3ème Chapitre 2 Trigonométrie

3ème
Chapitre 2
Trigonométrie
Dans tout le chapitre, on travaillera dans un triangle rectangle.
I_ Vocabulaire, notations et définitions
A. Vocabulaire
Côté adjacent à l'angle 
GFE
hypoténuse du
triangle rectangle
Côté adjacent à l'angle 
FGE
Côté opposé à l'angle 
FGE
Côté opposé à l'angle 
GFE
B. Notations
–
–
–
cos est l'abréviation de cosinus.
sin est l'abréviation de sinus.
tan est l'abréviation de tangente.
C. Définitions
cos 
FGE =
EG
côté adjacent à l' angle 
FGE
=
FG
hypoténuse du triangle rectangle EFG
sin 
FGE =
FE
côté opposé à l' angle 
FGE
=
FG
hypoténuse du triangle rectangle EFG
côté opposé à l' angle 
FGE
EF
tan 
=
FGE =
EG
côté adjacent à l' angle 
FGE
cos 
GFE =
FE
côté adjacent à l 'angle 
GFE
=
FG
hypoténuse du triangle rectangle EFG
sin 
GFE =
EG
côté opposé à l' angle 
GFE
=
FG
hypoténuse du triangle rectangle EFG
côté opposé à l' angle 
GFE
EG
tan 
=
GFE =
EF
côté adjacent à l' angle 
GFE
cos =
adj
hyp
sin =
opp
hyp
tan =
opp
adj
II_ Remarques importantes
–
Puisque l'on travaille dans un triangle rectangle, les angles sont compris entre 0° et 90° et sont donc des
angles aigus.
–
Puisque l'on a défini cosinus, sinus et tangente comme étant des rapports de longueurs, ce sont des nombres
positifs sans unité.
–
Puisque dans les rapports de longueurs définissants le cosinus et le sinus, on divise par la longueur de
l'hypoténuse (plus grand côté du triangle rectangle), le cosinus et le sinus sont des nombres inférieurs à 1.
III_ Utilisation des formules de trigonométrie
Les formules de trigonométrie permettent, dans un triangle rectangle, de déterminer des longueurs et des
mesures d'angles.
A. Utilisation de la trigonométrie pour des calculs de longueurs
Exercice type 1
On donne:
KM = 13 cm et 
LMK = 63°.
Déterminons KL puis ML.
Rédaction type
Nous savons que:
KLM est un triangle rectangle en L.
Utilisons la définition:
côté opposé à l' angle 
KML
sin 
KML =
hypoténuse du triangle rectangle KLM
En conclusion:
KL
sin 
KML =
KM
KL
sin 63° =
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
13
on utilise la touche sin pour obtenir une valeur approchée.
KM = 13×sin63° ≈ 11,6
La longueur du segment [KL] est de 13sin63° cm soit 11,6 cm à 1 mm près.
Pour déterminer ML, on peut à présent indifféremment utiliser le théorème de Pythagore ou la trigonométrie.
Nous savons que:
KLM est un triangle rectangle en L.
Utilisons la définition:
côté adjacent à l' angle 
KML
cos 
KML =
hypoténuse du triangle rectangle KLM
En conclusion:
 = ML
cos KML
MK
ML
cos 63° =
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
13
on utilise la touche cos pour obtenir une valeur approchée.
ML = 13×cos63° ≈ 5,9
La longueur du segment [ML] est de 13cos63° cm soit 5,9 cm à 1 mm près.
Exercice type 2
On donne:
SU = 8 cm et 
SUT = 27°.
Déterminons TU puis ST.
Rédaction type
Nous savons que:
STU est un triangle rectangle en S.
Utilisons la définition:
côté adjacent à l 'angle 
SUT
cos 
SUT =
hypoténuse du triangle rectangle STU
En conclusion:
SU
cos 
SUT =
TU
8
cos 27°
8
cos 27° =
=
TU
1
TU
8
TU =
≈9
cos 27°
8
La longueur du segment [TU] est de
cm soit 9 cm à 1 mm près.
cos 27°
Nous savons que:
STU est un triangle rectangle en S.
Utilisons la définition:
côté opposé à l' angle 
SUT
tan 
SUT =
côté adjacent à l' angle 
SUT
En conclusion:
ST
tan 
SUT =
SU
ST
tan 27° =
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
8
on utilise la touche tan pour obtenir une valeur approchée.
ST = 8×tan27° ≈ 4,1
La longueur du segment [ST] est de 8tan27° cm soit 4,1 cm à 1 mm près.
B. Utilisation de la trigonométrie pour des calculs de mesures d'angles
Exercice type 1
On donne:
KM = 13 cm et LM = 5 cm.
Déterminons 
LKM puis 
KML .
Rédaction type
Nous savons que:
KLM est un triangle rectangle en L.
Utilisons la définition:
côté opposé à l' angle 
LKM
sin 
LKM =
hypoténuse du triangle rectangle KLM
En conclusion:
 = ML
sin LKM
MK
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
5
on utilise la combinaison de touches shift (ou second)
sin 
LKM =
13
puis sin (on utilise alors la fonction sin-1) pour obtenir

