ψ(0) = ψ(π). Déterminer ψ lorsque ϕ(x) = sin nx
(n ∈ IN).
b) Pour x ∈ [0, π] fixé, on désigne par fx la fonction impaire de période 2π sur IR définie pour
0 ≤ t ≤ π par fx (t) = K(t, x).
Déterminer les coefficients de Fourier de fx , et montrer que la série de Fourier de fx converge
simplement vers fx . En déduire la valeur de
∞
X
sin nt sin nx
n2
n=1
et
∞
X
sin2 nx
.
n2
n=1
∞
X
sin2 nx
c) Montrer que la série
peut être intégrée terme à terme sur [0, π] et en déduire
n2
n=1
∞
X
1
.
n2
n=1
14.10. Travaux Dirigés
17
14.10
Travaux Dirigés
14.10.1
Énoncés
Exercice 22 Soit f la fonction impaire, 2π-périodique égale à 1 sur ]0, π[ et telle que f (π) = 0.
a) développer f en série de Fourier.
b) Justifier la convergence de la série de Fourier de f .
(dans tous les cas il est conseillé de faire, si possible un graphe rapide de f pour mettre en
évidence la parité et la régularité de la fonction.)
Exercice 23 Soit f 2π-périodique, égale à |x| sur [−π, π].
a) reprendre les questions de l’exercice 1.
X
X 1
1
b) en déduire la valeur de A =
et
B
=
.
(2k + 1)2
k2
k≥0
k≥1
Exercice 24 Soit f π-périodique égale à x(π − x) sur [0, π], mêmes questions quà l’exercice 1.
Exercice 25 Soit f la fonction 2π-périodique définie pour |x| ≤ π par f (x) = |shx|.
a) Tracer le graphe de f .
b) Montrer sans aucun calcul, que la série de Fourier de f converge simplement vers f sur IR.
c) Déterminer le développement en série
´ f.
³ de Fourier de
shu
la formule suivante :
d) Calculer f (π) − f (0) et en déduire th u2 = 1+chu
π ³π´ X
1
th
=
2
2
2
2k + 2k + 1
k≥0
Exercice 26 Soit f une fonction T -périodique de classe C p .
¡ ¢
a) calculer an (f ) et bn (f ) en fonction de an (f (p) ) et bn (f (p) ) et en déduire que an (f ) = O n1p
de même pour les . bn (f ) .
b) Que peut-on en conclure quant à la convergence de la série de Fourier d’une fonction de classe
C p avec p ≥ 2 .
¯
¯
Exercice 27 Soit f (x) = ¯sin3 x¯.
a) Quelle est la parité de f ? Quelle est sa période?
b) Calculer les coefficients de Fourier de f .
c) Montrer que la série de Fourier de f converge vers f sur IR.
Exercice 28 Soit f impaire, 2π-périodique définie par f (x) = (x−2π)(3π−x) pour x ∈ [2π, 3π].
1◦ ) Calculer les coefficients de Fourier de f .
2◦ ) Etudier la convergence de la série de Fourier de f .
X (−1)k
X
1
3◦ ) Calculer S1 =
et
S
=
.
2
(2k + 1)3
(2k + 1)6
k≥0
k≥0
Z π2
◦
4 ) Calculer
f (x)dx de deux façons.
0
5◦ ) Soit g la primitive de f nulle en zéro. Montrer que g est périodique et la calculer pour
|x| ≤ π. Quel est le développement de g en série de Fourier.
Exercice 29 1◦ ) Soit α ∈ IR\Z
Z. Ecrire le développement en série de Fourier de la fonction f
2π-périodique définie pour x ∈ [−π, +π] par f (x) = cos αx.
2◦ ) Etudier la convergence de cette série.
2x
1 X
.
3◦ ) Soit x ∈ IR\Z
Z. Montrer que cot anx = +
x
x2 − n2 π 2
n≥1
X
1
4◦ ) Calculer pour tout α ∈
/ ZZ : A(α) =
.
n2 − α2
n≥1
X 1
.
