Université Bordeaux I Masters CSI et Théorie du Signal Année 2008

Université Bordeaux I
Masters CSI et Théorie du Signal
Année 2008-2009
Analyse de Fourier
J. Esterle

Table des matières
1 L’intégrale de Lebesgue 1
1.1 Ensemblesmesurables ............................ 1
1.2 Construction de l’intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Deux résultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 La transformée de Fourier 13
2.1 Transformée de Fourier sur L1(R)...................... 13
2.2 Transformée de Fourier sur L2(R)...................... 16
2.3 Exercices sur le Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Groupes, Anneaux, Corps 23
3.1 Groupes.................................... 23
3.2 Groupes cycliques, groupes quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Anneaux.................................... 27
3.4 Corps ..................................... 28
3.5 Calculs dans Z/nZsousMUPAD ...................... 29
3.6 Exercices pour le Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Un peu d’arithmétique 33
4.1 LadivisionduCM .............................. 33
4.2 Applications du théorème de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Lethéorèmechinois.............................. 37
4.4 Décomposition en produit de nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 Arithmétique sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6 Exercices pour le Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Transformée de Walsh 47
5.1 Matrices et transformée de Walsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Transformée de Walsh rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Application aux fonctions booléennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Applications de la transformée de Walsh à la compression de signaux 1-D . 56
5.5 Applications de la transformée de Walsh à la compression des images . . . 65
3

4TABLE DES MATIÈRES
5.6 Exercices sur le Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 Transformée de Fourier discrète 71
6.1 Définition de la transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Convolution cyclique et convolution acyclique . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 FFT en décimation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 FFT en décimation fréquentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 Applications de la FFT au calcul de produits de polynômes ou d’entiers . . 77
7 Etude générale de la transformation de Fourier 79
7.1 Groupe dual d’un groupe localement compact abélien . . . . . . . . . . . . 79
7.2 Mesure de Haar et transformation de Fourier, théorie générale . . . . . . . 85
7.3 Formule de Plancherel-Parseval et formule d’inversion de Fourier . . . . . 87
7.4 Transformation de Fourier sur la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5 Séries de Fourier et transformation de Fourier sur le cercle . . . . . . . . . 90
7.6 Transformation de Fourier sur les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . 93
7.7 Exercices sur le Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8 Echantillonnage, principes d’incertitude et théorème de Shannon 101
8.1 Le principe d’incertitude pour la transformation de Fourier sur R......101
8.2 Le principe d’incertitude discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.3 La formule sommatoire de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4 La formule de Poisson discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.5 Le théorème d’échantillonnage de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9 Annexe 1 : Un peu d’analyse complexe 111
9.1 Propriétés élémentaires des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2 Exercices pour l’annexe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10 Annexe 2 : Espaces de Hilbert 117
10.1 Orthogonalité, produit scalaire, produit hermitien . . . . . . . . . . . . . . 117
10.2 Algorithme de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.3 Exemples d’espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.4 Exercices pour l’annexe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Chapitre 1
L’intégrale de Lebesgue
1.1 Ensembles mesurables
On rappelle brièvement la construction de l’intégrale de Riemann. Soit fune fonction
bornée à valeurs réelles définie sur un intervalle fermé borné [a, b]de R,et soit Pl’en-
semble des partitions de [a, b],c’est à dire l’ensemble des suites finies σ= (x0, . . . , xn)
telles que a=x0< x1< . . . < xn=b. Si σest une partition de [a, b]on pose
Mσ(f) =
n−1
!
i=0
(xi+1 −xi)supxi≤x≤xi+1 f(x)
mσ(f) =
n−1
!
i=0
(xi+1 −xi)infxi≤x≤xi+1 f(x).
On vérifie que mσ(f)≤Mτ(f)pour σ,τ∈P.On dit que la fonction fest intégrable
au sens de Riemann si supσ∈Pmσ(f) = infσ∈PMσ(f),et dans ce cas on pose
"b
af(t)dt =supσ∈Pmσ(f) = infσ∈PMσ(f)
Les fonctions continues sur [a, b]et les fonctions bornées et monotones sur [a, b]sont
intégrables au sens de Riemann.
Si fest continue sur un intervalle Ide Ret si x0∈I, alors la formule
F(x) = #x
x0
f(t)dt
définit une primitive de Fsur I, c’est à dire que F$(x) = f(x)pour tout xintérieur à I,
que la dérivée à droite de Fen aest égale à f(a)si Ipossède un plus petit élément a, et
que la dérivée à gauche de Fen best égale à f(b)si Ipossède un plus grand élément b(et
la fonction Fest l’unique primitive de fsur Itelle que f(x0) = 0).
Rappelons également que si fest continue sur un intervalle fermé borné [a, b],on peut
utiliser les sommes de Riemann pour calculer "b
af(t)dt grâce à la formule suivante :
1