une valeur approchée de la mesure de l'angle.
LKM = Arcsin (5/13) ≈ 22,6°

La mesure de l'angle LKM est de 22,6° à 0,1° près.
Calcul de 
KML : 1ère méthode
Nous savons que:
KLM est un triangle.
Utilisons la propriété:
La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.
En conclusion:

KML + 
LKM + 
KLM = 180°


KML = 180° – LKM – 
KLM

KML ≈ 180° – 22,6° – 90° ≈ 67,4°
La mesure de l'angle 
KML est de 67,4° à 0,1° près.
Calcul de 
KML : 2ème méthode
Nous savons que:
KLM est un triangle rectangle en L.
Utilisons la définition:
côté adjacent à l' angle 
KML
cos 
KML =
hypoténuse du triangle rectangle KLM
En conclusion:
 = ML
cos KML
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
MK
on utilise la combinaison de touches shift (ou second)
 = 5
cos KML
puis cos (on utilise alors la fonction cos-1) pour obtenir
13
une valeur approchée de la mesure de l'angle.

LKM = Arcos(5/13) ≈ 67,4°
La mesure de l'angle 
KML est de 67,4° à 0,1° près.
Exercice type 2
On donne:
PI = 19 cm et PJ = 7 cm.
 puis 
Déterminons PJI
PIJ .
Rédaction type
Nous savons que:
PIJ est un triangle rectangle en P.
Utilisons la définition:

 = côté opposé à l' angle PJI
tan PJI
côté adjacent à l' angle 
PJI
En conclusion:
 = PI
tan PJI
Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré,
PJ
on utilise la combinaison de touches shift (ou second)
 = 19
tan PJI
puis tan (on utilise alors la fonction tan-1) pour obtenir
7
une valeur approchée de la mesure de l'angle.
 = Arctan(19/7) ≈ 69,8°
PJI
 est de 69,8° à 0,1° près.
La mesure de l'angle PJI
Nous savons que:
PIJ est un triangle rectangle en P.
Utilisons la définition:
côté opposé à l' angle 
PIJ
tan 
PIJ =
côté adjacent à l' angle 
PIJ
En conclusion:
PJ
tan 
PIJ =
PI
7
tan 
PIJ =
19

PIJ = Arctan(7/19)≈ 20,2°
La mesure de l'angle 
PIJ est de 20,2° à 0,1° près.
IV_ Relations trigonométriques
A. Relation entre la tangente, le sinus et le cosinus
AB
cos 
BAC =
AC
BC
sin 
BAC =
AC
BC
tan 
BAC =
AB
1
sin 
BAC
BC
BC
AC
tan 
=
×
= sin 
=
BAC =
BAC ×

AB
AC
AB
cos BAC
cos 
BAC
On retient:
tan x =
sin x
où x est la mesure de l'angle en degrés avec 0°  x < 90°
cos x
B. Relation fondamentale
cos2 
BAC + sin2 
BAC = (cos 
BAC )2 + (sin 
BAC )2
2
2
AB
BC
=
+
AC
AC
2
AB
BC2
=
+
AC 2
AC 2
2
2
AB BC
=
2
AC
Or ABC est un triangle rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore, on a:
donc:
2
AC
2 
2 
cos BAC + sin BAC =
2 = 1
AC
   
On retient:
cos2 x + sin2 x = 1
où x est la mesure de l'angle en degrés.
C. Utilisations des relations
Exercice type
On donne x = 60°. On a alors cos x = cos 60° = 0,5 =
Déterminons les valeurs exactes de sin 60° et tan 60°.
Rédaction type
cos2 60° + sin2 60° = 1
2
1
+ sin2 60° = 1
2
1
+ sin2 60° = 1
4
1
4
1
3
sin2 60° = 1 –
=
–
=
4
4
4
4
or sin 60° > 0 donc:
3
3
sin 60° =
=
4
4


sin 60° =
3
2
3
sin 60 °
2
3
tan 60° =
=
=  ×2
cos 60 °
1
2
2
tan 60° =
3
1
2
AC2 = AB2 + BC2