5◦ ) Calculer A =
n2
n≥1
18
Séries de Fourier
Exercice 30 Développer en série de Fourier la fonction 2π-périodique définie par f (x) = x2 sur
]0, 2π[.
Exercice 31 Trouver les valeurs a0 , a1 , · · · , an qui minimisent l’expression :
Z π³
´2
a0
sin x −
− a1 cos x − · · · − an cos nx dx
2
0
Exercice 32 On donne f (x) = max(0, sin x). Etudier la série de Fourier de f : convergence.
Exercice 33 Soit α ∈ IR et f : IR → IR, 2π-périodique telle que : f (x) = ch αx sur [−π, +π].
+∞
+∞
+∞
X
X
1
(−1)n−1 X
1
Développer f en série de Fourier, en déduire :
,
,
.
2+α
2+α
2 + α)2
n
n
(n
n=1
n=1
n=1
Exercice 34 Soit f ∈ C 1 (IR, IR), 2π-périodique, telle que
R 2π 02
f (t)dt. Etudier le cas d’égalité.
0
R 2π
0
f (t)dt = 0. Montrer que
R 2π
0
f 2 (t)dt ≤
14.11. Exercices
14.11
Exercices
14.11.1
Indications
19
Exercice 1 Mieux vaut transformer les produits en sommes.
Exercice 2 Décomposer les polynômes dans les bases. Que faut-il pour être une algèbre.
Exercice 3
Exercice 4 Faire des changements de variable dans les intégrales de définition des coefficients
de Fourier.
Exercice 5 Dans la série de Fourier précédente pour quelle valeur de x vous pouvez trouver la
première somme. Pour la seconde, séparer les termes pairs des termes impairs.
Exercice 6 Penser aux séries entières, suivre l’indication.
Exercice 7 Linéarisez et reconnaissez.
Exercice 8 L’intégrale est un coefficient de Fourier, de quelle fonction ? Penser à l’exemple
précédent.
Exercice 9 La fonction fractionnaire peut sécrire : f (x) = x−[x], chercher si elle est périodique
puis faire les calculs.
Exercice 10 Vous avez trouvé le développement en série de Fourier de cosαx regarder si vous
pouvez justifier une dérivation. Sinon il faut adapter tous les claculs précédents.
Exercice 11 C’est la suite de l’exercice précédent.
Exercice 12 C’est un exercice d’entraı̂nement. Calculer les intégrales en divisant le domaine
d’intégration et en utilisant les formules trigonométriques.
Exercice 13 Mettre f sous la forme d’une fraction rationnelle que l’on décompose,puis la
développer pour trouver directement le développement en série de Fourier.
Exercice 14 Calculer les coefficients de Fourier en séparant le domaine d’intégration. Observer
la série de Fourier et la régularité de la fonction.Trouver les valeurs de x qui vous donneront les
valeurs des séries.
Exercice 15 Pour calculer les coefficients de Fourier linéariser. Utiliser Parseval. Bien justifier
les dérivations termes à termes.
Exercice 16 Passer par la forme exponentiel. Peut-on dériver ?
Exercice 17 Parseval vous donne une convergence de série, utiliser Cauchy-Schwarz.
Exercice 18 Penser projection sur un sous-espace de dimension finie, distance minimale. Bien
définir le cdre où vous pourrez appliquer le théorème. Penser à la nécessité d’avoir une base
orthonormée.
Exercice 19 C’est du calcul. Penser à Parseval.
Exercice 20 Passer à la forme exponentielle. Justifier la convergence et vers qui ? Trouver la
valeur de x ou Parseval.
Exercice 21 Il s’agit de dériver sous le signe intégrale avec dépendance par une borne. Attention. Résoudre l’équation différentielle. V{erifier que vous pouvez calculer les coefficients de
Fourier, le faire en séparant l’intervalle d’intégration. Finir l’exercice !
