3ème Chapitre 2 Trigonométrie

3ème Chapitre 2
Trigonométrie
Dans tout le chapitre, on travaillera dans un triangle rectangle.
I_ Vocabulaire, notations et définitions
A. Vocabulaire
B. Notations
–cos est l'abréviation de cosinus.
–sin est l'abréviation de sinus.
–tan est l'abréviation de tangente.
C. Définitions
Côté adjacent à l'angle
GFE
hypoténuse du
triangle rectangle Côté opposé à l'angle
FGE
Côté adjacent à l'angle
FGE
Côté opposé à l'angle
GFE
cos
FGE
=
côté adjacent à l' angle FGE
hypoténuse du triangle rectangle EFG
=
EG
FG
sin
FGE
=
côté opposé à l' angle FGE
hypoténuse du triangle rectangle EFG
=
FE
FG
tan
FGE
=
côté opposé à l' angle FGE
côté adjacent à l' angle FGE
=
EF
EG
cos
GFE
=
côté adjacent à l 'angle GFE
hypoténuse du triangle rectangle EFG
=
FE
FG
sin
GFE
=
côté opposé à l' angle GFE
hypoténuse du triangle rectangle EFG
=
EG
FG
tan
GFE
=
côté opposé à l' angle GFE
côté adjacent à l' angle GFE
=
EG
EF
cos =
adj
hyp
sin =
opp
hyp
tan =
opp
adj

II_ Remarques importantes
–Puisque l'on travaille dans un triangle rectangle, les angles sont compris entre 0° et 90° et sont donc des
angles aigus.
–Puisque l'on a défini cosinus, sinus et tangente comme étant des rapports de longueurs, ce sont des nombres
positifs sans unité.
–Puisque dans les rapports de longueurs définissants le cosinus et le sinus, on divise par la longueur de
l'hypoténuse (plus grand côté du triangle rectangle), le cosinus et le sinus sont des nombres inférieurs à 1.
III_ Utilisation des formules de trigonométrie
Les formules de trigonométrie permettent, dans un triangle rectangle, de déterminer des longueurs et des
mesures d'angles.
A. Utilisation de la trigonométrie pour des calculs de longueurs
Exercice type 1
On donne:
KM = 13 cm et
LMK
= 63°.
Déterminons KL puis ML.
Rédaction type
Nous savons que:
KLM est un triangle rectangle en L.
Utilisons la définition:
sin
KML
=
côté opposé à l' angle KML
hypoténuse du triangle rectangle KLM
En conclusion:
sin
KML
=
KL
KM
sin 63° =
KL
13
KM = 13×sin63° ≈ 11,6
La longueur du segment [KL] est de 13sin63° cm soit 11,6 cm à 1 mm près.
Pour déterminer ML, on peut à présent indifféremment utiliser le théorème de Pythagore ou la trigonométrie.
Nous savons que:
KLM est un triangle rectangle en L.
Utilisons la définition:
cos
KML
=
côté adjacent à l' angle KML
hypoténuse du triangle rectangle KLM
En conclusion:
cos
KML
=
ML
MK
cos 63° =
ML
13
ML = 13×cos63° ≈ 5,9
La longueur du segment [ML] est de 13cos63° cm soit 5,9 cm à 1 mm près.
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
on utilise la touche sin pour obtenir une valeur approchée.
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
on utilise la touche cos pour obtenir une valeur approchée.

