Les nombres complexes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 2017
Enoncés
1
Les nombres complexes
Exercice 1 [ 02029 ] [Correction]
Calculer pour θ ∈ R et n ∈ N,
Cn =
n X
n
k=0
k
cos(kθ) et Sn =
n X
n
k=0
k
sin(kθ)
Exercice 2 [ 03107 ] [Correction]
Soit B une partie bornée non vide de C.
On suppose que si z ∈ B alors 1 − z + z 2 ∈ B et 1 + z + z 2 ∈ B .
Déterminer B .
Exercice 3 [ 03651 ] [Correction]
Soient a, b, z trois complexes de module 1 deux à deux distincts. Démontrer
b
a
z−a
z−b
2
∈ R∗+
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Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Cn et Sn sont les parties réelles et imaginaires de
n X
nθ
θ
n ikθ
e = (1 + eiθ )n = 2n ei 2 cosn
2
k
k=0
Ainsi
nθ
θ
nθ
θ
Cn = 2 cos
cosn et Sn = 2n sin
cosn
2
2
2
2
n
2
Exercice 3 : [énoncé]
Rappelons que si u est un complexe de module alors 1/u = ū.
On a alors
(z − a)2 = (z − a)
donc
b
a
1 1
−
z̄
ā
z−a
z−b
2
=
2
=
|z − a|
(z − a)(ā − z̄)
= −a
āz̄
z̄
|z − a|
|z − b|
2
2
∈ R∗+
Exercice 2 : [énoncé]
On observe que B = {i, −i} est solution. Montrons qu'il n'y en a pas d'autres. . .
Posons f : C → C et g : C → C dénies par
f (z) = 1 − z + z 2 et g(z) = 1 + z + z 2
On remarque
|f (z) − i| = |z + i| |z − (1 + i)| , |f (z) + i| = |z − i| |z − (1 − i)|
|g(z) − i| = |z − i| |z + 1 + i| et |g(z) + i| = |z + i| |z + 1 − i|
Soient a ∈ B et (zn )n≥0 la suite d'éléments de B dénie par z0 = a et pour tout
n∈N
(
zn+1 =
Posons enn
f (zn )
g(zn )
si Re(zn ) ≤ 0
si Re(zn ) > 0
un = zn2 + 1 = |zn − i| |zn + i|
Si Re(zn ) ≤ 0 alors
un+1 = |f (zn ) − i| |f (zn ) + i| = un |zn − (1 + i)| |zn − (1 − i)|
Selon le signe de la partie imaginaire de zn , l'un
√ au moins des deux modules
|zn − (1 + i)| et |zn − (1 − i)| est supérieur à 2 alors que l'autre est supérieur à 1.
Ainsi
√
un+1 ≥
2un
Si Re(zn ) > 0, on obtient le même résultat.
On en déduit que si u0 6= 0 alors la suite (un ) n'est pas bornée. Or la partie B est
bornée donc u0 = 0 puis a = ±i. Ainsi B ⊂ {i, −i}.
Sachant B 6= ∅ et sachant que l'appartenance de i entraîne celle de −i et
inversement, on peut conclure
B = {i, −i}
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