20
Séries de Fourier
14.12
Démonstrations
Proposition 1 Grâce à la conjugaison elle est hermitienne < f, g >= < g, f >. La linéarité
vient de la linéarité de l’intégrale. La positivité vient du fait que l’intégrale d’une fonction
positive est positive. Elle sera définie si on peut utiliser que l’intégrale d’une fonction continue,
positive est nulle si et seulement si laa fonction est nulle, donc dans C2π
1
2π
R 2π
0
e−imt eint dt =
1
2π
R 2π
ei(n−m)t dt ainsi si n = m on trouve
· i(n−m)t ¸2π
e
1
l’intégrale de 1 donc le produit scalaire vaut 1 et si m 6= n alors < em , en >= 2π
=
i(n − m) 0
¡ i(n−m)2π
¢
1
1
− 1 = 0.
2π i(n − m) e
Proposition 2 < em , en >=
0
Proposition 3 Pn est un sous espace vectoriel engendré par les ek pour k = −n · · · n donc par
2n + 1 vecteurs indépendants.
1
Proposition 4 On a bien < cosm , cosn >= 0 si n 6= m et = si n = m et puis < sinm , sinn >=
2
1
0 si n 6= m et = si n = m et enfin < sinm , cosn >= 0 pour tout n, m.
2
Proposition 5 La démonstration est faı̂te puisque Sn (f ) est par définition la projection orthogonale sur Pn et que < ek , f > ek = ck (f )ek .
Proposition 6 Le série est à termes positifs et les sommes partielles sont bornées par N2 (f )2
Théorème 1 Si P est un polynôme trigonométrique, on a N22 (f − P ) ≤
2
sup |f (x) − P (x)| .
x∈[0,2π]
Appliquons le théorème de Stone-Weierstrass (version trigonométrique). Pour tout ε ∈ IR∗+ , il
existe un polynôme trigonométrique P de degré n0 tel que supx∈[0,2π] |f (x) − P (x)| ≤ ε. On
en déduit que d(f, Pn0 ) ≤ ε, mais puisque la suite d(f, Pn )n∈IN est décroissante (la suite des
sous-espaces Pn étant croissante), on en déduit que, pour tout entier n supérieur ou égal à n0 ,
d(f, Pn ) ≤ ε.
Théorème 2 Le théorème précédent permet d’affirmer que la suite des projections orthogonales
de f sur les sous-espaces Pn converge pour la norme N2 , la norme étant continues, la suite des
normes des projections orthogonales converge vers la norme de f .
µ
¯
¯
¯
¯ ¶
1 1
¯1
¯ ˜0 ¯2
0 ¯
˜
Théorème 3 Il suffit d’écrire :|cn (f )| = ¯ in cn (f )¯ ≤
+ ¯cn f ¯ . Ces deux dernières
2 n2
séries convergent par Riemann et Parseval.
Théorème 4 Si nous considèrons le noyau de Dirichlet : Dn (t) =
Z
1
2
+
n
X
k=1
cos (kt) on a alors
n
a0 X
Dn = 1 et Sn (x) =
(ak cos (kx) + bk sin (kx)) =
+
2
0
k=1
Ã
!
Z +π
Z
n
1 X
1 +π
1
f
(t)
+
(cos
(kt)
cos
(kx)
+
sin
(kx)
sin
(kt))
dt
=
f (t) Dn (x − t) dt.
π
2
π −π
−π
k=1
Cherchons un autre expression de Dn : on a
µ
µ ¶¶
µ
µ ¶ X
¶
µ
¶ ¶
n
n µ
¡t¢ X
t
1
t
1
2Dn (t) sin 2 =
2 cos (kt) sin
sin k +
+ sin
=
t − sin k −
t +
2
2
2
2
k=1
k=1
µ ¶
t
sin
2
¢
¡
¡
¢
sin n + 12 t
1
¡ ¢ , ce pour t ∈
= sin n + 2 t donc Dn (t) =
/ πZ
Z.
2 sin 2t
2
π
π
14.12. Démonstrations
21
En utilisant le changement de variable t 7−→ x − t et la 2π périodicité on obtient Sn (x) =
Z +π
Z 0
1
D
(t)
f
(x
−
t)
dt.