Exercice type 2
On donne:
SU = 8 cm et
SUT
= 27°.
Déterminons TU puis ST.
Rédaction type
Nous savons que:
STU est un triangle rectangle en S.
Utilisons la définition:
cos
SUT
=
côté adjacent à l 'angle SUT
hypoténuse du triangle rectangle STU
En conclusion:
cos
SUT
=
SU
TU
cos 27° =
8
TU
cos27°
1
=
8
TU
TU =
8
cos27°
≈ 9
La longueur du segment [TU] est de
8
cos27°
cm soit 9 cm à 1 mm près.
Nous savons que:
STU est un triangle rectangle en S.
Utilisons la définition:
tan
SUT
=
côté opposé à l' angle SUT
côté adjacent à l' angle SUT
En conclusion:
tan
SUT
=
ST
SU
tan 27° =
ST
8
ST = 8×tan27° ≈ 4,1
La longueur du segment [ST] est de 8tan27° cm soit 4,1 cm à 1 mm près.
B. Utilisation de la trigonométrie pour des calculs de mesures d'angles
Exercice type 1
On donne:
KM = 13 cm et LM = 5 cm.
Déterminons
LKM
puis
KML
.
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
on utilise la touche tan pour obtenir une valeur approchée.

Rédaction type
Nous savons que:
KLM est un triangle rectangle en L.
Utilisons la définition:
sin
LKM
=
côté opposé à l' angle LKM
hypoténuse du triangle rectangle KLM
En conclusion:
sin
LKM
=
ML
MK
sin
LKM
=
5
13
LKM
= Arcsin (5/13) ≈ 22,6°
La mesure de l'angle
LKM
est de 22,6° à 0,1° près.
Calcul de
KML
: 1ère méthode
Nous savons que:
KLM est un triangle.
Utilisons la propriété:
La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.
En conclusion:
KML
+
LKM
+
KLM
= 180°
KML
= 180° –
LKM
–
KLM
KML
≈ 180° – 22,6° – 90° ≈ 67,4°
La mesure de l'angle
KML
est de 67,4° à 0,1° près.
Calcul de
KML
: 2ème méthode
Nous savons que:
KLM est un triangle rectangle en L.
Utilisons la définition:
cos
KML
=
côté adjacent à l' angle KML
hypoténuse du triangle rectangle KLM
En conclusion:
cos
KML
=
ML
MK
cos
KML
=
5
13
LKM
= Arcos(5/13) ≈ 67,4°
La mesure de l'angle
KML
est de 67,4° à 0,1° près.
Exercice type 2
On donne:
PI = 19 cm et PJ = 7 cm.
Déterminons
PJI
puis
PIJ
.
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
on utilise la combinaison de touches shift (ou second)
puis sin (on utilise alors la fonction sin-1) pour obtenir
une valeur approchée de la mesure de l'angle.
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
on utilise la combinaison de touches shift (ou second)
puis cos (on utilise alors la fonction cos-1) pour obtenir
une valeur approchée de la mesure de l'angle.

Rédaction type
Nous savons que:
PIJ est un triangle rectangle en P.
Utilisons la définition:
tan
PJI
=
côté opposé à l' angle PJI
côté adjacent à l' angle PJI
En conclusion:
tan
PJI
=
PI
PJ
tan
PJI
=
19
7
PJI
= Arctan(19/7) ≈ 69,8°
La mesure de l'angle
PJI
est de 69,8° à 0,1° près.
Nous savons que:
PIJ est un triangle rectangle en P.
Utilisons la définition:
tan
PIJ
=
côté opposé à l' angle PIJ
côté adjacent à l' angle PIJ
En conclusion:
tan
PIJ
=
PJ
PI
tan
PIJ
=
7
19
PIJ
= Arctan(7/19)≈ 20,2°
La mesure de l'angle
PIJ
est de 20,2° à 0,1° près.
IV_ Relations trigonométriques
A. Relation entre la tangente, le sinus et le cosinus
cos
BAC
=
AB
AC
sin
BAC
=
BC
AC
tan
BAC
=
BC
AB
tan
BAC
=
BC
AB
=
BC
AC
×
AC
AB
= sin
BAC
×
1
cos BAC
=
sin BAC
cos BAC
On retient:
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
on utilise la combinaison de touches shift (ou second)
puis tan (on utilise alors la fonction tan-1) pour obtenir
une valeur approchée de la mesure de l'angle.
tan x =
sin x
cosx
où x est la mesure de l'angle en degrés avec 0°  x < 90°