plus grand commun diviseur (pgcd)

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PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (P.G.C.D.)
§ 1 Diviseurs communs à deux entiers relatifs
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Un nombre entier relatif d qui divise chacun de ses
nombres est appelé diviseur commun de ces nombres.
L’ensemble des diviseurs d’un nombre est un ensemble fini. Par suite, l’ensemble des diviseurs communs
aux nombres a, b est aussi un ensemble fini. Cet ensemble n’est pas vide car il contient nécessairement
1 et – 1
Définition :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Le plus grand élément de l’ensemble des diviseurs
communs à a et à b s’appelle le plus grand commun diviseur de a et b et se note PGCD (a ; b)
Remarque :
Si a et b sont des entiers non simultanément nuls, alors PGCD (a ; b) = PGCD (
b;a
)
car deux entiers opposés ont le même ensemble de diviseurs. C’est pourquoi on ne s’intéresse ici qu’au cas
d’entiers naturels.
Exemples :
1- Ensemble des diviseurs de 135 :
Ensemble des diviseurs de 105 :
Ensemble des diviseurs communs à 135 et 105 :
PGCD (135 ; 105) = 15
2- On considère la fraction :
42
150
Pour obtenir une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand
diviseur commun.
Ensemble des diviseurs de 150 :
Ensemble des diviseurs de 42 :
Ensemble des diviseurs communs à 150 et 42 :
PGCD (150 ; 42) = 6
7
25
76
256
42
150

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§ 2 Recherche des diviseurs communs à deux nombres
a) Premier cas : b est un diviseur de a
Propriété :
PGCD (a ; b) = b si et seulement si b divise a
dém :
Si b divise a, alors b est un diviseur commun à a et b ; or b est le plus grand diviseur de b, donc
PGCD (a ; b) = b
Réciproquement, si PGCD (a ; b) = b, alors b divise a
b) Deuxième cas : b n’est pas un diviseur de a
Lemme d’Euclide :
Soit a un nombre entier naturel et b un nombre entier naturel non nul
Si r est le reste de la division euclidienne de a par b, alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
dém :
Soit a ∈ ℕ, b ∈ ℕ*, r reste de la division euclidienne de a par b
Il existe un entier naturel q tel que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < b
 Soit d un diviseur commun à a et b
d divise toute combinaison linéaire de a et b donc en particulier il divise a – bq, c’est-à-dire r
d est donc un diviseur commun à b et r
D (a , b) ⊂ D (b , r)
 Soit p un diviseur commun à b et r
p divise toute combinaison linéaire de b et r donc en particulier il divise bq + r, c’est-à-dire a
p est donc un diviseur commun à a et b
D (b , r) ⊂ D (a , b)
D’où : D (a , b) = D (b , r)
Algorithme d’Euclide :
Soit deux nombres entiers naturels, non nuls, a et b, avec a > b
Pour déterminer PGCD (a ; b) on utilise l’algorithme d’Euclide : il consiste à remplacer (a ; b) par des
couples de nombres de plus en plus petits qui ont le même ensemble de diviseurs communs.
Après un nombre fini de divisions, on trouve un reste nul, car les restes sont des nombres entiers positifs
(0 < rn < rn-1 < … < r1 < r0 < b) qui vont en décroissant strictement. On note rn le dernier reste non nul. Donc
d’après le lemme d’Euclide, PGCD (a , b) = PGCD (b , r0) = … = PGCD (rn-1 ; rn) = rn
Propriété :
Le PGCD de deux nombres est le dernier reste non nul de la succession de divisions que l’on effectue dans
l’algorithme d’Euclide

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§ 3 Propriétés du PGCD
Propriété 1 :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls.
Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de PGCD(a , b)
dém :
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
 Soit d un diviseur de PGCD(a , b) alors d divise a et b.
 Soit p un diviseur de commun à a et b
Dans l’algorithme d’Euclide, p est un diviseur commun à r0 et r1, à r1 et r2, …, à rn-1 et rn
Or rn divise rn-1, donc les diviseurs communs à rn-1 et rn sont ceux de rn, c’est-à-dire de PGCD(a , b)
Si a et b sont deux entiers relatifs non nuls, le résultat est le même car PGCD(a , b) = PGCD( )
Propriété 2 :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls.
Pour tout entier naturel non nul k, on a : PGCD(ka , kb) = k PGCD(a , b)
dém :
Soit δ = PGCD(a , b) et δ’ = PGCD(ka , kb)
 δ divise a, donc kδ divise ka ; de même kδ divise kb. Par conséquent, kδ est un diviseur commun à
ka et kb.
D’après la propriété précédente, kδ est un diviseur de δ’, il existe donc un nombre entier naturel q,
non nul, tel que : δ’ = q kδ
 On sait que δ’ divise ka et kb, donc que q kδ divise ka et kb.
Il en résulte que qδ est un diviseur commun à a et b
Comme δ est le PGCD de a et b, la seule valeur possible de q est 1. D’où δ’ = kδ

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§ 3 Nombres premiers entre eux
Définition :
Deux nombres entiers relatifs non nuls sont dits premiers entre eux, lorsque leur PGCD est égal à 1
Exemple :
35 et 26 sont premiers entre eux
Propriété :
Les quotients de deux entiers par leur PGCD sont des nombres premiers entre eux
dém :
Soit δ le PGCD de deux nombres a et b
On note a’ et b’ les quotients respectifs de a et b par δ.
a = δa’ et b = δb’
Alors on a :
δ = PGCD(a , b) = PGCD(δa’ , δb’) = δ PGCD(a’ , b’).
Par suite PGCD(a’ , b’) = 1 et a’ et b’ sont premiers entre eux.