De
plus
en
utilisant
t
−
7
→
−t
et
la
parité
de
D
on
a
:
Dn (t) f (x − t) dt =
n
n
π
−π
−π
Z +π
Z π
f (x+ ) + f (x− )
1
Dn (t) f (x + t) dt d’où finalement avec k =
Dn (t) (f (x − t) + f (x +
on a Sn (x)−k = π
2
0
µµ
¶ ¶
Z0 +π
1
f (x + t) + f (x − t) − 2k
¡ ¢
n+
t dt avec ϕ (t) =
ϕ (t) sin
on a que ϕ est continue par
2
2π sin 2t
0
0 f (x + t) + f (x − t) − 2k 0+ 1
morceaux sur ]0, π[ mais aussi en 0 et π car ϕ (t) ∼
→ π lim+ (Df (x + h) + Df (x − h))
πt
h→0
Le lemme de Lebesgue donne alors que :
Sn (x) − k
n→+∞
→
0.
P
Proposition 7 Pour 1 S(x) =
un (x + 2π) = S(x)
Pour 2 On majore le terme génŕal par une série numérique convergente il y a donc convergence
normale et la somme est continue.
Pour 3 : C’est le théorème de dérivation d’une série de fonctions.
Pour 4 : Ce sont les résultats des séries entières.
R
P
Proposition 8 Si la série converge uniformément on peut intervertir et
ce qui donne les
coefficients de Fourier qui sont justement les coefficients de la série trigonométrique. Et la somme
est évidement S.
Proposition 9 Le produit scalaire de C2π étant continue, les coefficients de Fourier de f peuvent
se calculer à l’aide de la série convergente. On s’apercoit alors que les coefficients de cette série
sont bien les coefficients de Fourier de la fonction f .
Proposition 10 On applique la proposition précédente, puisque la série de Fourier de f converge au sens de la moyenne quadratique vers f .
Proposition 11 Nous pouvons remarquer que, pour tout réel a:
Z a+2π
1
< f, g >=
f (t)g(t)dt.
2π a
On vérifie facilement que cette forme est une forme sesquilinéaire positive. Montrons qu’elle est
hermitienne.Il suffit de vérifier que si f ∈ D est telle que < f, f >= 0, alors f = 0. La fonction
2
|f | est positive, continue par morceaux et son intégrale sur tout intervalle de longueur [2π est
nulle.
Z x+π
2
Soit x ∈ IR, on a
|f | = 0.
x−π
2
Si x est un point de continuité de f , donc de |f | , on a nécessairement f (x) = 0.
Si x 6= 0 est un point où f est discontinue, il existe un voisinage V de x, situé dans ]0, 2π[, tel
que f est continue sur V − {x}; la valeur f (x) étant égale à la demi-somme des limites à droites
et à gauche, est donc nulle.
Théorème 5 Calculons la norme de Sn (f ) =
n
X
ck (f )ek . Puisque (ek )k∈Z
Z est une famille
k=−n
orthonormée de D, on a:
||Sn (f )||22 =
n
X
2
|ck (f )| .
k=−n
Or:
¯
¯
¯||f ||2 − ||Sn ||2 ¯ ≤ ||f − Sn ||2 ,
et puisque nous savons (théorème 1) que la suite (||Sn (f ) − f ||2 ) converge vers 0, on en déduit
que la série des carrés des modules des coefficients de Fourier converge vers ||f ||22 .
22
Séries de Fourier
14.12.1
Corrigés Travaux Dirigés
Z
Z
1 +π
2 π
Exercice 22 f est impaire f (0) = 0 et les an sont nuls. bn =
f (t) sin ntdt =
sin ntdt =
π −π
π 0
n
2 (1 − (−1) )
4 X sin ((2k + 1) x)
et la série de Fourier de f est F (f ) (x) =
. La fonction
πn
π
2k + 1
k≥0
f est C 1 (IR) par morceaux et d’après le théorème de Dirichlet la série de Fourier converge
vers f (x) en tout point de continuité et vers 12 (f (x+ ) + f (x− )) en un point de discontinuité
1−1
= 0 = f (0) si x = kπ.
F (f ) (x) = f (x) : x 6= kπ et vers 21 (f (0+ ) + f (0− )) =
2
Z
1 +π
Exercice 23 La fonction f est paire et les bn = 0, pour les an =
f (t) cos ntdt si n 6= 0
π −π
Z π
Z π
Z 2π
n
2
2
(−1) − 1
1
π
ou an =
t cos ntdt = 0 −
sin ntdt = 2
et a0 =
f (t) dt = . La
π 0
πn 0
πn2
2π 0
2
π 4 X cos (2k + 1) x
série de Fourier est F (f ) (x) = −
. Pour la convergence, f est continue et
2
2 π
(2k + 1)
n≥0
C 1 par morceaux et le théorème
¯ la convergence uniforme sur IR, ce que l’on
¯ de Dirichlet donne
¯ 4 cos ((2k + 1) x) ¯
K
¯
¯
peut voir directement par sup ¯
¯ ≤ 2 . En particulier F (f ) (0) = f (0) ce qui
2
¯
k
IR ¯
π (2k + 1)
X
π
4X
1
1
π2
donne −
= 0 ou A =
=
. On a l’existence de B car il y a
2
2
2
π
8
(2k + 1)
(2k + 1)
k≥0
k≥0
X 1
X
1
1
convergence absolue et en séparant les termes B =
2 +
2 ou B = 4 B + A et
(2p)
(2p
+
1)
p≥1
p≥0
B=
π2
.
6
Z
2 π
Exercice 24 f est paire, continue, C 1 sur IR. Les bn sont nuls et an =
t (π − t) cos (2nt) dt =
π 0 µ
µ
¶
µ
¶
¶
Z π
Z π
Z π
sin 2nt
1
cos 2nt
1
2
t (π − t) d
= 0+
(π − 2t) d
et an =
−2π
−
2
cos
2ntdt
=
π 0
πn 0
2n
2πn2
0
Z 2n
¢
1
1 π¡
π2
π 2 X cos 2nx
− 2 avec a0 =
πt − t2 dt =
ce qui donne F (f ) (x) =
−
. La convern
π 0
6
6
n2
n≥1
gence est uniforme et on a F (f ) (x) = f (x) mais l’expression de f (x) = x (π − x) ne vaut que
sur [0, π].
Exercice 25 f est paire, continue et C 1 par morceaux Ã
sur IR. Les bn sont nuls
et an =
µZ π t
¶
¸π !
· t(1+in)
Z
2
e − e−t int
1
et(in−1)
1 π
e
f (t) cos (nt) dt = Re
e dt = Re
−
soit an =
π 0
π
2
π
1 + in
in − 1 0
0
µ
¶
n
n
n
(1 − in) (eπ (−1) − 1) + (1 + in) (e−π (−1) − 1)
2 (−1) chπ − 1
1
Re
=
ce qui donne avec
π
1 + n2
π
1 + n2
n
chπ − 1
chπ − 1 2 X (−1) chπ − 1
a0 =
pour la série F (f ) (x) =
+
cos (nx). Le théorème de
π
π
π
1 + n2
n≥1
Dirichlet donne la convergence simple de la série de Fourier vers f . Il y a convergence normale
de la série/
n
2 X (−1) chπ − 1
n
((−1) − 1) ou
On a f (π) − f (0) = F (f ) (π) − F (f ) (0) ou shπ =
π
1 + n2
n≥1
X
n
n≥1
X
π
(−1) chπ − 1
2
π shπ
n
shπ =n impair
((−1) − 1) = (chπ + 1)
2 d’où la formule 2 1 + chπ =
2
2
1+n
1
+
(2n
+
1)
n≥0
X
1
π π
th =
. Cette formule donne d’excellentes valeurs approchées.
2 2
2k 2 + 2k + 1
n≥0
14.12. Démonstrations
23
2π
Z
t
−in
1 T
T dt =
Exercice 26 En supposant f C p avec p ≥ 1 on peut intégrer par parties cn (f ) =
f (t) e
T 0


2π T
2π
Z T
−in
t
−in
t
T 1
T
− 1 f (t) e
T  +
T dt. On a cn (f ) =
f 0 (t) e
cn (f 0 ) car la fnction
2iπn
2iπn T 0
2iπn
0
µ
¶p
¡
¢
T
−in 2π
t
T
t 7→ f (t) e
est T -périodique. Ainsi par récurrence cn (f ) =
cn f (p) . Or pour g
2iπn
¯
¯Z
Z
¯
2π
1 ¯¯ T
1 T
−i T t ¯
dt¯ ≤
continue et T -périodique on a kgk∞ < ∞ et |cn (g)| = ¯
g (t) e
|g (t) dt| ≤
¯ T 0
T ¯ 0
¯ µ ¶p
¯µ
¶p
¯
° (p) ° 1
¯
T
T
°f °
cn (f )¯¯ ≤
kgk∞ en particulier avec g = f (p) on a |cn (f )| = ¯¯
ce qui
∞ np
2iπn
2π
µ ¶
1
K
entraı̂ne bien cn (f ) = O
. En outre si p ≥ 2 : |cn (f ) en (f )| ≤ p la série de Fourier de
p
n
n
f converge normalement sur IR, donc uniformément. Bien entendu on peut avoir la convergence
uniforme de F (f ) avec des hypothèses plus faibles.
Exercice 27 f est paire, π-périodique et l’étude se fait sur [0, π] où f (x) = sin3 x. Cette
fonction est de classe C ∞ par morceaux, mais les raccordements en kπ prouvent qu’elle est C 2
sur IR. Z
3 sin t − sin 3t
2 π 3
sin t cos (2nt) dt or sin3 t =
et sin a cos b = 12 (sin (a + b) + sin (a − b))
an =
π 0
4
d’où sin3 t cos (2nt) = 18 (3 sin (2n + 1) t − 3 sin (2n − 1) t − sin (2n + 3) t + sin (2n − 3) t) et si
·
¸π
1
cos (2n + 1) t
cos (2n − 1) t cos (2n + 3) t cos (2n − 3) t
n 6= 0 alors an =
−3
+3
+
−
ou
4π
2n + 1
2n − 1
2n + 3
2n − 3
0
24
24 1
4
an =
et a0 =
=
. Par suite la série de Fourier F (f ) (x) =
π (4n2 − 9) (4n2 − 3)
π9 2
3π
X
24
cos (2nx)
4
+
. Par le théorème de Dirichlet, f est C 1 sur IR, il y a conver3π
π
(4n2 − 1) (4n2 − 9)
n≥1
gence uniforme, la convergence normale se montre également directement sans problème.
Exercice 28 f est C 1 sur IR et son expression sur [0, π] donne f (x) = f (x + 2π)
Z = ((x + 2π) − 2π) (3π − (x + 2π
2 π
x (π − x) on retrouve un exercice précédent. Ici f est impaire et an = 0, bn =
t (π − t) sin ntdt =
π 0
µ
¶
Z π
Z π
n
X 8 sin ((2k + 1) x)
2
sin nt
4
4 (1 − (−1) )
(π − 2t) d
= 0+ 2
sin ntdt =
et F (f ) (x) =
0+
.
3
3
πn 0
n
πn 0
n
π
(2k + 1)
n≥0
k
8 X (−1)
π³
π´
π3
Il y a convergence uniforme. En π2 on obtient
=
π−
et S1 =
.
3
π
2
2
32
(2k + 1)
n≥0
Ã
!2
Z +π
Z
1X
1
8
1 π 2
2
2
f (t) dt =
t (π − t) dt et
L’égalité de Parseval donne
=
3
2π −π
2
π 0
π (2k + 1)
n≥0
π4
S2 =
.
15
π
Z
Z
2f =
Z π2
Z π2 X
π3
8
sin ((2k + 1) x)
et d’autre part
f =
dx. La con3
12
π
(2k + 1)
0
0
0
0 k≥0
Z π2
h πi
X
8
nous permet d’intervertir et
vergence uniforme sur 0,
sin (2k + 1) xdx =
3
2
π (2k + 1) 0
k≥0
X
1
1
8X
π4
.
ou
=
4
4
π
96
(2k + 1)
(2k + 1)
k≥0
k≥0
Z x
Z x
Z x+2π
2
Soit g (x) =
f (t) dt on a que g est C et g (x + 2π) =
f (t) dt +
f (t) dt =
π
2
t (π − t) dt =
0
0
x
24
Z
Séries de Fourier
Z
x
f (t) dt = g (x) car
0
Z
x+2π
+π
f =
x
f = 0 car f est impaire. Il en résulte que g est
−π
développable en séries de Fourier, étant C 1 elle est égale à sa série de Fourier. g est paire
comme primitive d’une fonction impaire, nulle en 0. Soit x ∈ [0, π] alors [0, x] ⊂ [0, π] et
Z x
3
x2
x3
x2
|x|
g (x) =
t (π − t) dt = π
−
et par parité g (x) = π
−
sur [−π, π]. Enfin
2 Z 3
2
3
0
Z x
x
F (g) (x) = g (x) =
f (t) dt =
F (f (t)) dt. La convergence uniforme de la série de fonc0
0
Z x
X8
1
tions sur [0, x] à x fixé permet d’intervertir et F (g) (x) =
sin ((2k + 1) t) dt =
π (2k + 1)3 0
k≥0
8 X 1 − cos ((2k + 1) x)
π 3 8 X cos ((2k + 1) x)
−
ou F (g) (x) =
. Par unicité du développement
4
4
π
12 π
(2k + 1)
(2k + 1)
k≥0
k≥0
de Fourier ceci est bien celui de g.
Z
Z
1 π
2 π
cos αt cos ntdt =
(cos (n + α) t + cos (n − α) t) dt
Exercice 29 f est paire, continue et C 1 par morceaux. an =
π 0
π 0
·
¸π
µ
¶
n
1 sin ((n + α) t) sin ((n − α) t)
(−1) sin απ
1
1
ou an =
+
−
car α ∈
/ Z.
Z Soit an =
=
π
n+α
n−α
π
n+α n−α
0
n
(−1) 2α sin (απ)
sin (απ)
sin απ
si n 6= 0 et a0 =
. La série de Fourier est F (f ) (x) =
+
2
2
π (α − n )
απ
απ
n
2α sin (απ) X (−1) cos nx
= cos (αx).
π
α 2 − n2
n≥1
La convergence est uniforme par Dirichlet ou directement par la convergence normale une fois
que l’on sait que la série converge vers la fonction.
n
sin απ
2α sin (απ) X (−1) cos nx
x
En écrivant
+
= cos (αx) en α =
pour x ∈
/ πZ
Z, on
απ
π
α 2 − n2
π
n≥1
sin απ
2α sin (απ) X
1
sin x
2x sin x X
1
obtient
+
= cos (απ) ou cos x =
+
2
2
2
2
x
απ
π
α −n
x
π
− n2
n≥1
n≥1 π 2
X
1
2x
ou cot anx =
+
. Formule donnant une bonne façon de calculer des valeurs
2
x
x − π 2 n2
n≥1
approchées de cot anx.
sin απ
1
2α sin (απ) X
1
2α
Avec x = π on a
+
= cos (απ) et cot an (απ) =
−
A (α)
απ
π
α 2 − n2
απ
π
n≥1
1
π cot an (απ)
−
.
soit A (α) =
2
2α
2α
1
Soit gn (α) = 2
la série ayant ce terme général est convergente sur IR/Z
Z∗ . Soit ε ∈ ]0, 1[
n − α2
montrons qu’elle converge uniformément sur [−ε, ε] pour cela soit α ∈ [−ε, ε] : |gn (α)| ≤
X
1
= an pour n ≥ 1. La série
gn converge uniformément vers A (α) sur [−ε, ε]
2
2
n −ε
n≥1
X 1
1
π cot anαπ
donc A (0) = lim A (α). Pour α ∈
/ ZZ on a A (α) =
−
d’où
= A (0) =
2
α→0
2α
2α
n2
n≥1
¡ ¢
α2 π 2
µ
¶
+ o α2
1
−
1
π cot an (απ)
1
π cot an (απ)
1
π
1
2
lim
−
or
−
=
−
=
−
2
α→0 2α2
2α
2α2
2α
2α2
2α
2α
α3 π 3
3
+ o (α )
πα −
6
µ
¶
µ 2
¶
´
³
2
2
2
X
¡ 2¢
¡ 2¢
α π
π
π
1
1
2 π2
1+
=
1−α 2 +o α
+o α
+o (1). D’où le résultat
= lim
+ o (1) =
α→0
2α2
6
6
n2
6
n≥1
π2
.
6
14.12. Démonstrations
25
4π 2 X
Exercice 30 f est C par morceaux mais n’est pas continue. F (f ) (x) =
+
3
n≥1
X 1
X 1
π2
π4
En 0 cela donne
=
et Praseval donne
=
.
n2
6
n4
90
1
n≥1
µ
¶
4
4π
cos nx −
sin nx .
n2
n
n≥1
Z
Z π
1 π
1
sin x cos nxdx =
(sin (n + 1) x − sin
Exercice 32 f est C 1 par morceaux, continue sur IR. Les an =
π 0
2π 0
Z
n−1
π
(−1)
−1
2
1
sauf
pour
a
=
et
a
=
0.
Les
b
=
(cos (n + 1) x − cos (n − 1) x) dx = 0
0
1
n
π (n2 − 1)
π
2π 0
X
1
2
1
cos 2nx
et f (x) = max (0, sin x) = −
+ sin x. La convergence est normale, vn (x) =
π
π
4n2 − 1 2
n≥1
4n
cos
2nx
u0n (x) =
est le terme général d’une série simplement convergente mais pas uniπ (4n2 − 1)
forme car f n’est pas dérivable en πZ
Z. En posant g (x) = cos x sur ]0, π[, g (x) = 0 sur ]π, 2π[
et g (π) = − 12 on a avec g 2π-périodique, an (g) = nbn (f ) , bn (g) = −nan (f ) ce qui donne :
4 X n sin 2nx
1
1
+
−
.
2 (g (x ) + g (x )) = 2 cos x + π
4n2 − 1
n≥1
Exercice 33 f est continue et C 1 par morceaux, paire les bn sont nuls et an =
2αshαπ
n
(−1)
π (n2 + α2 )
2shαπ
par intégration par parties. a0 =
siα 6= 0 et sinon a0 = 0. Pour x ∈ [−π, π] :
απ
µ
¶
X
shαπ
2αshαπ
1 sh2απ
sh2 απ
n cos nx
(−1) 2
chαx =
+
.
Parseval
donne
+
π
=
2 +
απ
π
n + α2
π
2α
(απ)
n≥1
µ
¶
X
X
1
1
1
απchαπ − shαπ
2α2 2
sh
απ
.
Pour
x
=
π
cela
donne
=
2
π2
n2 + α 2
2α2
shαπ
(n2 + α2 )
n≥1
n≥1
n−1
³
´
X (−1)
1
απ
et pour x = 0 cela donne
=
1−
et Parseval donne finalement :
n2 + α 2
2α2
shαπ
n≥1
µ
¶
X
1
απchαπ
α2 π 2
1
+ 2
−2 .
2 = 4α2
shαπ
sh απ
(n2 + α2 )
n≥1
Exercice 34 En utilisant an (f ) = − n1 bn (f 0 ) et bn (f ) = n1 an (f 0 ) et en appliquant Parseval à
Z
X ¡
¢ a0 (f 0 ) X ¡ 2 0
¢
1 2π 02
f et f 0 on obtient
f (t) dt =
n2 a2n (f ) + b2n (f ) =
+
an (f ) + b2n (f 0 ) ce
π 0
2
n≥1
n≥1
Z 2π
Z 2π
X¡
¢¡
¢
qui donne vu que a0 = 0 :
f 2 (t) dt ≤
f 02 (t) dt. Le cas d’égalité donne
n2 − 1 a2n (f ) + b2n (f ) =
0
0
n≥1
0 et pour n ≥ 2 : an (f ) = bn (f ) = 0 et finalement f est de la forme λ cos x + µ sin x, fonctions
qui conviennent.